2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册同步练习-2 . 6 双曲线及其方程

2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册

第二章平面解析几何

2.6双曲线及其方程

2.6.1双曲线的标准方程

基础过关练

题组一双曲线的定义及其应用

1.（2021山东日照一中月考）已知平面上的定点FbF2及动点M,甲：||MFj-

|MF2||=m（m为常数），乙:点M的轨迹是以F„F2为焦点的双曲线,则甲是乙的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2020陕西咸阳月考）已知点P（x,y）的坐标满足J同-1）2+*一

,Q+1）2+y2=+V2,则动点P的轨迹是（）

A.椭圆

B.双曲线

C.两条射线

D.双曲线的一支

3.已知P是双曲线亲力上一点,FbF2分别为双曲线的左、右焦点,若|PF?|=14,

贝小PFj=.

题组二对双曲线标准方程的理解

4.（2022广西玉林育才中学期中）设a,b,c为实数，则“ab<0”是“方程

ax?+by2=c表示双曲线”的（）

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

22

5.（多选）（2022广东东莞检测）已知曲线C:六+公=1,则下列选项正确的是

)

A.3m£（0,3）,曲线C为椭圆

B.Vme（3,5）,曲线C为椭圆

C.2me（5,7）,曲线C为双曲线

D.Vme（7,+8）,曲线c为双曲线

22

6.若双曲线士-4=1的一个焦点与坐标原点间的距离为3,则m的值

mm-5

为

题组三双曲线的标准方程及其应用

7.经过点P（-3,2"和点Q（-6V2,-7）的双曲线的标准方程是（）

匕—且y2_^2

75252575

C.2^=2lD.2U2=1

20

8.（2021湖南郴州永兴一中期中）与椭圆宁v+y2=l共焦点且过点Q（2,1）的双曲线的

标准方程是（）

AX2421D2%21

A.—~y=1B.--y=1

2J4J

c.胃221D,X*2-32^=1

332

2222

9.（2022江苏镇江中学期中）动圆M与圆C,:（x+4）+y=l,圆C2:x+y-8x+7=0都外

切,则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A.评1B,x2-g=l

,2,2

C.X2-7-=1（x^l）D.x2-^-=l（x^-1）

1515

10.（2020河北石家庄精英中学月考）已知圆x2+y2-4x-9=o与y轴的两个交点A,B

都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线两焦点的连线三等分,则此双曲线

的标准方程为

能力提升练

题组一双曲线的定义及其应用

1.（2022江西景德镇一中期末）已知A（0,7）,B（0,-7）,C（12,2）,以C为一个焦点

作过A.B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（）

•丫2。丫2

A.y*=l（yW-l）B,

4-04-0

22

c.X2-J-=1（x^-1）D.x2-^-=l

4848

2.（2022河南平顶山月考）已知件,F2分别为双曲线x2-^-=l的左、右焦点,P为双

曲线右支上任意一点，点P不在x轴上,若A为APFE内切圆上一动点，则当

IAF,|的最大值为4时,APF.F,的内切圆半径为（）

A.-B.-C.-D.-

4286

3.侈选）（2020山东济南山师附中模考）已知方程工+31表示曲线C,则下列判

4—LC-1

断正确的是（）

A.当l〈t〈4时,曲线C表示椭圆

B.当t>4或t<4时,曲线C表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则l<t<|

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4

2

4.（2020黑龙江哈尔滨第六中学月考）已知双曲线C:x2-+1的左焦点为F,P是双

曲线C的右支上的动点,点Q（0.28），则|PF|+1PQ|的最小值等于.

5.（2020天津一中期末）若迪,Fz分别为双曲线C:[-y2=l的左、右焦点，点P在双

曲线C上，6朋=120。，则点P到X轴的距离为.

题组二双曲线的标准方程及综合应用

6.（2021江苏镇江中学期初）人们在进行工业设计时,巧妙利用了圆锥曲线的光学

性质.如图,从双曲线右焦点F?发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反

射光线的反向延长线经过左焦点邑.已知双曲线的方程为x2-y2=l,则当入射光线

F2P和其反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），ZF,F2P的大小为（）

A吟eg噂

22

7.已知双曲线E：3-%=1（a>0,b>0）.若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中

点为E的两个焦点,fi）AB|=3,|BCI=2,则双曲线E的标准方程是（）

%2y2/y2

A•+2R——.^-=1

D・311

44

C.x2-^=l22

3上早-察1

44

22

8.侈选）（2022湖南师大附中月考）已知点P是双曲线E展-±1的右支上一

169

点Fi,F2分别为双曲线E的左、右焦点,若△PFR的面积为20,则下列说法正确

的有（）

A.点P的横坐标为?

B.△PFR为锐角三角形

C.△PFF2的周长为竽

D.△PFE的内切圆半径为|

9.（2020山东济南一中月考）已知双曲线过点（3,-2）且与椭圆4x?+9y2=36有相同

的焦点.

⑴求双曲线的标准方程；

⑵若点M在双曲线上,F„F2分别为双曲线的左、右焦点,且|ME|+1MF2|=6罕）,试

判别△MFE的形状.

10.已知点M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐标系中的两点,动点P满足PM|+1PN|=6.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若(1-cosNMPN)|PM|・|PN|=2,求点P的坐标.

答案与分层梯度式解析

第二章平面解析几何

2.6双曲线及其方程

2.6.1双曲线的标准方程

基础过关练

1.8根据双曲线的定义，乙n甲，但甲n/乙,只有当(KmVFRl时，点M的轨迹

才是双曲线.

2.B设A(1,0),B(-1,0),则由已知得|PA|-|PB||=传即动点P到两个定点A、

B的距离之差的绝对值等于常数鱼,又IAB|=2,且&<2,所以根据双曲线的定义知,

动点P的轨迹是双曲线.

3.答案26

解析由已知可得a2=36,b?=64,所以a=6,b=8,c2=100,即c=10,由于双曲线左支

上的点与右焦点Fz之间的距离的最小值为a+c=6+10=16,而PF2|=14<16,所以点

P只能在双曲线的右支上.根据双曲线的定义可得IPF.I-IPF21=2a=12,所以

IPF,|=26.

4.C若ab<0,c=0,则方程ax2+by2=0不表示双曲线,故充分性不成立；

若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a,b异号,即ab〈0,故必要性成立.故选C.

5.BP当mW(0,3)时,7-m>0,m-3<0,曲线C为双曲线,故A错误；

当(3,5)时,7-m〉0,m-3>0,且7-m>m-3,曲线C为椭圆,故B正确；

当(5,7)时,7-m>0,m-3>0,且7-m<m-3,曲线C为椭圆,故C错误；

当m£(7,+°°)时,7-m<0,m-3>0,曲线C为双曲线,故D正确.

6.答案7或-2

解析依题意可知c=3,当双曲线的焦点在x轴上时,m>5,(?初+111-5=9,所以m=7;

当双曲线的焦点在y轴上时,m<0,c2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=~2.

7.B设双曲线的方程为mx2+ny2=l(mn<0),

(__j_

则(9m+28n=1,角至彳导机二一五，

人」［72m+49n=1,_1

-25,

故双曲线的标准方程为泉(=L故选B.

8.A由椭圆的方程可得焦点坐标为(±百,0),设与椭圆共焦点的双曲线的标准

方程为于己=1(0<m<3),因为双曲线过点Q(2,1),所以十六=1,整理可得m2-

8m+12=0,结合0<m<3可得m=2,则双曲线的标准方程为于y2=l,故选A.

9.D易知圆G的圆心为G(-4,0),半径n=l,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=3.

设M(x,y),动圆M的半径为r,因为动圆M与圆C„C2都外切，所以所以

|MC2|-|MCl|=2,因为2<|CQI=8,所以点M的轨迹是以CbC2为焦点的双曲线的左

支，所以c=4,2a=2,即a=l,所以b=Vi6^T=Vi5,即动圆圆心M的轨迹方程为x2-

1=l(xWT).故选D.

10.答案^-§=1

解析圆x2+y2-4x-9=0与y轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),

•••圆与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上，双曲线的焦点在y轴上,且a=3,

又两点恰好将此双曲线两焦点的连线三等分，.・.c=9,.,.b2=72,

A此双曲线的标准方程为于余1.

能力提升练

1.A由题意得AC|=J122+(2-7)2=13,|BC|=J122+(2+7/=15,|AB|=14.因为A,B都

在椭圆上，所以河|+屁|=向|+四|,所以河|-画|=瓦|-第|=2<14,故5的

轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,又2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,所以

c=7,a=l,所以b2=48,因此F的轨迹方程是y2-^=l(y^-1).故选A.

2.C易得F.(-2.0),F2(2,0).设△PFF2的内切圆分别与PF„PF2,FE相切于

N,B,M,圆心为C如图，则|PN|=|PB|,|F】N|=|FM,|F2B|=EM|,又点P在双曲线的

右支上，所以IPF】HPF以=2a,故支M-1F2M|=2a.

设M的坐标为(x,0),则(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=L设内切圆的半径为r,则内

切圆的圆心为C(1,r),则|AFJ的最大值为|CF』+r=4,即际产而可+r=4,解得

r[.故选C.

3.BCD由4-t=t-l,得t=|,满足l<t<4,此时方程工+左1表示圆,故A错误;

由双曲线的定义可知,当(4-t)(t-1)<0,即t<l或t>4时,方程3+弓=1表示双曲

线，故B正确；

由椭圆的定义可知,当椭圆的焦点在x轴上时,满足4-t>t-l>0,解得Kt<|,故C

正确；

若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则｛：_言：仇解得t>4,故D正确.

故选BCD.

4.答案6

解护设双曲线的右焦点为F',连接QF',PF',如图，

根据双曲线的定义可知PF-IPF'|=2a=2,则|PF|=|PF'|+2,所以

|PF|+|PQ|=|PF'|+|PQ|+22|QF'|+2.因为Q(0,2V5),F'(2,0),所以

IQF'|小+(—28)2=4,所以|PF|+1PQ|的最小值为6.

5.答案f

22

解析根据题意得a=2,c=V5,由余弦定理得|F,F2|=|PF/2+1PF2|-21PF』|PF21cos

120°,

2

.•.20=(|PF1|-|PF2|)+3|PF1|•|PF?|=16+31PFJ­|PF2|,

故|PFj­|PF2|=i

设点P到x轴的距离为d,

・"△PF何三义2cXd=T|PF』•|PF2|•sin120°q’d噜

6.答案P

信悬提取①从双曲线右焦点R发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且

反射光线的反向延长线经过左焦点B;②双曲线的方程为x2-y2=l;③F?PJ_PE.

数学建模本题以双曲线镜面反射为背景,构建与双曲线有关的问题.通过

F2PJ_PE构建方程,再结合余弦的定义求解.

解析由双曲线的标准方程x2-y2=l,得a=l,b=l,c=V2.

设IPF21=m(m>0),则PFi|=2+m.

所以m2+(m+2)2=(2乃:，

解得m=V3-l(m=-V3-l舍去)，

所以cosNFF2P=券岑,

所以NFF2P噜故选D.

7.P如图，由题意知MN|=|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,在RtABMN

中，IMNI=2c=2,所以c=l,IBNI=V|BM|2+|MN|2=J(|)2+22=|,由双曲线的定义可得

2a=|BN|-|BM|=|-|=l,即a?三，所以b2=1,故双曲线E的标准方程为苧W=L

44

8.ACD由双曲线的标准方程知a=4,b=3,c=5.不妨令点P在第一象限,设

P(m,n),m>0,n>0,对于A,5&%4得1FF21义n=cn=5n=20,即n=4,代入双曲线的方程

中,可解得mW(负值舍去)，故A正确;对于B,由P管,4),F2⑸0),可得％2十>0,则

ZPF2F,为钝角，所以△PFF2为钝角三角形,故B错误;对于C,易得

IPRI=崎+16哼|PF2|=腭+16当贝!J4PFF2的周长为与+当+10=笔故C正确;又

于D,设△PFE的内心为I,内切圆半径为r,连接IP,IFbIF2,则衿真=20,解得

r=|,故D正确.故选ACD.

9.解析⑴椭圆方程可化为十白1,焦点在x轴上，且C=V9^4=V5.

设双曲线的标准方程为9新1(a>0,b>0),

则有