文科数学-2022年高考考前20天终极冲刺攻略（二）

目录/contents目录/contents55月21日平面向量………155月22日算法初步………2055月23日推理与证明………3555月24日三角函数……………………52时间：5月21日今日心情：核心考点解读——平面向量一、考纲解读1.平面向量的有关概念（=2\*ROMANII）2.平面向量的线性运算（=2\*ROMANII）3.平面向量基本定理（=2\*ROMAN=1\*ROMANI）4.平面向量的数量积运算及坐标表示（=2\*ROMANII）5.平面向量的应用（=2\*ROMANII）二、高考预测1.涉及本单元知识的题目，一般以选择题、填空题的形式出现，考查平面向量概念的正误，应用三角形法则或平行四边形法则进行平面向量的线性运算，应用平面向量基本定理表示平面向量，平面向量的数量积运算及向量的坐标化表示与运算，体现了平面向量的几何性与代数性.注意向量在解析几何、三角函数中的应用.2.从考查难度来看，考查本单元内容的题目一般难度不大，需注意运算过程中几何图形的辅助效果.3.从考查热点来看，向量线性运算及数量积运算是高考命题的热点，要能够利用回路三角形法则表示向量，掌握向量数量积的运算法则，熟练进行数量积运算.三、知识回顾一、平面向量的相关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作零向量的方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为二、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.四、平面向量的坐标运算1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.3．平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.4．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.五、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：.六、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角.（1）数量积：.（2）模：.（3）夹角：.（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|.【注】当与同向时,；当与反向时,.（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔.七、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.2．向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.（2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即为和的夹角).四、应试技巧1.平面向量的有关概念问题(1)知道向量的定义及其表示，注意与数量的区别.知道向量既有大小又有方向.(2)了解几个常见向量，如单位向量、零向量；了解共线向量、相等向量、相反向量指的是两个向量之间的关系.能够通过大小、方向对这些向量进行区分判断，并简单判断真假.2.平面向量的线性运算(1)应用平行四边形法则与三角形法则进行向量的加法运算与减法运算，注意法则应用的区分，向量共起点时可以使用平行四边形法则；一个向量的终点在另一个向量的起点时，这两个向量的加法则可以使用三角形法则，如.(2)共线向量体现了两个向量在同向或反向的情况下其模的大小的等量关系，通常可表示为，其中，为确定的常数.3.平面向量基本定理(1)平面向量基本定理反映了如何用平面内两个不共线的向量来唯一线性表示任意向量的原理，数学表达式为，此处要不共线，要唯一确定.通常把不共线的称为一组基底.应该明确基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为基底去表示平面内的任意一个向量.(2)当基底单位正交时（即垂直且模为1），可以建立平面直角坐标系，利用坐标来表示向量，，也可以利用向量的起点、终点坐标的确定来表示向量，如若，则.(3)向量的坐标化线性运算：设，则，；若，则.4.平面向量数量积的运算及其坐标化运算(1)掌握向量数量积运算的定义，理解其几何意义：在方向上的投影：.注意根据向量夹角的变化，其投影可能为负，可能为正，也可能为0.(2)掌握向量的运算法则及相关性质：如；；若，则等，并作简单的应用.(3)掌握向量数量积的坐标化运算：设，则；；若，则；.5.平面向量的应用(1)应用向量考查模的大小或模的取值范围问题，可以从向量坐标化的角度进行处理，注意对模的使用，同时注意对等式含义的表述，如表示向量的终点在以为圆心，半径为的圆上等.也可以利用条件中所呈现的几何意义，结合向量数量积公式进行转化.(2)以向量为载体研究三角函数问题，利用向量数量积的坐标表示，确立三角函数关系式，并利用三角恒等变换化简为的形式，然后利用整体代换来考查函数的相关性质等.6.平面向量的应用要注意向量的几何特性与代数特性，能够从代数的角度，对问题以计算的方式进行求解，能够从几何的角度，从向量问题所表述的几何背景入手解决问题.两者要相辅相成，兼而有之.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2021·全国乙卷（文））已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.（多选）2．（2021·全国甲卷（文））已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC3．（2021·新高考全国Ⅰ卷）已知向量，若，则_________．【答案】【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.4．（2021·新高考全国Ⅱ卷）若向量满足，则_________.【答案】【解析】∵∴∴.故答案为：.5．（2021·浙江卷）已知向量，，，_______．【答案】【解析】由已知可得，因此，.故答案为：.6．（2021·浙江卷）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.【答案】【解析】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.名校预测1．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））已知相邻两条射线，所成的角是，线段.若，且满足“，”的点P所构成的图形为G，则图形G是（

）A．线段 B．射线 C．直线 D．圆2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知等边的边长为3，若，则________3．（2022·安徽省舒城中学一模（文））已知向量，则在方向上的投影为_________，4．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知向量，满足，，，则________．5．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知，（，），若，则的最小值为__________．专家押题1．已知△ABC中，，，．若D为边BC上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．设分别是的内角的对边，已知，设是边的中点，且的面积为1，则等于（

）A．2 B． C． D．3．已知向量，，则__________.4．已知平面向量，则在上的投影为__________.5．已知向量，，若，则___________.答案名校预测1．A【解析】因，令，，则，整理得到：，所以点P，，共线，又，，故即，所以的轨迹为线段，图中线段为所求.故选：A.2．【解析】正△ABC的边长为3，,，故答案为：3．【解析】因为，，所以，因为，所以，所以，所以在方向上的投影为，故答案为：．4．【解析】由得，所以，所以．故答案为：5．16【解析】因为，，，所以，因为，，所以，所以，当且仅当，即取等号，所以的最小值为16，故答案为：16专家押题1．C【解析】由题意得：，，.故选：C2．B【解析】，由正弦定理可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，由，可得：，又的面积为1，即，又故选：B3．0【解析】由向量，向量，所以，可得.故答案为：.4．.【解析】因为，所以，，因此有，所以在上的投影为，故答案为：.5．【解析】=(2，0)，=(λ，λ+4)，∵，∴2(λ+4)=0×λ，∴λ=－4，故答案为：－4．时间：5月22日今日心情：核心考点解读——算法初步一、考纲解读1.算法的概念（I）2.程序框图（II）3.基本算法语句（I）二、高考预测1.从考查题型来看，主要在选择题、填空题中考查程序框图与基本算法语句.2.从考查内容来看，主要考查程序框图的理解与应用，根据程序的功能将框图补充完整或通过框图判断输入或输出的结果；根据基本算法语句的功能运行程序，解决问题.3.从考查热点来看，程序框图是高考命题的热点，其中循环结构的程序框图更是几乎每年必考.三、知识回顾1.算法的概念算法具有有限性、确定性、顺序性、正确性、不唯一性及普遍性的特点，即根据不同的思维方式，对同一个问题，可以设计出不同的算法，但其针对的问题是同一个.2.程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要的文字说明.(2)算法的三种基本逻辑结构：ABAB①顺序结构顺序结构由若干个依次执行的步骤组成.如右图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.②条件结构条件结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构.根据是否满足条件而选择执行步骤A或步骤B，且只能执行步骤A或步骤B之一，不可能同时执行步骤A或步骤B，也不可能步骤A或步骤B都不执行.一个条件结构可以有多个判断框.③循环结构当型循环结构是当给定的条件成立时，执行循环体，直到某一次条件不成立为止，此时不再执行循环体，终止循环.直到型循环结构是先执行循环体，然后判断给定的条件是否成立，如果不成立，则继续执行循环体，直到某一次给定的条件成立为止，此时不再执行循环体，终止循环.当型循环结构直到型循环结构3.基本算法语句（1）输入语句、输出语句和赋值语句语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”;表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式代表的值赋给变量2.条件语句（1）条件语句的功能条件语句的功能是实现程序框图中的条件结构.（2）条件语句的格式①IF—THEN—ENDIF语句(一个分支的条件结构)；②IF—THEN—ELSE—ENDIF语句(两个分支的条件结构).③条件语句的嵌套条件语句的嵌套是条件结构嵌套的实现和表达.其一般格式如下：IF条件1THEN语句体1ELSEIF条件2THEN语句体2ELSE语句体3ENDIFENDIF对应的程序框图如图所示.3.循环语句（1）循环语句的功能循环语句的功能是实现程序框图中的循环结构.（2）循环语句的格式①UNTIL语句②WHILE语句四、应试技巧1.对于赋值语句，需注意以下几点：（1）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（2）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（3）不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等）；（4）对于一个变量可以多次赋值，但只保留最后一次所赋的值.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2022·全国（文））执行下面的程序框图，则输出的n=（）A．17 B．19 C．21 D．23【答案】C【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的是满足的最小正奇数，因为，解得，所以输出的．故选：C.2．（2022·全国（文））执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值模拟程序的运行过程第1次循环，，为否第2次循环，，为否第3次循环，，为否第4次循环，，为是退出循环输出.故选：C.名校预测1．（2022·安徽省舒城中学一模（文））某同学为了求，设计了如图所示的程序框图，在该程序框图中，①和②两处应分别填入（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A． B． C． D．13．（2022·全国·模拟预测（文））若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（

）A． B． C． D．4．（2022·宁夏·银川一中一模（文））执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（

）A． B． C． D．5．（2022·陕西咸阳·三模（理））执行如图所示的程序框图，如果输入的x，，那么输出的S的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4专家押题1．某同学为了，设计了一个程序框图（如图所示），则在该程序框图中，①②两处应分别填入（

）A． B．C． D．2．《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部应用数学著作，其完善了珠算口诀，确立了算盘用法，并完成了由筹算到珠算的彻底转变，该书清初又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.书中卷八有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为该物的总数S，则总数S=（

）A．136 B．153 C．171 D．1903．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（

）A． B． C． D．4．下图是计算的程序框图，则图中执行框与判断框中应分别填入（

）A．， B．， C．， D．，5．如图所示为某工程的工作流程图（单位：h），则下列选项正确的是（）A．A→C→F→D→E为该工程的关键路径B．该工程的最短总工期为C．①②④⑤⑥为关键节点D．A是B的紧前工作，B是C的紧后工作6．在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支，12个时辰，12生肖…．十二进制数通常使用数字0—9以及字母A，B表示，其中A即数字10，B即数字11．对于下面的程序框图，若输入a=1728，k=12，则输出的数为________．答案名校预测1．C【解析】对于A，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故此时输出，不合题意.对于C，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故符合题意.对于B，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故此时输出，不合题意.对于D，第1次判断前，第2次判断前，依次，最后一次判断前，，此时，终止循环，故此时输出，不合题意.故选：C2．A【解析】由题设，，所以，则，故输出.故选：A3．B【解析】第一次循环，成立，，；第二次循环，成立，，；第三次循环，成立，，；第四次循环，成立，，，不成立，跳出循环体，输出的值为.故选：B.4．B【解析】由图可知输出，得故时退出循环，条件为故选：B5．D【解析】由题意，不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，又由不等式时，根据程序框图，可得，所以输出的的最大值为.故选：D.专家押题1．C【解析】程序框图功能为求的前100项和，递推公式为，故①为，当时继续循环，当时退出循环，故②为故选：C2．C【解析】由图可知，输出故选：C3．B【解析】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，故选：B4．D【解析】由于首个计算数据为，所以执行框应为，第一次执行时，，；第二次执行时，，；第三次执行时，，；第四次执行时，，，故判断框应为故选：D5．C【解析】解：根据图像可知，关键路径是A→B→D→E，故A错误；则①②④⑤⑥为关键节点，故C正确；最短总工期是1+3+2+4=，故B错误；B和C是平行工作，故D错误.故选：C.6．1000【解析】输入，；，；，；，；所以输出的数为.故答案为：.

时间：5月23日今日心情：核心考点解读——推理与证明一、考纲解读1.合情推理与演绎推理（I）2.综合法与分析法（I）3.反证法（I）4.数学归纳法（II）二、高考预测1.从考查题型来看，选择题、填空题中重点在于考查推理的应用以及学生联想、归纳、假设、证明的数学应用能力.解答题中重点考查数学归纳法.2.从考查内容来看，主要考查归纳、类比推理，以及综合函数、导数、不等式、数列等知识考查直接证明和间接证明，要能够对数学结论作简单的证明，并能用数学归纳法证明数学问题.3.从考查热点来看，推理是高考命题的热点，以合情推理与演绎推理为主线，考查学生联想、归纳、假设、证明的能力，对数学知识、结论掌握的程度.三、知识回顾一、推理1．推理（1）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．推理一般包含两个部分：一是前提，是指已知的事实(或假设)；二是结论，是由已知判断推出的新的判断，即推理的形式为“前提结论”.（2）分类：推理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(合情推理,演绎推理))．2．合情推理（1）定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理.（2）特点：①合情推理的结论是猜想，不一定正确；②合情推理是发现结论的推理.（3）分类：合情推理．（4）归纳推理和类比推理的定义、特征及步骤名称归纳推理类比推理定义根据某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理特征由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理步骤①通过观察部分对象发现某些相同性质②从已知的一个明确表达的一般性命题（猜想）中推出相似性或一致性①找出两类事物之间的相同性质②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3．演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（2）特点：①演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确；若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的.②演绎推理是证明结论的推理．（3）模式：三段论是演绎推理的一般模式，即①大前提——已知一般的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.【注】三段论常用的格式为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.二、证明1．直接证明——综合法与分析法（1）综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证的结论)③思维过程：由因导果．（2）分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：(其中P表示要证明的结论)③思维过程：执果索因．2．间接证明——反证法（1）定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法中的矛盾主要是指以下几方面：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾．三、数学归纳法（1）概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；②(归纳递推)假设时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.（2）框图表示：（3）用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．因此必须注意以下两点：①验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此，“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．②递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次．四、应试技巧1.合情推理与演绎推理(1)合情推理合情推理分为归纳推理与类比推理，归纳推理的特点是由特殊到一般，由局部到整体.类比推理的特点是由特殊到特殊.归纳推理的主要考查类型是：与等式、不等式联系，通过观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，发现隐含的规律；与数列联系，先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是属于未知的一般结论，这是一种不完全归纳；与图形联系，合理利用给出的特殊图形归纳推理，得出结论，并可用赋值检验法验证真假.类比推理主要就是找出两类事物之间的相似性或一致性，根据这一特性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，并得出一个明确的命题或猜想.(2)演绎推理演绎推理的模式：三段论：大前提、小前提、结论.其特点是由一般到特殊的推理.若大前提与小前提都成立，则结论也成立.(3)注意点i)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，以防犯机械类比的错误.ii)合情推理是从已知的结论推测未知的推论，发现与猜想的结论还需要进一步严格证明.iii)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明数学问题，要注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.2.直接证明与间接证明(1)直接证明：综合法与分析法综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出要证明的结论成立.综合法是由因导果.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法是执果索因.综合法与分析法是两种思路相反的证明方法，分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧重于条件提供的信息.要把两者结合起来全方位综合分析信息，寻找合理的解题思路.没有分析，就没有综合，分析是综合的基础，两者相辅相成.要注意分析法的证明格式：要证明……，即证明……，即证明……，因为……，所以结论成立.(2)间接证明反证法：从命题结论的反面出发，通过推理，引出矛盾，从而肯定命题的结论.应用反证法解决问题的一般步骤为：首先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，然后从假设出发进行正确推理，直到推出矛盾为止，最后由矛盾得到假设不成立，从而肯定原命题成立.3.数学归纳法(1)数学归纳法的基本形式设是一个与正整数n有关的命题，如果当时，成立；假设当时，成立，由此推理得到当时，也成立，那么对一切时成立.(2)需要注意的问题：上述两个步骤缺一不可，第一步是验证命题递推关系的基础，没有第一步，第二步就毫无意义；第二步中在证明“当时命题成立”时，必须利用“当时命题成立”这一条件.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2017·全国·高考真题（理））甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（

）A．乙可以知道其他两人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选：D．2．（2019·全国·高考真题（文））在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．3．（2019·全国·高考真题（文））古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．4．（2011·陕西·高考真题（文））观察下列等式照此规律，第个等式为__________．【答案】【解析】根据题意，由于观察下列等式照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边是最中间数字的平方，故第个等式为.名校预测1．（2022·广东·二模）赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角，另一对直角三角形含有锐角（位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了、、、选项．他们的自述如下，甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”，其中有且仅有一位同学说了真话，则选对正确答案的同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）我们常用的纸，纸的大小是根据年纳入国际通用标准的ISO制定的.纸张的面积为平方米，其长宽比为，它的规格为(约等于平方米).纸是纸沿长边对折后得到的，纸是由纸沿长边对折后得到的，纸是由纸沿长边对折后得到的，则可知纸是由纸对折四次后得到的，以此类推……可以维算纸的规格为（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·模拟预测（文））某高校毕业生小王接到甲、乙、丙、丁、戊五个公司的面试通知，遗憾的是其不能去所有公司面试．现决定如下：若去甲公司，则也必须顺路去乙公司；丁、戊两个公司至少去一个公司；乙、丙两个公司只能去一个；丙、丁两个公司都去或都不去；若去戊公司，则甲、丁两个公司也必须去．若为了最大可能实现就业，则小王去的公司是______．5．（2022·上海交大附中高三期中）如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设第n条线段与第条线段所夹的角为，则______．专家押题1．十七世纪法国数学家费马猜想形如“（）”是素数，我们称为“费马数”．设，，，数列与的前n项和分别为与，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B．C． D．2．下列说法错误的是（

）A．由函数的性质猜想函数的性质是类比推理B．由，，…猜想是归纳推理C．由锐角满足及，推出是合情推理D．“因为恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论3．数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学在课余开发了一个“谁是卧底”的数学小游戏：主持人将一个数列的通项公式给四人看到，却不给班上其他同学看到，其中三人在黑板上各写出满足此等差数列的一个结论，另外一人为“卧底”，写出不满足此等差数列的一个结论，四人均不开口说话.若记等差数列的前n项和为，在某次“谁是卧底”游戏中，四人各自写出的结论为：甲：；乙：；丙：；丁：.则我们可以断定，四人中“卧底”是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构．一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，周长与面积分别记为，，图2中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为，，以此类推，图n中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为，，其中图n中每个正六边形的边长是图n－1中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（

）A．图4中共有294个正六边形B．C．D．存在正数m，使得恒成立5．某艺术馆有一间边长为的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅，则（

）A．深色瓷砖比浅色瓷砖少10块 B．深色瓷砖比浅色瓷砖多10块C．深色瓷砖比浅色瓷砖少5块 D．深色瓷砖比浅色瓷砖多5块6．2022年北京冬奥会、谷爱凌在女子自由式滑雪大跳台比赛中夺得冠军.而2021年12月5日美国站女子自由式滑雪大跳台的比赛当时却充满悬念.中国选手谷爱凌的竞争对手主要是来自法国的TessLedeux和挪威的JohannebKilli.比赛分三轮，取最好的两个成绩的总分决出胜负，首轮比赛谷爱凌正常发挥，跳出了88.25分的成绩，而法国的TessLedeux和挪威的JohannebKilli则分别跳出了93分和91.5分的成绩，位居前2名，谷爱凌是否夺冠就看接下来的两轮比赛了.根据以往的比赛资料和本站参加此项目的选手情况，可以认定这个项目的前三名就锁定在这三位选手中.这时候有四位体育评论员对最终的比赛结果做出了预测：①谷爱凌是第二名或第三名，TessLedeux不是第三名；②TessLedeux是第一名或第二名，谷爱凌不是第一名；③TessLedeux是第一名；④TessLedeux不是第一名；其中只有一位评论员预测对了，则正确的是___________（填序号）；

答案名校预测1．B【解析】由图形可知：含锐角的直角三角形两直角边长为，含锐角的直角三角形两直角边长为，故菱形的面积为，不妨假设，中间长方形的面积为，故，即，故选：B2．C【解析】若甲选对了，则甲、丁说了假话，乙、丙说了真话，不合乎题意；若乙选对了，则甲、丙、丁说了真话，乙说了假话，不合乎题意；若丙选对了，则甲说了真话，乙、丙、丁都说了假话，合乎题意；若丁选对了，则甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，不合乎题意.故选：C.3．B【解析】由题意可知，纸约为纸的一半，纸约为纸的一半，又的规格为，所以纸的规格为.故选：B.4．丙公司，丁公司【解析】解：依题意若小王去戊公司，则一定去甲、丁两个公司，此时丙、乙公司也必须去，丙公司不去，与乙、丙两个公司只能去一个矛盾，若小王不去戊公司，则一定会去丁公司，从而会去丙公司，此时不会去乙、甲公司；综上可得小王一定会去丙公司与丁公司；故答案为：丙公司，丁公司5．【解析】第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推，，，，，，，，，，

观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有个，正五边形有个，正六边形有个，

多边形有个又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条线段，，正边形画条线段；画到正多边形时，画线段的条数为，当时，；当时，第条线段应在正边形中，故答案为：.专家押题1．D【解析】因为（），所以，所以，，当时，，所以AB错误，因为，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，是以2为公差，2为首项的等差数列，所以，，当时，，当时，，当时，，由此可得当时，，下面用数学归纳法证明当时，显然成立，假设当（）时，成立，即，则当时，，即，综上，当时，，所以，所以C错误，D正确，故选：D2．C【解析】A中两个函数形式相似，因此可以根据前者的性质猜测后者的性质，是类比推理，A正确；B中，由特殊到一般的猜想推理，是归纳推理，B正确；C中是三段论的演绎推理，不属于合情推理，C错；D中，省略了大前提：函数满足恒成立，则是偶函数，D正确.故选：C.3．C【解析】解：若甲为假命题，则乙、丙、丁为真，由乙、丁知，所以，与甲为假矛盾；若乙为假命题，则甲、丙、丁为真，由甲、丙知，，则，与丁为真矛盾；若丙为假命题，则甲、乙、丁为真，由甲、乙知，，则，与丁真丙假相符；若丁为假命题，则甲、乙、丙为真，由甲、乙知，，则，与丙为真矛盾.故选：C.4．C【解析】对于A，由图可知，图1至图n中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图4中共有个正六边形，A不正确．对于B，由题可知，图n中每个正六边形的边长为，所以，，B不正确．对于C，因为图n中每个正六边形的边长为，所以图n中每个正六边形的面积为，所以，C正确．对于D，因为数列是公比大于1的递增数列，所以不存在正数m，使得恒成立，D不正确．故选：C5．A【解析】由题意知：第1，3，5，7，9圈铺深色瓷砖，第1圈铺1块深色瓷砖，第3圈铺5块即块深色瓷砖，第5圈铺块深色瓷砖，第7圈铺块深色瓷砖，第9圈铺块深色瓷砖，所以深色瓷砖总的块数为：.又因为瓷砖总的块数为100块，则浅色瓷砖为：块，所以深色瓷砖比浅色瓷砖少10块.故选：A.6．④【解析】解：由题意，假设①正确，则②③④错误，因为③和④错误，相互矛盾，所以假设错误，即①不正确；同理可得②不正确；假设③正确，则①②④错误，因为①错误，所以TessLedeux是第三名，这与③TessLedeux是第一名矛盾，所以假设错误，即③不正确；假设④正确，则①②③错误，即谷爱凌不是第二名且不是第三名，TessLedeux是第三名；TessLedeux不是第一名且不是第二名，谷爱凌是第一名；TessLedeux不是第一名，符合题意.综上，正确的是④.故答案为：④.

时间：5月24日今日心情：核心考点解读——三角函数的图象与性质、三角恒等变换一、考纲解读三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系式与诱导公式（=2\*ROMANII）三角恒等变换（=2\*ROMANII）三角函数的图象（=2\*ROMANII）三角函数的性质及其应用（=2\*ROMANII）二、高考预测1.涉及本单元知识的题目，以选择题、填空题为主，一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等.2.从考查难度来看，本单元试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3.从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合.三、知识回顾一、角的有关概念1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；第三象限角的集合为；第四象限角的集合为终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与坐标轴重合的角的集合为．二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算．4．弧长公式，其中的单位是弧度，与的单位要统一.角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.5．扇形的面积公式.角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值00100100101不存在0不存在0补充：四、同角三角函数的基本关系式1．平方关系．2．商的关系．3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）．五、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α−απ−α−α+α正弦sinα−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cosα−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tanαtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限六、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.七、函数的图象与性质1．函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2．函数（A>0,ω>0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=.（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.（4）对称性：利用y=sinx的对称中心为求解，令，求得x.利用y=sinx的对称轴为求解，令，得其对称轴.3．函数（A>0,ω>0）的物理意义当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f=叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.八、三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．（5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴.函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.九、两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：3．公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；；（3）升幂公式：；；；（4）辅助角公式：，其中，十、简单的三角恒等变换1．半角公式（1）（2）（3）【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：；；；.（2）和差化积公式：；；；.四、应试技巧1.三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式(1)首先要熟练掌握三角函数的定义，利用定义理解同角三角函数的基本关系式及诱导公式，掌握同一个角的正弦、余弦、正切之间的互化.(2)诱导公式的记忆可以从口诀“奇变偶不变，符号看象限”入手，理解“奇、偶”的对象及看谁的符号.(3)熟练记忆特殊角的角度制与弧度制之间的互化及特殊角的三角函数值.(4)巧妙利用进行化简、求值.2.三角恒等变换(1)熟练掌握两角和与差，二倍角的正弦、余弦、正切公式；(2)熟练掌握辅助角公式；(3)掌握给值求角、给角求值、给值求值、给角求角的计算方法.能够根据问题的特点发现差异，寻找联系，合理转化.能够简单利用角的关系合理选择三角公式进行计算.3.三角函数的图象(1)熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，能够利用三角函数的图象的变换及“五点法作图”表示函数的部分图象.(2)能够根据给出的函数图象，结合“五点法作图”及相关参数的范围求三角函数的解析式.4.三角函数的性质(1)根据图象熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，能够利用整体代换的方法考查函数的性质.(2)能够利用三角恒等变换化简函数解析式，简单考查函数的周期、最值等.(3)熟练利用整体代换法求解函数的单调性与单调区间，熟练利用整体代换求解函数在给定区间的最值问题.5.三角函数的应用问题分析(1)对三角式求值是重要的考查内容，要注意对各类三角公式的灵活应用，能够观察题中所给角的特点，寻找关系，选择合适的公式进行计算.(2)对三角式求值时要注意由给出角的范围来确定相应三角函数值的符号，以便正确进行计算.(3)应用“五点法作图”处理函数图象问题是重要的解题手段，要注意结合参数的范围进行判断求解，掌握函数图象平移、伸缩变换的原理，正确处理两个函数之间的变换过程.(4)整体代换法是三角函数处理性质问题的最有利武器，要注意求函数单调区间与在给定区间求函数最值的区别与联系.(5)含参数的最值问题一般可以通过参变分离的方式，结合不等式恒成立问题进行处理.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．2．（2021·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，.故选：D.3．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.4．（2021·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故选：A.5．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．6．（2021·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.【答案】【解析】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.名校预测1．（2022·全国·模拟预测）电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地