28329836理科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（三）（课标全国卷）

目录/contents目录/contents55月25日空间几何体……………………155月26日立体几何与空间向量…………2255月27日直线与圆………5255月28日圆锥曲线……………………695月29日计数原理………96时间：5月25日今日心情：核心考点解读——空间几何体一、考纲解读1.空间几何体的三视图与直观图（II）2.空间几何体的表面积、体积（I）3.球的表面积、体积（I）4.根据三视图求空间几何体的表面积、体积（II）二、高考预测1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目一般以选择题、填空题的形式出现，考查空间几何体的三视图的识别，空间几何体的表面积、体积的计算.2.从考查内容来看，主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积、体积.重点在于空间几何体的表面积、体积计算公式的正确使用，难点是如何根据三视图确定空间几何体的结构特征.3.从考查热点来看，空间几何体的表面积、体积问题是高考命题的热点，以空间几何体的三视图为基准，识别该几何体，并计算其表面积、体积，通常情况下以计算体积为主，这是高考主要的考查方式.三、知识回顾一、空间几何体的结构1．多面体几何体结构特征备注棱柱①底面互相平行.②侧面都是平行四边形.③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.棱锥①底面是多边形.②侧面都是三角形.③侧面有一个公共顶点.三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.棱台①上、下底面互相平行，且是相似图形.②各侧棱的延长线交于一点.③各侧面为梯形.可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2．旋转体几何体结构特征备注圆柱①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等..圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.圆锥①底面是圆面.②有无数条母线，长度相等且交于顶点.③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.圆台①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.②有无数条母线，等长且延长线交于一点.③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.球①球心和截面圆心的连线垂直于截面.②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:.球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，②直观图面积是原图面积的倍.三、柱体、锥体、台体的表面积1．旋转体的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）侧面展开图底面面积侧面面积表面积2．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：四、柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体(S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)锥体(S为底面面积，h为高)，(r为底面半径，h为高)台体(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系3．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.五、球的表面积和体积1．球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.2．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．四、应试技巧1.空间几何体的三视图、直观图(1)空间几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图，其特点是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法来得到相应的视图，其处理原则是“长对正、宽相等，高平齐”.(2)由三视图画空间几何体的直观图时，可以先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图和侧视图确定空间几何体的的形状，并根据斜二测画法画出空间几何体.注意可见的轮廓线画成实线，存在但不可见的轮廓线画成虚线.2.空间几何体的表面积、体积问题(1)空间几何体的表面积的计算方式是：i)若是多面体，则分别计算每个面的面积，然后相加即得表面积；ii)若是旋转体，则将侧面的曲面进行展开，计算其面积，再加上底面面积，即得表面积.(2)柱体、锥体、台体的体积计算公式（为底面面积，为高）：，，.3.根据三视图求简单几何体或组合体的表面积、体积解决与三视图有关的简单几何体或组合体的表面积、体积问题时，首先要根据三视图确定简单几何体或组合体的形状，若是简单几何体，则只需根据相应的表面积、体积计算公式计算即可；若是组合体，常将组合体割补为几个简单的几何体进行求解.求解时注意还原的准确性和数据的准确性.长方体或正方体是研究三视图的最好的母体，通常可以借助长方体或正方体，通过切割、挖空等手段确定几何体的结构特征.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2020浙江6）已知空间中不过同一点的三条直线，则“在同一平面”是“两两相交”的 （）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【思路导引】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件．【解析】解法一：由条件可知当在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线两两相交，如图，三个不同的交点确定一个平面，则在同一平面，∴“”在同一平面是“两两相交”的必要不充分条件，故选B．解法二：依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交．当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，∴在同一平面．综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件．故选B．2．（2020上海15）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平行的直线相交的面是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交，故选A．3.（2020全国Ⅱ理7）右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为 （）A．B．C．D．【答案】A【思路导引】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点．【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为，故选：A．4.（2020全国I文理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （）A．B．C．D．【答案】C【思路导引】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案．【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去），故选C．5.（2020全国Ⅲ文9理8）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （）A．B．C．D．【答案】C【思路导引】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积．【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，根据立体图形可得：，根据勾股定理可得：，是边长为的等边三角形，根据三角形面积公式可得：，该几何体的表面积是：，故选C．6．（2020北京4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 （）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意正三棱柱的高为2，底面的边长为2，该三棱柱的表面积为，故选D．7.(2018上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【答案】D【解析】如图以为底面矩形一边的四边形有、、、4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D．8.（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是，母线长分别是．则由，可得．又两个圆柱的侧面积相等，即，则，所以．9.（2011福建）三棱锥中，⊥底面，=3，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥的体积等于______．【答案】【解析】10.（2019•新课标Ⅰ，理12）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，又，，可得平面，则，，分别是，的中点，，又，即，，得平面，正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为，半径为，则球的体积为，故选．名校预测1．（2020·江苏南通·高三月考）一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（）A． B． C． D．2．（2020·陕西高三月考（理））在三棱锥中，已知，，，，且平面平面，三棱锥的体积为，若点都在球的球面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．3．（2021·浙江高三其他模拟）如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4.（2020·天津和平·耀华中学高三期末）已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为.5.（2020·辽源市第五中学校高二月考）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．专家押题1．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A． B．C． D．2．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为A． B．C． D．3．已知圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为A． B．C． D．4．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为A． B．C． D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A．28 B．30C．32 D．366．长方体中，，，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离是A． B．C． D．答案名校预测1．【答案】C【详解】设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CD＝OC．∵O是三棱锥P﹣ABC的外接球球心，∴OP＝OC＝1，∴CD＝，∴BC＝．∴VP﹣ABC＝．故选C．2.【答案】A【详解】因为在三棱锥中，，，，，所以和均为直角三角形，且斜边均为，所以为球的直径，的中点为球心；设，则，，，；且的边高为；因为平面平面，故的边上的高即为三棱锥的高；因为三棱锥的体积为；所以球半径，所以球的表面积为：．故选：A．3.【答案】C【详解】由三视图可知，该几何体是由圆柱与正四棱锥组合而成的一个组合体，且圆柱的底面圆的直径为4，高为4；正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，故该几何体的体积.故选:C．4.【答案】【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，得，圆锥的高为，因此圆锥的体积为，故答案为.5.【答案】B【详解】详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.专家押题1．【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B.2．【答案】C【解析】由题意知，球的半径，所以球的表面积为.设圆柱的底面半径为、高为，则，得，即，所以圆柱的侧面积，所以当，即时，圆柱的侧面积最大，最大值为.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是.故选C.3．【答案】D【解析】圆锥的高和底面半径之比，∴，又圆锥的体积，即，解得，∴，母线长为，则圆锥的表面积为．故选D．4．【答案】C【解析】设正方体的棱长为，那么其内切球的半径为，外接球的半径为（正方体体对角线的一半），与各棱都相切的球的半径为（正方体面对角线的一半），所以比值是，故选C．【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．5．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为S=12×2+66．【答案】A【解析】如下图所示：在中，易知，，，由余弦定理得：，所以.故选A．

时间：5月26日今日心情：核心考点解读——立体几何与空间向量一、考纲解读1.平面的基本性质(I)2.空间点、线、面的位置关系（II）3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理（II）4.空间直线、平面垂直的判定定理与性质定理（II）5.空间向量在立体几何中的应用（II）二、高考预测1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直，利用空间向量的有关形式表示、求解空间的距离、夹角等.2.从考查内容来看，主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直，难点则是如何计算空间中有关角与距离的问题.3.从考查热点来看，证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点，结合平行、垂直的判定定理及性质定理，通过添加辅助线的方式证明是常考的方式.要注意结合空间几何体的特征严格推理论证.三、知识回顾一、直线与平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理文字语言平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行⇒线面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面平行2．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行⇒线线平行图形语言符号语言作用①作为证明线线平行的依据．②作为画一条直线与已知直线平行的依据.二、平面与平面平行的判定与性质1．平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面平行⇒面面平行图形语言符号语言a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β作用证明两个平面平行2．平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.简记为：面面平行⇒线线平行图形语言符号语言作用证明线线平行3．平行问题的转化关系三、直线与平面垂直1．定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．2．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.3．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行图形语言符号语言⇒作用①证明两直线平行；②构造平行线.4．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.5．常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．四、平面与平面垂直1．定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：2．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面垂直图形语言符号语言l⊥α，⇒α⊥β作用判断两平面垂直3．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直⇒线面垂直图形语言符号语言作用证明直线与平面垂直4．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：.五、空间直角坐标系及有关概念1．空间直角坐标系定义以空间一点为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间一点M的坐标（1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组可建立一一对应的关系．3．空间两点间的距离公式、中点公式（1）距离公式①设点，为空间两点，则两点间的距离.②设点，则点与坐标原点O之间的距离为.（2）中点公式设点为，的中点，则.4．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量单位向量长度(或模)为1的向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量六、空间向量的有关定理及运算1.共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.牢记两个推论：（1）对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使或（其中）.（2）如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，其中向量叫做直线l的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式.2.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有.3.空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.（3）不能作为基向量.七、利用空间向量解决立体几何问题1.直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）线线平行：若，则；线面平行：若，则；面面平行：若，则.（2）线线垂直：若，则；线面垂直：若，则；面面垂直：若，则.3.利用空间向量求空间角设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）直线所成的角为，则，计算方法：；（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；（3）平面所成的二面角为，则，如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．4.利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，为空间两点，则两点间的距离.（2）点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为.四、应试技巧1.平面的基本性质(1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系作简单的判断.(2)掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面.2.空间直线、平面的位置关系(1)空间两条直线与直线的位置关系：相交、平行、异面.判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况.理解平行公理与等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行；等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(2)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交判断依据：直线与平面的公共点的个数.理解直线与平面平行的定义.(3)空间两个平面的位置关系：相交、平行判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交.3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理(1)线面平行的判定定理与性质定理1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.符号语言：.要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.符号语言：.当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号语言：.要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线.4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：.5)平行关系的转化(2)直线、平面垂直的判定定理与性质定理1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.符号语言：.要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：.此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.符号语言：.要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：.要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.5)垂直关系的转化---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2020山东4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为 （）A．B． C． D．【答案】B【思路导引】画出截面图，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角．【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线．是晷面的截线，依题意可知、．由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为，故选：B．2.（2020全国Ⅱ理20）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．（1）证明：//，且平面平面；（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【思路导引】（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案．【解析】（1）分别为，的中点，又在中，为中点，则又侧面为矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）连接平面，平面平面，，根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面，，故：四边形是平行四边形．设边长是()，可得：，，为的中心，且边长为，，故：．，，，解得：，在截取，故，且，四边形是平行四边形，．由（1）平面，故为与平面所成角在，根据勾股定理可得：，，直线与平面所成角的正弦值：．3.3．（2020全国Ⅰ理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【思路导引】（1）要证明平面，只需证明，即可；（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案．【解析】（1）由题设，知为等边三角形，设，则，，∴，又为等边三角形，则，∴，，则，∴，同理，又，∴平面．（2）过作∥交于点N，∵平面，以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，∴，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，∴，故，设二面角的大小为，则．4.（2020江苏24）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（1）；（2）．【思路导引】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果．【解析】（1）连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）设平面一个法向量为，令，设平面一个法向量为令，，因此．5.（2020浙江19）如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）【思路导引】（I）作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面，即证得；（II）由，∴与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值．【解析】（I）作交于，连接．∵平面平面，而平面平面，∴平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱台的定义可知，，∴，，而，∴平面，而平面，∴．（II）∵，∴与平面所成角即为与平面所成角．作于，连接，由（1）可知，平面，∴平面平面，而平面平面，∴平面．即在平面内的射影为，即为所求角．在中，设，则，，∴，故与平面所成角的正弦值为．名校预测1．（2021·广东期末）已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则以上命题正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：①若，则；②若，则；③若是两条异面直线，且，则.其中正确结论的序号为（）A.①② B.①③ C.②③ D.③3.（2021·山东高三月考）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为的中点，四棱锥的体积为.（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；（2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.4.（2021·四川高三期末（理））如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.（1）求证：面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.专家押题1．已知在正方体中（如图），平面，且与不平行，则下列一定不可能的是A．l与AD平行 B．l与AB异面C．l与CD所成的角为30° D．l与BD垂直2.已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;②若α∩β=m,n//α,n//β,则n//m;③若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;④若m⊥α,n⊥β,α//β,则m//n.其中正确的是__________.(填上所有正确的序号)3.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①与平行； ②与是异面直线；③与成角； ④与是异面直线.以上四个命题中，正确命题的个数是A．1 B．2C．3 D．44.如图，矩形所在平面与以为直径的圆所在平面垂直，为中点，是圆周上一点，且，，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）设点是线段上的点，且满足，若直线平面，求实数的值．答案名校预测1.【答案】C【解析】①若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；②若a∥α，b∥α，则a∥b，则a与b平行，相交或异面，故②错误；③若，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故③正确；④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，∴平行或异面，故④错误．∴正确的个数为1．故选：C．2.【答案】D【解析】由题意，若，，则与平行或异面，故①错误；若，则与可能平行也可能相交，故②错误；若，是两条异面直线，且，则，故③正确.故正确的结论只有③，故选D.3．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点位于的靠近点的三等分点.【解析】（1）证明：因为、分别是、的中点，所以，在矩形中，，所以，又因为、分别是、的中点，所以，又因为，，平面，平面，所以平面平面.（2）解：假设棱上存在点满足题意.在等边三角形中，为的中点，于是，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是四棱锥的高，设，则，，所以，所以，以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，设，，，设平面的一个法向量为，有，令，则，易知平面的一个法向量，所以，因为，所以，所以存在点，位于的靠近点的三等分点.4.【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点.【解析】（1）在矩形中，，又平面，平面，平面，同理可证平面，，、平面，平面平面，平面，平面；（2）在矩形中，，又，则矩形所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为，即.又，平面，作于，平面，，又，、平面，平面.作于，，，，，，，.以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，则、，设.则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，则平面的一个法向量为..又平面的一个法向量为，，解得或（舍去）.此时，，即所求点为线段的中点.专家押题1．【答案】A【解析】假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行．2.【答案】②④【解析】若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n与α、β的位置关系不确定,即①错误;由线面平行的性质和平行公理可得②正确;若m不垂直于平面α,则m可垂直于α内的无数条直线,即③错误;若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又n⊥3.【答案】B【解析】把平面展开图还原几何体如图：由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；与平行，故②错误；连接，则，或其补角为与所成的角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2．故选B．4.【解析】（1）取中点，连接，因为为矩形，分别为中点，所以，所以异面直线与所成的角就是与所成的角或其补角，因为平面平面，平面平面，矩形中，，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，所以，又是圆周上的点，且，所以，在中，，由余弦定理可求得，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）连接，连接和，交于点，连接，因为直线平面，直线平面，平面平面，所以，矩形的对角线交点为中点，所以为的中位线，所以为的中点，又，所以的值为1.

时间：5月27日今日心情：核心考点解读——直线与圆一、考纲解读1.直线的倾斜角与斜率（II）2.直线与方程（II）3.直线的位置关系（II）4.圆与方程（II）5.直线与圆、圆与圆的位置关系（II）二、高考预测1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合.3.从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想.三、知识回顾一、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交与垂直与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．二、两条直线的交点对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，与的交点坐标就是方程组的解．（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解；（3）方程组有无数解与重合．三、距离问题（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．四、对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．五、圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．六、点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x0，y0）在圆上点（x0，y0）在圆外点（x0，y0）在圆内七、必记结论（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数；②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数．八、直线与圆的位置关系的判断方法判断方法直线与圆的位置关系几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断方程无实数解，直线与圆相离方程有唯一的实数解，直线与圆相切方程有两个不同的实数解，直线与圆相交九、圆与圆的位置关系两圆的位置关系外切相切两圆有唯一公共点内切内含相离两圆没有公共点外离相交两圆有两个不同的公共点十、圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中）．（2）代数法：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．十一、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0③．方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．四、应试技巧1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：.直线的斜率：；过两点的直线的斜率为.(2)掌握的图象，能够通过倾斜角表示斜率，也能够利用斜率求倾斜角.(3)当时，越大，直线的斜率也越大；当时，越大，直线的斜率也越大.(4)所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.2.直线与方程(1)能够根据条件选用合适的直线方程形式表示直线，知道点斜式、斜截式、两点式、截距式的适用条件，并由此考虑特殊情况下的直线是否存在,如在点斜式中，斜率不存在时直线表示为等.4.圆与方程(1)圆的标准方程：；(2)圆的一般方程：.注意：能够从圆的定义理解、推理得到圆的方程.根据圆的标准方程可以直接确定圆的圆心和半径，标准方程与一般方程可以进行互化，知道不一定是圆的方程，必须满足条件.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 （）A．B．C．D．【答案】B【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离．【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，∴圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，∴圆心到直线的距离为．故选B．2.（2020全国Ⅰ理11】已知⊙，直线，为上的动点，过点作⊙的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 （）A． B． C． D．【答案】D【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，∴直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，∴，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．∴以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程，故选D．3.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选A．4.【2020年高考天津卷12】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．5.【2020年高考浙江卷15】设直线，圆，，若直线与，都相切，则；．【答案】；【解析】由题意可知直线是圆和圆的公切线，∵，为如图所示的切线，由对称性可知直线必过点，即①并且，②由①②解得：，，故答案为：；．6．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________．【答案】【解析】如图，作所在直径，交于点，则：∵，，∴，为垂径．要使面积最大，则位于两侧，并设，计算可知，故，，故，令，，，记函数，则，令，解得（舍去）显然，当时，，单调递减；当时，，单调递增；结合在递减，故时最大，此时，故，即面积的最大值是．（注：实际上可设，利用直角可更快速计算得出该面积表达式）7.【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当变化时，的最大值为 （）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】试题分析：为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为．试题解析：为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C．【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8.（2017新课标Ⅲ理）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为A．3B．C．D．2【答案】A【解析】如图建立直角坐标系，则，，，，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，所以，，，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A．名校预测1．（2021·遵义航天高级中学高二期中）经过点作直线，若直线l与连接、的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．2.（2020·四川成都七中高三月考（理））平面直角坐标系内，过点的直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，直线的斜率为（）A． B． C． D．3.（2020·全国高三月考）已知圆上的点到直线的最远距离为4，则实数的值是（）A．0或4 B．或2 C． D．24．（2020·全国高三专题练习）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或5．（2021·安徽六安一中高三月考（理））已知直线方程为，若直线与圆相交于、两点，且满足为等边三角形，则（）A． B． C． D．专家押题1．已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为A．或 B．C．或 D．2．已知动直线与圆相交于两点，且满足，点为直线上的一点，且满足，若是线段的中点，则的值为A． B．C． D．3．过点且与圆相切的直线方程为________．4．圆截直线所得的弦长为8，则的值是________．5．直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点，若，则整数__________．6．已知点，，若圆上存在不同的两点，使得，且，则的取值范围是________．答案名校预测1．【答案】A【详解】因为，所以．因为直线l与连接、的线段总有公共点，

，

，设直线l的倾斜角为，所以，所以，又因为，所以，故选A.2.【答案】A【详解】曲线表示以圆心半径为1的上半圆，则的面积，要使三角形的面积最大，此时，即，则取的中点，则，∵，∴，则，，即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率，故选A．3.【答案】B【详解】由得，所以圆心为，，圆心到直线的距离为所以，解得或2.故选：4.【答案】D【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为，即，又由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或.故选：D.5.【答案】D【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径为，由于为等边三角形，则圆心到直线的距离为，另一方面，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D专家押题1．【答案】C【解析】由题意可得是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线的距离等于r·sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1.故选C．【名师点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题在很多情况下是利用数形结合来解决的，联立方程利用代数方法求解的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.由题意可得是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线的距离等于r·sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．2．【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．3．【答案】或【解析】当斜率不存在时：；当斜率存在时：设.【名师点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.4．【答案】【解析】∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为3，∵圆心坐标为，∴，解得为【名师点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.5．【答案】1【解析】由题可得直线ax﹣ay﹣1＝0的斜率为1．圆心（2，0）到直线ax﹣ay﹣1＝0的距离为，∵|CD|＝1，∴|AB||CD|，∴，解得整数a＝1，故答案为1．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度不大.利用圆心到直线的距离可求出d，再利用勾股定理求得答案.6．【答案】【解析】依题意可得，以为直径的圆与圆相交，则圆心距，解得.【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，在解答过程中要先读懂题目的意思，将其转化为圆与圆的位置关系，本题还需要一定的计算量，属于中档题.结合题意将其转化为圆和圆的位置关系，两圆相交，计算出圆心距，然后求出结果.时间：5月28日今日心情：核心考点解读——圆锥曲线一、考纲解读椭圆（II）双曲线（I）抛物线（II）直线与圆锥曲线（II）二、高考预测1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.3.从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.三、知识回顾一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在轴上焦点在轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4a．五、双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：.（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且，如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b.（2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或．（4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．（6）与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为．六、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)图形范围，，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0)下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c)顶点轴线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线的虚轴；实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b渐近线离心率e2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．七、抛物线的定义和标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误.八、抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质标准方程图形几何性质范围对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦点准线方程顶点坐标原点(0，0)离心率2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为2p．4．必记结论直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.（3）eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).（4）弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)(α为AB的倾斜角)．（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.四、应试技巧1.椭圆(1)椭圆的定义：平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记做.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.(2)椭圆的标准方程：焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.2.双曲线(1)定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双曲线的焦距，记做.定义式：.要注意，常数小于两定点之间的距离.(2)双曲线的标准方程：焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程，知道之间的大小关系和等量关系：.3.抛物线(1)定义：平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.定义式：，为动点到准线的距离.(2)抛物线的标准方程焦点在轴的正半轴上：；焦点在轴的负半轴上：；焦点在轴的正半轴上：；焦点在轴的负半轴上：.4.直线与圆锥曲线的位置关系(1)椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离.位置关系的判定方式：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元，得到关于的方程，通过判别式进行判别.要注意，若直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点；若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则直线与抛物线相交，且只有一个交点.(2)直线与圆锥曲线相交的弦长问题：弦长公式：.(3)已知直线与圆锥曲线相交所得弦的中点，则该弦所在直线方程的表示方式：i)利用点斜式设出直线方程，联立方程，消元后根据根与系数的关系及中点坐标公式建立关于直线斜率的方程，求解方程即可.ii)利用点差法，设弦的端点的坐标分别为，代入曲线方程，然后作差，利用两点坐标求斜率公式，得到斜率，再利用点斜式写出直线方程.(4)圆锥曲线中有关定点、定值的问题：一般可以根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件建立方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点的坐标；也可以先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.(5)圆锥曲线中的最值、范围问题：一是根据题中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量，如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为．【答案】【解析】由条件可知是等腰直角三角形，所以直线的倾斜角是，所以直线的斜率是，且过点，得到直线的方程为，即．故答案为：．2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则 （）A．B．C．D．【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选A．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，又∵，∴．解法三：设，则，，，求的．3.【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则 （）A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件可知点在以为焦点的双曲线的右支上，并且，∴，方程为且点为函数上的点，联立方程，解得：，，，故选D．4.（2020·浙江卷）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，∴，由，解得，即．5.（2020·北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】B【解析】如图所示，因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．6．【2020天津7】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选．7.（2020全国Ⅲ文7理5）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为 （）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：∵直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，∴，代入抛物线方程，求得，∴其焦点坐标为，故选B．解法二