2020-2021学年北京市平谷区高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市平谷区高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.把直线x—y+遮-1=0绕点（1,遮）逆时针旋转15。后，所得直线方程的斜率为（）

A.1B.—1C.V3D.—V3

2.已知4（一1,0）,8（3,2）,C（0,-2）,则过这三点的圆方程为（）

A.(x-1)2+y2=25B.(%+|)2+y2=；

C.(x~|)2+y2=7D.x2+(y-|)2=|

3.已知4为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点4到c的焦点的距离为12,至如轴的距离为9,则

P=()

A.2B.3C.6D.9

4.抛物线G：/=2py（p>0）的焦点与双曲线C2：9—=1的左焦点的连线交G于第二象限内

的点M.若G在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则P=（）

Bc

A弋?-¥D-V

5.如图，正方体ABC。一中，棱长为1,PB=”,则P点坐标为（

AA-八11、

B.(|,|,|)

c（级总

D.（|,沾

6.设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4,0.5,各人是否需使用设备相互独立，

则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（）

A.0.3B,0.5C.0.7D.0.9

7.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86,那么由此求出的平均数与实际平均数的

差为（）

A.-0.9B.0.9C.3.4D.4.3

8.定义：离心率6=竽的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线E：g-^=l(a>0,b>0),c

为双曲线的半焦距，如果a,b,c成等比数列，则双曲线5()

A.可能是“黄金双曲线”B.可能不是“黄金双曲线”

C.一定是“黄金双曲线”D.一定不是“黄金双曲线

9.若圆(x-I)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x-y+6=0的距离等于门，则

r的取值范围是()

A.(0,2V5)B.(V5,3V5)C.(V5,2V5)D.(2遍,3遍)

10.下列命题中正确的是()

A.利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形

B.利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形

C.有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

二、单空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.总体由编号为01,02,03,49,50的50各个体组成，利用随机数表(以下摘取了随机数表

中第1行和第2行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向

右读取，则选出来的第4个个体的编号为.

6667406714640571958611056509687683203790

5716001166149084451175738805905227411486

12.经过点(1,0),且以2=(2,5)为一个方向向量的直线，的方程为.

13.设P是抛物线y2=2x上的一点，A(a,0)(0<a<1),则|P*的最小值是.

14.椭圆[+[=1的左焦点为&,对定点M(6,4),若P为椭圆上一点，则|PF]|+|PM|的最大值为

2516

15.已知角a的顶点在原点，始边为X轴非负半轴，则x"的终边在第一象限”是“sina>0”的

条件.(从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填)

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分)

16.某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分

数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列.

(1)求出最大频率；

(2)求出视力在4.6-5.0的人数.

17.如图正四棱锥S-ABC。，底面边长为2,P为侧棱SD上靠近。的三

等分点，

(1)若SD1PC,求正四棱锥S-ABC。的体积；

(2)在侧棱SC上是否存在一点E,使得8E〃平面PAC,若存在请找到点E

并求SE：EC的比值，若不存在请说明理由.

18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元次收费，并注册

成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下:

体检次序第一次第二次第三次第四次第五次及以上

收费比例10.950.900.850.8

该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据

如下表：

体检次数一次两次三次四次五次及以上

频数60201244

假设该体检中心为顺客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：

(1)已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；

(2)该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人,

再从这5人中抽取2人发放纪念品，求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率.

19.已知如图几何体，正方形4BCD和矩形4BEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD,M为4F的

中点，BN1CE.

(I)求证：CF〃平面BDM：

(II)求二面角M一BD—N的大小.

20.如图，椭圆胃+《=l(a>b>0)的左、右焦点为Fi，F2,右顶点为M,上顶点为N,若OP〃MN,

PR与x轴垂直，且|MF/=4+2近.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点(3,0)且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于4、8两点，已知点C(t,0),当t6(0,1)时，求满足

\AC\=|BC|的直线48的斜率k的取值范围.

21.已知椭圆的中心在坐标原点。，焦点在坐标轴上，直线y=x+l与该椭圆相交于P和Q,且。P1

OQ,|PQ|=尊求椭圆的方程.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：

本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题.

先求出已知直线的倾斜角，可得旋转后所得直线的倾斜角，从而求出旋转后所得直线的斜率.

解：•.■直线x-y+6-l=0的斜率为1,故它的倾斜角为45。，

绕点(1，遍)逆时针旋转15。后，

所得直线的倾斜角为60。，故所得直线的斜率为tan60。=W，

故选：C.

2.答案：C

解析：解：根据题意，设要求圆的圆心为(a,b),半径为r,

则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

又由圆过4(一1,0),B(3,2),C(0,-2)三点，

<(-1-a)2+(0-b)2=r2

则有卜3-a)2+(2—b)2=r2,

((0—a)2+(—2—b)2=r2

解可得：a=|,b=0,r=I，

则圆的标准方程为：(x—|)2+y2=g,

故选：C.

根据题意，设要求圆的圆心为(a,b),半径为r,结合题意由圆所过点的坐标可得

(―1—a)2+(0—b)2=r2

■(3-a)2+(2-b}2=r2,解可得a、b、r的值，将其值代入a、b、r中，即可得答案.

、(0-a)2+(-2-以=r2

本题考查圆的标准方程的计算，关键是求出圆心坐标以及半径.

3.答案：C

解析：

本题主要考查抛物线定义的应用，属于基础题.

直接利用抛物线的定义解题即可.

解：A为抛物线C：V=2px(p>0)上一点，

点A到C的焦点的距离为12,至物轴的距离为9,

因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,

故有9+(=12np=6.

故选C.

4.答案:D

解析：

本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某

点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题.

由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出曲线在％取

直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,

把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值.

解：抛物线G：#=2py的焦点坐标为尸(0,乎

双曲线C2：9-y2=1的左焦点为(—2,0).

则抛物线的焦点与双曲线的左焦点的连线所在直线方程为y—弓0=x杀+2，

2

即k-2y+p=0①.

设该直线交抛物线于则C］在点M处的切线的斜率为藁.

由题意可知藁=一”一(,得而=一日p,代入M点得M(4崂

把M点代入①得：—3p2—X+p=0.

63

解得P=警.

故选：D.

5.答案：C

解析：解：如图所示,

设点P(x,y,z),且点。'(0,0,1)；

•・•点P在正方体ABCD-4181c山1的对角线B。'，x=y①,

又PB=JB',

222222

•1•(x-I)+(y-l)+z=[(x-l)+(y-I)+(z—1)]@>

又而与而共线，••・、=《=彳③；

(X--5

6

由①②③组成方程组，解得(y=*

■

■1•p点坐标为(m).

OOO

故选：C.

根据题意，设出点PQ,y,z),结合题意利用坐标表示列出方程组，求出解即可.

本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目.

6.答案：C

解析：解：根据题意，设甲使用设备为事件4乙使用设备为事件B,

则P(4)=0.4,P(B)=0.5,则有P(A)=1-0.4=0.6，P(B)=1—0.5=0.5,

甲乙都没有使用设备的概率p(AB)=0,6x0,5=0.3，

则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率P=1-p(AB)=1-0,3=0,7；

故选：C.

根据题意，设甲使用设备为事件4乙使用设备为事件B,由此求出甲乙都没有使用设备的概率p([函,

由对立事件的概率性质分析可得答案.

本题考查相互独立事件和对立事件概率的计算，涉及互斥事件、对立事件的区别，属于基础题.

7.答案：B

解析：

求出的平均数与实际平均数的差：工-7=铲，由此能求出结果.

本题考查求出的平均数与实际平均数的差的求法，考查平均数的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

解：设20个数分别为X],x2,x20,

求出的平均数为元=9叱广网,

实际平均数7=…+才产68,

二求出的平均数与实际平均数的差：

八

-x8-x6=-6--8--=0n.9.

20

故选：B.

8.答案：C

解析：解：炉=砒，贝b=£=纪叵=dTT7，

aa

e2-e-1=0,解得e=或e=®!(舍)，

22、,

二该双曲线是黄金双曲线，

则双曲线E一定是“黄金双曲线”.

故选：C.

利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解.

本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用.

9.答案：B

解析：解：•••圆(x-1)2+(y+2)2=72代>0)的圆心到直线2%-y+6=0的距离为4=

回玲乃+6匕2次,

当「=6时，圆上只有一个点到直线的距离等于百，当r=3代时，圆上有三个点到直线的距离等

于近，

.•.圆(x-I)2+(y+2产=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x-y+6=0的距离等于病时，

圆的半径r的取值范围是：V5<r<3V5，

故选：B.

先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离

等于遍，以及圆上只有一个点到直线的距离等于麻的条件，可得要求的r的范围.

本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

10.答案:B

解析：解：利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，故A错；

利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形，正确，由斜二测画法可得B对；

有两个面平行，其余各面都是平行四边行，并且每相邻两个四边侧面的公共边都互相平行，

这样的几何体叫棱柱，故C错；

用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，

故。错.

故选：B.

运用斜二测画法，即可判断4B；由棱柱的定义，且每相邻两个四边侧面的公共边都互相平行，可

判断C；由棱台的定义中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，可判断。.

本题考查斜二测画法和棱柱、棱台的定义，注意定义的准确理解，考查判断分析能力，属于基础题.

11.答案：09

解析：解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，

由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为

14,05,11,05(重复，舍去)，09,20.

可知选出的第4个数值为09.

故答案为：09.

从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且为小于或等于50的编

号，注意重复的数值要舍去，由此求出答案.

本题考查了随机数表法的应用问题，是基础题.

12.答案：5x-2y-5=0

解析：

本题考查了直线方程的求法与应用问题，是中档题.

由直线的方向向量求得斜率k的值，再写出直线珀勺方程.

解：由直线的方向向量为2=(2,5)，

所以直线的斜率为k=|,

所以直线I的方程为y-0=|(x-1),

化为一般方程是5%-2y-5=0.

故答案为：5x-2y-5=0.

13.答案:a

解析：解：由题意，抛物线用=2%上的一点P(x,y)到点4(a,0)(aER)的距离为，(x-a)2+y2

vy2=2x,

•,•为—a)2+y2=J(久—。产+2x=y/[x—(^a-l)]2+2a—1,

0<(1<1时・，x=0,最小值为：a.

故答案为：a.

利用两点间的距离公式，求出距离，利用配方法，可求最小值.

本题考查两点间的距离公式，考查配方法的运用，属于基础题.

14.答案：15

解析：解：由椭圆式+廿=1焦点在%轴上，可得：a2=25,坟=16.

2516

ci—5»b=4,c=3.

二『2(3,0)，\MF2\=5.

\PM\+|PF/=2a+\PM\-\PF2\<2X5+\MF2\=15,

当且仅当三点M、尸2、P共线时取等号.

故答案为：15.

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于中档题

15.答案：充分不必要

解析：解：由a的终边在第一象限，得sina>0,

反之，由sina>0,可得a的终边在第一或第二象限或在y轴正半轴上.

“a的终边在第一象限”是“sina>0”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

由三角函数的象限符号结合充分必要条件的判定得答案.

本题考查三角函数的象限符号，考查充分必要条件的判定，是基础题.

16.答案：解：(1)根据频率分布直方图，得组距为0.1,

则4.3〜4.4间的频数为300x0,1x0.1=3；

4.4〜4.5间的频数为300x0.1x0.3=9,

所以4.6〜4.7间的频率最大，为3x33=81,

所以最大频率为0.27；

(2)根据后6组的频数成等差数列，且共有300-39=261人,

设公差为d,则6x81+—^―,d=261,

解得d=-15；

所以视力在4.6〜5.0的人数为：

4x81+等x（-15）=234.

解析：（1）根据频率分布直方图，得出4.6〜4.7间的频率最大，利用频数、等比数列的知识求出最大

频率值；

（2）根据后6组的频数成等差数列，且和为261,求出公差d,即可计算所求的结果.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了等差与等比数列的应用问题，是综合性题目.

17.答案：解：（1）设正四棱锥的侧棱长为3a,

•••CP1SD.♦.三角形SPC与三角形CDP皆为RT△,

由勾股定理如_SP2=CP2=亦-W可得a=争

二侧棱长为通..（2分）

,•・四棱锥的高SO=2,

VS-ABCD=,S/I=,….（4分）

（2）取SC中点为E,E点为所求，；.SE：EC=1：1

取线段SD靠近S的三等分点Q,连接BQ,BD.

设AC,BD交于0点连接OP,

取SC中点为E,连接QE,...（6分）

在面SBC中，是BC的中点，P是QC的中点，

•••P。是三角形DBQ在BQ边的中位线，/.OP//BQ,

vOPBQu平面BEQ,

•••。/7/平面BEQ,

在面SCC中，是SC的中点，Q是SP的中点，

•••EQ是三角形SCP在PC边的中位线，；.EQ//PC,

vCPC平面BEQ,EQu平面BEQ,

•••CP//^BEQ,

VOPC\CP=P,

・••面BEQ〃面APC,

•・,BEu面BEQ,

・・・BE//^PAC...（12分）

解析：⑴设正四棱锥的侧棱长为3a,由勾股定理S02-SP2=cp2=002—2^^0=9,再求

正四棱锥S-4BCD的体积；

(2)取SC中点为E,线段SD靠近S的三等分点Q,连接BQ,BD,证明平面BEQ〃平面PAC,可得8E〃

平面24c.

本题主要考查立体几何中平面与平面平行的性质，正四棱锥S-ABCC的体积，考查学生分析解决问

题的能力，属于中档题.

18.答案:解：(1)医院三次体检的收入为200x(1+0.95+0.9)=570,

三次体检的成本为150x3=450,

利润为570-450=120元，故平均利润为40元.

(2)由题抽出的五个人中有3人恰体检三次，记为4,B,C,有一人恰体检四次，记为。，

有一人恰体检至少五次，记为E,从五人中抽两个人出来，共有：

(4B),(4C),(A,D),(4,E),(B,D),(B,E),

(C,D),(C,E),(D,E),10种情况,

其中抽到的2人中恰有1人体检3次的情况有：

(4。)，(4E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E)6种情况，

所求概率为2=|.

解析：(1)医院三次体检的收入为200x(1+0.95+0.9)=570,三次体检的成本为150x3=450,

由此能求出平均利润.

(2)由题抽出的五个人中有3人恰体检三次，记为4,B,C,有一人恰体检四次，记为D,有一人恰体

检至少五次，记为E,从五人中抽两个人出来，利用列举法能求出抽到的2人中恰有1人体检3次的概

率.

本题考查平均利润、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

19.答案：(I)证明：连接4C,设ACnBD=O,连接OM,

则。为4c的中点，

为4尸的中点，•••OM〃CF,

•••OMu平面BDM,CFC平面BDM,

CF〃平面BOM：

(U)解：因为正方形4BCD和矩形4BEF所在平面互相垂直，所以力尸_L平面4BCD,

以A为原点，以4D,AB,4尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

如图不妨取力8=1,则C(1,1,O),M(0,0,l),B(0,1,0),D(l,0,0),N(g,l,|),

设平面BOM的一个法向量为万=(%,y,z),

"BD==(0,-l,l)，

■••{-;+7=0-解得了=Qi，。

同理可得平面BCN的一个法向量为干=(1,1，-2),

■■Pq=0,

二面角M一BD—N的大小为90。.

解析：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，利用向量法求面

面角.

(1)证明。/7/平面3。M，利用线面平行的判定，只需证明CF平行于平面BDM中以一条线即可，连

接AC,ACOBD=0,连接。M,则。为4C的中点，根据M为4F的中点，可证OM〃CF；

(II)以4为原点，以AC,AB,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系，证明法向量垂直，由此可求二

面角M-BD-N的平面角的大小.

20.答案：解：(1)根据题意，设Fi(-c,0),

由PFi1x轴，0P〃MN知卓=则仍&|=容

又由盘+3=1得|y|=?,.・.?=舁.•"=,，

又|Ma|=a+c=4+2夜，a2—c2=b2=c2,

・•・a2=16,b2=c2=8,

•••椭圆方程格+9=L

(2)设4(%,%),F(x2,y2),直线48的方程为：y=fc(x-3)(fc0),

y=k(x—3)

22

联立*2y2消去y得(1+21)/-12kx+18k-16=0,

—F---=1

1168

△>0恒成立，

(.+X=—12k727

J1/21+2/c2

)18k2-16，

后

为+乃=k(Xi+x2)-6k=

设线段AB的垂直平分线方程为：y-也产=-5(x-空)

令y=0,得％”应+山=当，

22l+2fc2

由题意知，C为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，所以0<3二<1=/<1且％力0,

l+2k2

所以kG(-1,0)U(0,1).

解析：⑴根据题意，设出Fi的坐标，分析可得旧居|的值，进而分析可得b=c,结合|MF1|=4+2企

分析可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；

(2)根据题意，设出4B的方程，联立直线与椭圆的方程，可得(1+2k2铲一12k2》+18k2-16=0,

由根与系数的关系分析可得力8中点的坐标，即可得线段ZB的垂直平分线方程，进而用k表示x,由x

的范围可得0</<1,解可得答案.

l+2fc2

本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆