湘教版九年级数学下册第2章：圆 单元基础拔高训练卷

九年级数学下册第2章圆单元基础拔高训练卷（湘教版）

一、单选题

1.以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等；④

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中正确的个数是（）

2.如图，已知。。的两条弦AC,BD相交于点E,NA=75°,NC=45°,那么NAEB的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

3.如图，A6C是。的内接三角形，是。的直径，点。在。上.若N3CD=36。，则NACD

的度数为（）

A.36°B.44°C.54°D.64°

4.如图，。的半径为10,弦AB的长为16,M是弦AB上的动点，则线段0M长的最小值为（）

O

M

A.4B.6

C.8D.10

5.下列命题中假命题的个数是（）

①三点确定一个圆：②直径是圆中最长的弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于

弦；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

A.4B.3C.2D.1

6.如图，在。中，E是直径A3延长线上一点，CE切。于点E,若CE=2BE,则NE的余弦值为

（）

7.如图，已知PA、PB为圆0的切线，切点分别为A、B,P0交AB于点C,射线P0交圆0于点D、点

E.下列结论不一定成立的是（）

A.点E是4BPA的内心B.AB与PD相互垂直平分

C.点A、B都在以P0为直径的圆上D.PC为4BPA的边AB上的中线

8.如图，ABC中，44=80。，点。是ABC的内心，则ZBOC的度数为（）

A.100°B.160°C,80°D.130°

9.如图，在等腰直角中，以AB为直径的半圆0交斜边BC于点D,若AB=AC=8,则阴影部分

面积为（）

A.32-8nB.32-4nC.24-2nD.24-4n

10.如图，在圆内接四边形ABC。中，ZA=52,ZB=98,ZAOB=120",AB=a,BC=b,CD=c,

DA=d,则此四边形的面积（用含a,b,c,d的代数式表示）为（）

A.；(ab+cd)

B.(ac+bd)C.(ad+be)D.—(ab+be+cd+ad)

4

11.如图，在AABC中，NACB=90°,过B,C两点的交AC于点D,交AB于点E,连接E0并延长

交。0于点F.连接BF,CF.若NEDC=135°,CF=2五，则AE'+BE?的值为（）

A

A.8B.12C.16D.20

12.如图，点A,B分别在x轴、y轴上（0A>0B）,以AB为直径的圆经过原点0,C是给B的中点，

连结AC,BC.下列结论：①AC=BC;②若0A=4,0B=2,则AABC的面积等于5;③若0A-0B=4,则点

C的坐标是（2,-2）.其中正确的结论有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

13.如图，A、B、C为。0上三点，且NACB=35°,则N0AB的度数是度.

14.如图，在。中，半径OC垂直于。,A5=8,C0=2,则。的半径是

15.如图，直线48与。。相切于点C,点。是。0上的一点，且N£PR30°，则N&X的度数为

16.如图，正五边形ABCDE内接于。0,若。0的半径为10,则我B的长为

17.如图，PA、PB分别与。。相切于点A、B,。。的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在AB

上，若PA长为2,则4PEF的周长是.

18.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，ZB=135°,则NA0C的度数为

19.如图，48是。。的直径，且45=4,点C是半圆48上一动点(不与48重合)，⑦平分N4第交

。。于点。，点/是△4861的内心，连接8D.下列结论：

①点〃的位置随着动点C位置的变化而变化；

②/庐劭；

③0/的最小值为血-1;

④AC+B用CD.

其中正确的是.(把你认为正确结论的序号都填上)

三、解答题

20.如图，已知AB是。。上的点，C是。。上的点，点D在AB的延长线上,NBCD=NBAC.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若ND=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.

21.如图，在aABC中，AB=AC=10,NB=30°,0是线段AB上的一个动点,以0为圆心，0B为半径

作。。交BC于点D,过点D作直线AC的垂线，垂足为E.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)设OB=x,求NODE的内部与AABC重合部分的面积y的最大值.

22.如图，在RtZ^ABC中，NACB=90°,以斜边AB上一点0为圆心，0B为半径作。0,交AC于点E,

交AB于点D,且NBEC=NBDE.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)连接0C交BE于点F,若C与E=；2,求O妥F的值.

AE3CF

23.如图，AB是O0的直径，弦CD_LAB于点E,点P。。上，NkNC.

(1)求证：CB〃PD;

(2)若NABC=55°,求NP的度数.

24.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，A点坐标为(-8,0),B点坐标为(2,0),以AB为直径的

圆p与y轴的负半轴交于点c.

(1)求图象经过A,B,。三点的抛物线的解析式;

(2)设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与P的关系，并说明理由.

25.如图，已知AB是。的直径，点C、。在。上，ZD=60且AB=6,过。点作OEJ_AC,垂

足为E.

(1)求0E的长;

(2)若的延长线交。于点尸，求弦4尸、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积S.

26.如图1,四边形ABCD内接于。0,AC为。。的直径，AC与BD交于点E,且AE=AB.

(1)DA=DB,求证：AB=CB;

(2)如图2,aABC绕点C逆时针旋转30°得到aFGC,点A经过的路径为AF,若AC=4,求图中阴

影部分面积S;

(3)在(2)的条件下，连接FB,求证：FB为00的切线.

参考答案

1.D

解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题①错误；

不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题②错误；

同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，但是如果不是同圆和等圆时，相等的弦所对的弧不一定相

等，故命题③错误；

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故命题④正确；

2.C

由同弧所对的圆周角相等，得NB=NC=45°,

在ABE中，NA=75°,NB=45°,

,NAEB=60°,

3.C

解：:AB是。。的直径，

AZACB=90°,

NBCD=36°,

AZACD=90°-NBCD=54。.

4.B

解:由题意得：根据点到直线垂线段最短，故线段0M长的最小值为当OM_LAB时，连接0A,如图所

示：

VAB=16,

，AM=MB=8,

V0A=10,

在RtAAOM中，OM=y/o^-AM2=6，

AOM的最小值为6：

5.B

解：①错误，三个不在同一直线上的点确定一个圆：

②正确；

③错误，同圆或等圆内，相等的圆周语所对的弧相等;

④错误；反例：两个直径互相平分但不一定垂直；

⑤正确：

.•.假命题的个数是3.

6.B

解：如图，连接0C,

,:CE切。于点E,

AZ0CE=90°,

设OC=OB=x,CE=2BE=2k,

,在中，OC2+CE2^OE2,

：.x2+(2k)2=(x+k)2,

3

解得x=3k,

：.OE=OB+BE=-k,

2

C2z4

E-

-一=---

。55

-4

2

故B

<B:

7.

解：如图，作EGJ_PA于G,EHLPB于H,作PO的中点F,并连结FB、FA、EB、EA、OB、OA,

由切线长定理可知PA=PB,NBP0=NAP0,

...△BPA为等腰三角形，且PC为ABPA的边AB上的中线，D不符合题意;

由切线的性质可知△OBP、AOAP为直角三角形，

F为P0的中点，,FB=FA=-PO=FO,

...点A、B都在以P0为直径的圆上，C不符合题意;

PB=PA

在aPBE和aPAE中，＜NBPO=NAPO,

PE=PE

.,.△PBE^APAE,...EB=EA,二NEBA=NEAB,

•；PA是。。的切线，NPAE=NEBA,，NPAE=NEAB,，EG=EC,

•.•PO平分NBPA,；.EH=EG,

.\EH=EG=EC,.,.点E是ABPA的内心,A不符合题意；

•.•PC=CD不一定成立，AB与PD不一定相互垂直平分，B符合题意;

8.D

解：•.,乙4=80。，

ZABC+ZACB=180°-80°=100°,

•..点。是A5C的内心，

...BO平分NABC,C0平分NACB,

AZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

NOBC+ZOCB=1(NABC+ZACB)=gx100。=50°,

，ZBOC=180°-50°=130°.

9.D

解：如图，连接AD、0D,

C

oB

,:AB=AC,

：,ABC是等腰直角三角形，

ZAB£>=45°,

VAB是直径,

ZAZ)B=90°,

...AABD是等腰直角三角形，

OA=OB,

：.DO1AB,

'：AB=S,

OA-OB=OD=4,

S阴影-崩形.A。—SBOD

=lx8x8_22£r£_lx4X4

23602

=24—4乃.

10.B

解：连接AC,BD攵于P,

QZAOB=120°,

Nl=N2=60。，

ZABC=98°,

.-.Z3=22°,

ZZMB=52°,

ZZMC=30°,

.•.zi+zmc=90°,

AC.LBD,

在RtAADP中，ZZMC=30°,AD=d,

in

；.PD=-d,AP=—d,

22

同理得：PC=gb,PB=%,

/BAC=/BDC,ZAPB=ZDPC9

.-.AAPB^ADPC,

.APAB

一~PD~~DC'

3

•21

c'

—1a,

2

a=6c,

在RtACPD中，由勾股定理得：DC2=PD2+PC2,

22

4c2=h+df

S四边形AM=gACBD=1(AP+PC)(BP+PD),

1,1.x/3,1八

~(.—d+-b)w(—b+-d),

22222

-(43d2+4bd+y/3b2),

8

=^[y/3(b2+d2)+4bd],

='(4&2+4hd),

8

=—(4ac+Abd),

8

=；(ac+/?d)

故选B.

11.C

VZEDC=135°,

，NADE=45°,ZABC=180°-NEDC=180°-135°=45°;

VZACB=90°,

NA=45°,

，NADE=NA=45°,

；.AE=AD,NAED=90°;

VEF为。。的直径,

NFCE=90°,

；NABC=NEFC=45°,CF=2夜,

.•.EF=4；

连接BD,

A

,/ZAED=90°,

AZBED=90°,

ABD为。0的直径，

；.BD=4;

在RtaBDE中，BE2+DE2=BD2=42=16,

.\AE2+BE2=16.

故选C.

12.A

①:AB为直径，

NACB=90°,

.•.①正确；

②是筋/?的中点，

,BC=AC,

，AC=BC,

.•.②正确;

③在Rt^AOB中，0A=4,0B=2,

•，.AB=yjo/r+OB2=275,

历

在RtAABC中，AC=BC=—AB=V10,

2

.,.△ABC的面积='XACXBC=-XV10XVW=5,

22

...③正确；

④如图，

过点C作CD_LOA,DELOB,

NBEC=NADC=90°

"BEC=ZADC

在aBCE和aACD中，，NCBE=ZCAD,

BC=AC

.,.△BCE^AACD,

.\AD=BE,CE=CD,

：ND0E=N0EC=N0DC=90°,

四边形ODCE是矩形，

•；CE=CD,

，矩形ODCE是正方形，

...OD=OD=CD=CE,

VAD=OA-OD,BE=OB+BE=OB+OD,

VAD=BE

AOA-OD=OB+OD,

VOA-0B=4,

.\0D=2,

，CD=CE=2,

AC(2,-2)

...④正确，

13.55

解：VOA=OB,

,Z0AB=Z0BA,

VZACB=35°,

...NA0B=2NACB=70°,

1800-70°

=55。；

2

故答案为55.

14.5

设。。的半径为r,则0D=r-2,

VOC±AB,

.,.AD=BD=-AB=4,

2

在RtAAOD中，；OD2+AD2=OA2,

，(r-2)2+42=r2,解得r=5,

即。0的半径为5.

15.30°

解：如图所示，连接OE、0C,

VZEDC=30°,

NE0C=2NEDC=60°,

又•；0E=0C,

△EOC为等边三角形，

二NEC0=60°,

•.•直线AB与圆0相切于点C,

,NAC0=90°,

NECA=NAC0—NEC0=90°-60°=30°.

16.2n

解：如图所示：连接0A、0B.

AB

VO0为正五边形ABCDE的外接圆，。0的半径为10,

360°

ZA0B==72°,

727^x10

AB的长为:=2万.

360

故答案为：2n.

17.4.

解：VPAsPB分别与00相切于点A、B,

。。的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在A8上,

.*.AE=CE,FB=CF,PA=PB=2,

...△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4.

18.90

•.•四边形/8C9是。。的内接四边形，,N8+NP=180°,AZP=180°-135°=45°,AAAOC=

90°,故答案为90°.

19.②④

解：CD平分ZACB,48是。。的直径，

ZACD=ZBCD=45,

•AD=BD，

QAfi是。的直径，

二。是半圆的中点，即点。是定点;

故①错误：

如图示，连接IB,

•.•点/是△4861的内心，

ZABI=ZCBI

又：ZA8O=Z48=45,

NDBI=ZABD+ZABI=45+ZAB/

NDIB=NDCB+NCBI=45+ZABI

即有ZDBI=ADIB

：.ID=BD,

故②正确；

如图示，当0/最小时，8经过圆心0,

过/点，作出，3C,交BC于E点

•.•点/是△48C的内心，C。经过圆心0,

IO=IE,

'：/BCD=45

：.C7E是等腰直角三角形，

又：AB=4,

AIC=2,

设/O=x,则/E=CE=x,IC=2-x,

x2+x2=（2-x）2,

解之得：x=2叵-2,

即：10=242-2,

故③错误；

假设AC+8cx&8,

■:点、C是半圆48上一动点,

则点C在半圆48上对于任意位置上都满足AC+BCW&CQ,

如图示，

当CO经过圆心0时，AC=BC=242,CD=4,

AC+BC=2y/2+2j2=4yf2=>/2CD

与假设矛盾，故假设不成立,

/.AC+BC=>/2CD

故④正确：

综上所述，正确的是②④，

故答案是：②④

20.

(1)如图，连接0C,V0A=0C,，NBAC=N0CA,；NBCD=NBAC,NBCD=NOCA,：AB是直径，二

NACB=90°,N0CA+0CB=NBCD+N0CB=90°N0CD=90°YOC是半径，；.CD是。0的切线

(2)设。。的半径为r,，AB=2r,：ND=30°,Z0CD=90°,；.0D=设,ZC0B=60°：.r+2=2r,：.r=2,

ZA0C=120°Z,BC=2，，由勾股定理可知：AC=2且，易求S»℃=X2>/3X1=^S刖.0二与丁=¥,

23603

...阴影部分面积为f-G.

21.

证明：（1）连接OD,

•；AB=AC,

二NC=NB.

V0B=0D,

N0DB=NB

N0DB=NC

.,.0D/7AC.

VDEXAC,

AODXDE,

ADE是00的切线.

(2)①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F,围成的图形为AODF.

二NF0D=60°,

VZ0DE=90°,

/.DF=#)x,

*'•SAODF-x,>/3x=x2,(OVxW*)

223

当x号时,S△△最大,最大值为与G;

②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE.

VAB=AC=1O,NB=30°,

.,.BC=1O6,

作OH±BC,

；0D=0B=x,NB=30°,

，BD=2BH=gx,

•*.CD—10y/3—>/3x,

VZC=30°,NDEC=90°,

；.DE二(1073-73x),CE=B(1073-V3X)=15-^

222

.•.AE=g-5,

2

；.S林移他0£=；(—x—5+x),g(10^/3—73x)=(—x2+12x—20)(孚VxV10)

22283

当x=6时，S林峪ME最大，最大值为106;

综上所述，当x=6时，重合部分的面积最大，最大值为10百.

22.

：解：(1)连接。£

VOB^OE,：.NOBFNOEB.

■:乙ACBH0°,:./CBS/BEC^G.

：8D为。。的直径，；.N8吩90°,/.ZDBSZBDF9。0,Z.ZCB3ZDBE,：.NCB&NOEB,：.OE

//BC,:.NOE归NACKN,即宏_L4C,.,JC为。。的切线.

(2)'：OE//BC,：.l\AOE^/\ABC,：.OE:BOAE-.AC.

"/CE:AE^T.'.3,AE\彳伉3:5,/.OE:BC=Z:5.

OFOE3

OE//BC,△OEFs△CBF,---==-.

CFBC5

B

23

(1)要证明CB〃PD,只要证明N仁NP;由N仁NC,NP=NC,可得N1=NP,即可解决问题;

(2)在RtZkCEB中，求出NC即可解决问题.

试题解析：(1)如图，•.,N1=NC,NP=NC,

二NkNP,

，CB〃PD;

(2)VCD±AB,

NCEB=90°,

,?NCBE=55°,

AZC=90°-55°=35°,

，NP=NC=35°.

24.

解：(1)连接4?、BC-,

,.)8是。P的直径，

:.NACBHO。,即N4C令N8C390。，

•：2BCM4CBU90°,

：.2CB3NAC0,

：N403/80090°,

：./\A0C^/\C0B,

.AO_0C

''~OC~~OB，

：.0C=0A•除16,

：.0C=4,

故C(0,-4),

设抛物线的解析式为：*a(A8)的-2),

代入C点坐标得：a(0+8)(0-2)=-4,SF-,

4

11,3

故抛物线的解析式为：尸一(/8)(x-2)=—x~+—x-4；

442

⑵由⑴知：y^-x2+-x-4=-(x+3)2-—；

4244

25

贝U〃(-3,——),

4

又•.•C(0,-4),。(-3,0),

MP^—