湖南省郴州市嘉禾县第五中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省郴州市嘉禾县第五中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的前项和为，若（

）A．72

B．68

C．54

D．90参考答案：A略2.已知集合，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D因为，所.故选D.3.下列命题的说法错误的是（）A．若复合命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．对于命题p：?x∈R，x2+x+1＞0则￢p：?x∈R，x2+x+1≤0D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，即可判断出正误；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，可得：“x=1”?“x2﹣3x+2=0”，反之不成立，可判断出正误；C．利用命题的否定定义，即可判断出正误；D．利用逆否命题的定义即可判断出正误．【解答】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确；C．对于命题p：?x∈R，x2+x+1＞0则￢p：?x∈R，x2+x+1≤0，正确；D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确．故选：A．4.已知函数有三个不同的实数根，则实数的取值范围

（）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.集合,,若,则的值为A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：D6.过抛物线：焦点的直线交抛物线于、两点，，为轴上的动点，则的最小值为．

．

．

．参考答案：解：．设的中点为，由抛物线的性质知到轴的距离为，故，由余弦定理得：，（当时等号成立）．

7.下列命题中的真命题是（）A．B．?x∈（0，π），sinx＞cosxC．?x∈（﹣∞，0），2x＜3xD．?x∈（0，+∞），ex＞x+1参考答案：D略8.已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（

）A．(2,+∞)

B．(－2,2)

C.(2,6)

D．(－∞,2)参考答案：A9.已知函数，当时，函数在上均为增函数，则的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由，函数在上均为增函数，恒成立，,设，则

，又设，则满足线性约束条件，画出可行域如图所示，由图象可知在点取最大值为，在点取最小值.则的取值范围是，故答案选A．

考点：利用导数研究函数的性质，简单的线性规划10.“”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D.

既不充分也不必要条件参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（理）.已知函数任取记函数在区间上的最大值为最小值为则函数的值域为

参考答案：12.幂函数的图像经过点，则的值为___________.参考答案：2略13.如图，四面体OABC的三条棱OA、OB、OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题． ①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D，使CD与AB垂直并且相等 ④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是． 参考答案：③④【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征． 【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定； 对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥； 对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等； 对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假． 【解答】解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB= 当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2，四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直， 此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确； 对于②，由①知AC=BC=，AB=， 使AB=AD=BD，此时存在点D，CD=，使四面体C﹣ABD是正三棱锥，故②不正确； 对于③，取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确； 对于④，先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可 ∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确 故答案为：③④． 【点评】本题主要考查了棱锥的结构特征，同时考查了空间想象能力，转化与划归的思想，以及构造法的运用，属于中档题． 14.定义“正对数”:,现有四个命题:①若,则;②若,则③若,则④若,则其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)

参考答案：①③④15.在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为_________________.参考答案：12略16.已知分别是双曲线的左右焦点，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足则面积的最大值是

参考答案：解：设，由题意得，c=1由双曲线定义∴由余弦定理当时面积的最大值是说明：此题还可以用海伦公式完成当时面积的最大值是17.椭圆（）的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点与圆的位置关系是

参考答案：点在圆内三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）如图，几何体中，四边形为菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，为的中点.（Ⅰ）求证：为等腰直角三角形；（Ⅱ）求证：∥面.参考答案：解：（I）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以因为、都垂直于面,又面∥面,所以四边形为平行四边形,则………2分因为、、都垂直于面,则………………4分所以所以为等腰直角三角形

……6分（II）取的中点，连接、因为分别为的中点，所以∥，且因为∥，且，所以∥，且所以四边形为平行四边形…………10分所以∥，因为面,面,所以∥面.………………………12分

略19.设函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）利用导数求得函数的最大值即可；（Ⅱ）由导数的几何意义求得切线的斜率，解不等式求得a的取值范围；（Ⅲ）构造函数g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，等价于函数g（x）的最小值等于0，利用导数求得函数g（x）的最小值，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当时，，令=0

…解得x=1．因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以f（x）的极大值为，此即为最大值

…（Ⅱ），则有，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥，x0∈（0，3]当x0=1时，取得最大值，所以a≥…（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0因为m＞0，x＞0，所以（舍去），，当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增，当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…则即所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．所以h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得…20.已知a，b，c分别为△ABC内角的对边A，B，C，a=2c.（1）若，D为AC的中点，求cos∠BDC；（2）若，判断△ABC的形状，并说明理由.参考答案：（1）（2）为等腰三角形或直角三角形，但不可能是等腰直角三角形.试题分析：（1）由题意明确，再利用二倍角公式可得；（2）由题意可得，对角分类讨论从而明确了的形状.试题解析：（1）依题意，由，可得，为的中点，，故，所以，故.（2）因为，由余弦定理可得，①时，为直角三角形；②当时，即，因为，故，为直角三角形③因为，所以与不可能同时成