湖南省衡阳市 衡东县大桥中学高三数学文期末试题含解析

湖南省衡阳市衡东县大桥中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．【详解】对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则，故选：C．2.设为向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C略3.已知集合=A.

B.

C.

D.参考答案：D4.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知集合，则A∩B=(

)A.[0,2] B.[－1,2]C.[－1,+∞) D.(－∞,2]参考答案：B【分析】利用指数函数的单调性求出集合B，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由，则.故选：B【点睛】本题考查了集合的角运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.6.函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】利用两角差和的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求出函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=cos（2x+）所以函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是：T==π故选B．【点评】本题是基础题，考查三角函数的最小正周期的求法，三角函数的化简，考查计算能力，常考题型．7.在如右程序框图中，已知：，则输出的是

(

)A．

B．C．

D．参考答案：B略8.已知且,则存在,使得的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.下列命题：①若，为两个命题，则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；②若为：，则为：；③命题为真命题，命题为假命题。则命题，都是真命题；④命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.其中正确结论的个数是

A．1

B.2

C.3

D.4参考答案：A10.已知，，且，则向量在方向上的正射影的数量为（

）A.1 B. C. D.参考答案：D【分析】先由求出，再由即可求出结果.【详解】由得，所以，所以向量在方向上的正射影的数量为，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是．参考答案：略12.在中，，,．设的外心为，若，则

．参考答案：13.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为

.T←1

i←3

WhileT<10

T←T+i

i←i+2

End

While

Print

i

参考答案：914.4cos–=_____________。参考答案：略15.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根则

参考答案：16.对于具有相同定义域的函数和，若存在，使得，则和在上是“亲密函数”.给出定义域均为的四组函数如下：①

②

③

④其中，函数和在上是“亲密函数”的是

.参考答案：②④略17.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）：设是位于这个三角形数表中的从上往下数第行，从左往右数第列的数，如，则____.参考答案：48【分析】计算出前9行中元素的个数，进而可得.【详解】第9行的最后一个数为，所以.故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求实数a取值范围.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.①当时，由，知函数在内单调递增；②当时，由，即得；由，即得.所以，函数在内单调递增，在内单调递减.因此，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增；在内单调递减；（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.且当时，，当时，，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）证明在上是增函数；（3）解不等式.参考答案：(1)解：是（-1，1）上的奇函数

（1分）又

（2分）

（4分）（2）证明：任设x1、x2（-1，1），且则

（6分），且

又

即

（7分）在（-1，1）上是增函数

（8分）（3）是奇函数

不等式可化为即

（9分）又在（-1，1）上是增函数

略20.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．参考答案：（1）取中点，连接，，∵，分别是，中点，∴，，∵为中点，为矩形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）∵平面，∴到平面的距离等于到平面的距离，∵平面，∴，∵，在中，∵平面，∴，∵，，∴平面，∴，则，∵，∴为直角三角形，∴，，设到平面的距离为，又∵，，，∴平面，则，∴，∴到平面的距离为．21.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且.（1）求角A；（2）若，求△ABC的面积的最大值.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）因为，根据正弦定理“边化角”，结合正弦两角和公式，即可求得角；（2）根据余弦定理求得关系式，结合均值不等式和三角形面积公式，即可求得△ABC的面积的最大值.【详解】（1）由题设及正弦定理得化简得，，可得：（2）由已知（1），根据余弦定理得，即，，（当且仅当时取号）（当且仅当时取号）【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形问题，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22.（本小题满分13分）

设函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的值域；

（Ⅱ）记的内角A，B，C的对边分别为，若，求角C的值。参考答案：解：（I）

………………3分

的最小正周期为

………………4分

因为，所以,所以值域为

………7分

（II）由（I）可知，

,

………………