18.1.4-平行四边形的性质和判定的应用

18.1平行四边形第4课时

平行四边形的性质和判定的应用第十八章

平行四边形习题课

平行四边形的性质与判定方法的区别与联系．(1)联系：平行四边形的性质的题设和结论正好与判定

的题设和结论相反，它们构成互逆的关系．(2)区别：由平行四边形这一条件得到边、角或对角线

的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、

角或对角线的关系得到平行四边形，这是平行四

边形的判定．1类型利用平行四边形的性质和判定判定平行四边形1．【2016·鄂州】如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对

角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别

为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN.∴四边形CMAN是平行四边形．证明：(2)∵四边形CMAN是平行四边形，∴CM＝AN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB.∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF.

在△MDE和△NBF中，∴△MDE≌△NBF.∴BF＝DE＝4.

在Rt△NBF中，∵∠BFN＝90°，BF＝4，FN＝3，∴BN＝

＝5.解：2利用平行四边形的性质和判定说明线段平分关系类型2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD

上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H，G.求证：(1)四边形AECF是平行四边形．(2)EF与GH互相平分．(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．(2)由(1)得四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE.∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF.∴四边形BFDE是平行四边形．∴BF∥DE.∴四边形EGFH是平行四边形．∴EF与GH互相平分．证明：3利用平行四边形的性质和判定说明线段的垂直关系类型3．如图，▱ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10.(1)求证：AE⊥BD；(2)求▱ABCD的面积．过D作DF∥AE交BC的延长线于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝10，AD∥BC，∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF＝AD＝10，DF＝AE＝9.∵E是BC的中点，∴BE＝

BC＝5.∴BF＝BE＋EF＝5＋10＝15.∴BD2＋DF2＝122＋92＝225＝BF2.∴∠BDF＝90°，即DF⊥BD.

又∵DF∥AE，∴AE⊥BD.证明：(2)过D作DM⊥BF于M，∵BD·DF＝BF·DM，∴DM＝.∴S▱ABCD＝BC·DM＝72.解：4利用平行四边形的性质和判定证明线段间的平方关系4．【中考·扬州】如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，

使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，

连接BE.(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.类型(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠CBA，DC∥AB，AD∥BC.∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB

边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠D＝∠AD′E.∴∠AD′E＝∠CBA.∴ED′∥CB.∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形．证明：(2)∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB＋∠EBA＝90°.∴∠AEB＝90°.

∴AB2＝AE2＋BE2.5利用平行四边形的性质和判定求线段的长5．【中考·毕节】如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使

DE＝

AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．类型(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵F是BC的中点，∴FC＝

BC.

又∵E是AD延长线上一点，且DE＝

AD，∴FC∥DE，FC＝DE.∴四边形CEDF是平行四边形．证明：(2)如图，过点D作DM⊥BC于点M.∵四边形CEDF，四边形ABCD是平行

四边形，F是BC的中点，∴CE＝DF，∠DCM＝∠A＝60°，FC＝

BC＝

AD＝2，DC＝AB＝3.

在Rt△DCM中，∠CDM＝90°－60°＝30°，DC＝3.∴CM＝.∴DM＝

，FM＝.

在Rt△DFM中，由勾股定理可知：DF＝.∴CE＝DF＝.解：6利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系6．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点

D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC.(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC

的反向延长线上时，如图③.请分别写出图②，图③中

DE，DF，AC之间的

数量关系，不需要证明．类型(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，四边形AEDF是平行四边形．∴DE＝AF.

又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠FDC＝∠C，∴DF＝FC.∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC.(2)解：当点D在边BC的延长线上时，DE－DF＝AC；

当点D在边BC的反向延长线上时，DF－DE＝AC.(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝________.2或107利用平行四边形的性质和判定探究动点问题7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝18cm，

CD＝15cm，AD＝10cm，AB＝12cm，动点P，Q分别

从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由A向D运动，

点Q以3cm/s的速度由C向B运动．(1)几秒后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四

边形ABQP的周长；(2)几秒后，四边形PDCQ为平行四

边形？并求出此时四边形PDCQ

的周长．类型(1)设xs后，四边形ABQP为平行四边形，由题意易得2x＝18－3x，解得x＝3.6，

即3.6s后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边

形ABQP的周长是3.6×2×2＋12×2＝38.4(cm)．(2)设ys后，四边形PDCQ为平行四边形．由题意易得10－2y＝3y，解得y＝2，即2s后，四边形PDCQ为

平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3×2×2＋15×2＝42(cm)．解：8利用平行四边形的性质和判定探究条件问题8．如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的

点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.(1)求证：△ACD≌△CBF；(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形

且∠DEF＝30°.类型(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠FBC＝∠DCA＝60°，

在△ACD和△CBF中，∴△ACD≌△CBF(SAS)．证明：(2)当D是线段BC的中点时，四边形CD-EF为平行四边形，且∠DEF＝30°.

如图，连接BE，

由题易知AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°.∴∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60°，

即∠EAB＝∠DAC，∴△AEB≌△ADC(SAS)．

又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB.