江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期期初学情调研测试数学试题【含答案】

2023-2024学年第一学期高二期初学情调研测试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程确定直线斜率，由倾斜角与斜率的关系即可得倾斜角大小.【详解】设直线倾斜角为，则直线的斜率．，，故选：C．2.直线，若，则实数的值为（）A.0 B.3 C.0或 D.0或3【答案】C【解析】【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因，，所以，即，解得或.故选：C.3.圆在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案.【详解】因为，所以在圆上，的圆心为，故，设圆在点处的切线方程斜率为，故，解得，所以圆在点处的切线方程为，变形得到，即.故选：A4.两条平行直线和间的距离为，则分别为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算.【详解】由题意可得，再由平行线的距离公式得.故选：B5.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果.【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为，所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即，又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险，所以直线与相离，即圆心O到直线的距离（），解得.故选：A.6.已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（）A.5 B.4 C.10 D.2【答案】C【解析】【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可.【详解】由，，即过定点，由得，半径，则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小，最小值.故选：C7.已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对所求式子配方整理，把问题转化为，求直线上一点，到直线同侧的两点间的距离之和的最小值，就是将军饮马求最值问题，先对其中一点作关于直线的对称点，进一步把问题转化为，求两点间的距离，求解即可.【详解】该式子是表示点到点、点的距离之和，又，上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值（如图）.设点关于直线的对称点为，则有，解得，即，所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.故选：D.8.已知圆：和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件可得圆：与圆：（）位置关系为相交、内切或内含即可满足题意，进而求得a的值.【详解】圆：的圆心，半径为，因为圆上至少存在一点，使得，所以圆：与圆：（）位置关系为相交、内切或内含，如图所示，或或所以，又因为，所以，即.故选：B.二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.过点并且倾斜角为90°的直线方程为B.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为C.经过点，倾斜角为的直线方程为D.过两点直线的方程为【答案】AD【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合截距的定义、直线的两点式方程进行逐一判断即可.【详解】A：直线的倾斜角为90°，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故本选项正确；B：当直线在两坐标轴上截距都为零时，方程设为，过点，所以有，所以本选项不正确；C：当直线的倾斜角为90°时，没有意义，所以本选项不正确；D：直线过两点，所以有，因此本选项正确，故选：AD10.已知直线与圆，若点为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（）A.直线l与圆相交B.若点Q为圆上的动点，则的取值范围为C.与直线l平行且截圆的弦长为2的直线为或D.圆C上存在两个点到直线的距离为【答案】BD【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可求解ABD，由平行的斜率关系，结合弦长公式即可求解C.【详解】对于A:圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，A错误，对于B，圆上的点到直线的最小距离为，故的取值范围为，B正确，对于C，设与平行的直线为，由于圆心到直线的距离为，所以，故直线为或，故C错误，对于D，由于圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，而，故圆C上存在两个点到直线的距离为，D正确，故选：BD11.已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（）A.点到曲线C上任意点距离最大为7 B.的最大值是3C.的最小值是 D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】利用点与圆的位置关系，数形结合可求A，由两点距离公式可得B，由直线与圆的位置关系可得C、D.【详解】易知曲线的方程，如图所示，设，圆心，半径，连接AC延长交圆C于B点，此时长为点到曲线C上任意点距离最大值，易得，故A正确；，即为圆上一点到原点距离的平方，延长OC交圆C于D点，则，故B错误；令，则的值为过圆上一点的直线在纵轴上的的截距，显然该直线与圆在相切时取得最值，即到直线的距离为半径时，，故C正确；，即为圆C上一点与点的斜率，易知与圆C相切时斜率取得端点值，可设该切线方程为，则有或，由图象可知，故D正确.故选：ACD.12.已知圆直线：，点P在直线上运动，直线PA，PB分别与圆切于点A，B．则下列说法正确的是（）A.四边形的面积最小值为 B.|PA|最短时，弦AB长为C.|PA|最短时，弦AB直线方程为 D.直线AB过定点【答案】ABD【解析】【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小．B选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解．C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等．D选项，由向量积公式求定点坐标．【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，最短时，面积最小，故当时，最短，即，，故A正确．由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为，所以,故B正确，当|PA|最短时，则，又，所以，，，可设的直线方程为，圆心到直线的距离，解得，，由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧，所以，所以，（舍去）即直线的方程为．故C错误．设圆上一点为,，,，,，,，,，,，易知，由于，所以同理，．，，将代入得等号成立，故直线过定点为，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线与直线平行，且经过点，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】运用直线平行的性质可求得直线l的斜率，再结合直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由题意知，，所以直线l的方程为，即.故答案为：.14.已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______.【答案】【解析】【分析】运用待定系数法求得过A、B、C的圆的方程，由点D在此圆上可求得的值，再根据两点间距离公式即可求得结果.【详解】设过A、B、C的圆的方程为：（），则，解得，所以过A、B、C的圆的方程为：，又因为点D在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.故答案：.15.已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由直线与圆的位置关系数形结合计算即可.【详解】，即过定点，，即曲线为原点为圆心，2为半径的半圆，如图所示，设与曲线切于点C，曲线与横轴负半轴交于点B，则，，故.故答案为：.16.已知圆和圆，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为______.【答案】或【解析】【分析】根据已知条件设出直线与直线的方程，由两圆半径相等且弦长相等，结合圆的弦长公式可得的圆心到直线的距离等于的圆心到直线的距离，再运用点到直线的距离公式列式，再结合含参直线方程恒过定点即可求得结果.【详解】由题意知，直线、的斜率均存在且不为0，设点满足条件，不妨设直线的方程为（），则直线的方程为，因为和的半径都为2，且直线被截得的弦长与直线被截得的弦长相等，所以的圆心到直线的距离等于的圆心到直线的距离，即，整理得，所以或，即或，因为k的取值有无穷多个，所以或，解得或，所以满足条件的点P的坐标为或.故答案为：或.四、解答题（本大题共6小题，计70分．）17.的三个顶点为．求：（1）所在直线的方程；（2）边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两点斜率公式以及点斜式即可求解，（2）根据中点坐标以及斜截式即可求解.【小问1详解】依题意，直线的斜率，所以直线的方程为，即.【小问2详解】由中点坐标公式可得中点坐标为，所以边上的中线所在直线的斜率为，故直线方程为18.已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切的直线方程．【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，圆心在线段的垂直平分线上，故联立两直线方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；（2）设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到切线方程.【小问1详解】的中点为，，所以线段的垂直平分线方程为，由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，解之得所以圆心的坐标是，圆的半径，所以圆的标准方程是．【小问2详解】由题意斜率不存在时不满足，所以设切线方程为即由已知得解得所以切线方程为和19.已知直线的方程为：（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可.（2）设出直线的方程，分别令、求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果.【小问1详解】证明：由可得：，令，所以直线过定点．【小问2详解】由（1）知，直线恒过定点，所以设直线方程为，令，则；令，则，所以，当且仅当，即时，三角形面积最小，此时的方程为．20.在直角坐标系中，点，圆的圆心为，半径为1.（1）若，直线经过点A交圆于、两点，且，求直线的方程；（2）若圆上存在点满足（为坐标原点），求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由弦长公式计算即可；（2）先求M的轨迹方程，结合两圆的位置关系计算即可.【小问1详解】当，圆心为圆的方程为，设圆心到直线的距离为，则，若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为2，直线与圆相离，不符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，=，得，得，，所以直线的方程为或；【小问2详解】圆的方程为，设点，因为，所以，化简得，即，所以点在以圆心，为半径的圆上.由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，则，即，由，得；由，得.所以实数的取值范围为.21.已知圆：关于直线：对称的图形为圆．（1）求圆C的方程；（2）直线与圆C交于E，F两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用点关于线对称可求得圆心的坐标，从而可得其方程；（2）用表示点O、C到直线的距离及，由面积求解即可.【小问1详解】设圆的圆心坐标为，由题意可得，则的中点坐标为，因为圆关于直线对称的图形为圆C，所以，因为圆和圆的半径相同，即，所以圆C的方程为．【小问2详解】设圆心C到直线l：的距离为，原点O到直线l：的距离为，则，，，所以，所以，解得，因为，所以，所以直线l的方程为，即．22.已知圆经过三点．（1）求圆的方程．（2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）（2）直线经过定点，该定点的坐标为【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.【小问1