3 微专题：空间向量基本定理及其初步应用(用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义

【学生版】微专题：空间向量基本定理及其初步应用1、空间向量基本定理（1）定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得；我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；特别地，当，，不共面时，可知x＋y＋z＝，时，x＝y＝z＝0；；（2）相关概念①线性组合：表达式x＋y＋z一般称为向量，，的线性组合或线性表达式；②基底：空间中不共面的三个向量，，组成的集合，常称为空间向量的一组基底；③基向量：基底中，，都称为基向量；④分解式：如果p＝，则称为在基底下的分解式；【思考1】平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？【提示】【思考2】基向量和基底一样吗？能否作为基向量？【提示】2、空间向量的正交分解（1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．（2）向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量使得；像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解；【典例】题型1、空间向量基本定理及相关概念的理解例1、若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底；【提示】【答案】【解析】【说明】题型2、用空间的基底表示空间向量例2、如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up7(→))＝，eq\o(AB,\s\up7(→))＝，eq\o(AC,\s\up7(→))＝，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底表示向量eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))；【变式1】(变条件)若把本例3(2)中的eq\o(AA′,\s\up7(→))＝改为eq\o(AC′,\s\up7(→))＝，其他条件不变，则结果又是什么？【变式2】(变换条件、改变问法)如图所示，在本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底表示向量eq\o(MP,\s\up7(→))。题型3、利用空间向量基本定理解决几何问题例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求：向量所成角的大小；【说明】本题就是利用基向量表示相关向量，然后利用空间向量的运算解决立体几何问题；一般解题步骤是：1、确定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．2、表示目标向量：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．3、通过运算下结论：利用空间向量的一个基底表示出空间所有向量；然后，利用空间向量的运算解答立体几何问题；例4、已知两两垂直，，为的中点，点在上，；（1）求：的长；（2）若点在线段上，设，当时，求：实数的值．【归纳】1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的；2、在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；3、基向量的选择和使用方法：用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向量应注意：（1）所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断；（）所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知向量；（3）尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底；4、用基底表示向量的步骤（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果；（3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，即结果中只能含有不能含有其他形式的向量；5、涉及空间图形的垂直、线段长度、夹角等问题,可以利用基向量，通过数量积的运算来解决：（1）线线垂直可用证明，其中用基向量表示，其他垂直问题可转化为线线垂直问题；（2）异面直线所成角可用公式求解，其中用基向量表示；（3）线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式计算，其中用基向量表示；【即时练习】1、在下列两个命题中，真命题是（）①若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面；②若，是两个不共线向量，而（且），则构成空间的一个基底；A．仅①B．仅②C．①②D．都不是2、给出下列命题，其中错误的有A．空间任意三个向量都可以作为一组基底B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底3、如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则4、在三棱锥中，是的重心．设，以为基向量表示，则5、如图所示，已知平面，M，N分别是的中点，且，四边形为正方形，以为基底，则6、正方体的棱长为a，，点N为的中点，则等于7、如图，点M为的中点，为空间的一个基底，，则有序实数组________．8、已知点A(2，0，－1)，B(1，1，2)，C(3，－2，－3)．（1）向量与夹角的余弦值为______________；（2）若向量，且，则______________；（3）若向量与向量互相垂直，则实数______________．9、如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，为的中点；（1）证明：；（2）求直线与的夹角的余弦值；10、如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，；求证：为定值，并求出该定值；【教师版】微专题：空间向量基本定理及其初步应用1、空间向量基本定理（1）定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得；我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；特别地，当，，不共面时，可知x＋y＋z＝，时，x＝y＝z＝0；；（2）相关概念①线性组合：表达式x＋y＋z一般称为向量，，的线性组合或线性表达式；②基底：空间中不共面的三个向量，，组成的集合，常称为空间向量的一组基底；③基向量：基底中，，都称为基向量；④分解式：如果p＝，则称为在基底下的分解式；【思考1】平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？【提示】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示；【思考2】基向量和基底一样吗？能否作为基向量？【提示】基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为与其他任意两个非零向量共面，所以不能作为基向量；2、空间向量的正交分解（1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．（2）向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量使得；像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解；【典例】题型1、空间向量基本定理及相关概念的理解例1、若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底；【提示】判断是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底；【答案】可以作为空间的一个基底；【解析】假设共面；则存在实数λ、μ使得＝λ()＋μ()，所以，＝λ＋μ+（λ+μ）；又因为，为基底，所以，不共面；则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程组无解，所以，不共面．所以，可以作为空间的一个基底；【说明】空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；题型2、用空间的基底表示空间向量例2、如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up7(→))＝，eq\o(AB,\s\up7(→))＝，eq\o(AC,\s\up7(→))＝，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底表示向量eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))；【提示】借助图形寻找待求向量与，，的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用，，表示出来；【解析】结合三棱柱ABC­A′B′C′及其几何性质，得：eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(－)＝＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)；eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′B′,\s\up7(→))＋eq\o(B′N,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′B′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up7(→))＝＋＋eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\o(A′B′,\s\up7(→)))＝＋＋eq\f(1,2)(－)＝＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)；【变式1】(变条件)若把本例3(2)中的eq\o(AA′,\s\up7(→))＝改为eq\o(AC′,\s\up7(→))＝，其他条件不变，则结果又是什么？【解析】eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝＋eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)；eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))＋eq\o(C′N,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C′B′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\o(A′B′,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)(－)＝＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)；【变式2】(变换条件、改变问法)如图所示，在本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底表示向量eq\o(MP,\s\up7(→))。【解析】eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(MC′,\s\up7(→))＋eq\o(C′A′,\s\up7(→))＋eq\o(A′P,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up7(→))－eq\o(A′C′,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)[eq\o(AA′,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))]－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(＋－)－－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)；【说明】用基底表示向量的步骤：1、定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；2、找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；3、下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量；提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量；题型3、利用空间向量基本定理解决几何问题例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求：向量所成角的大小；【提示】注意：结合向量的运算用基向量表示相关向量，并利用向量运算进行计算；【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）连接，，，如图：因为，，，，在，根据向量减法法则可得：，又因为，底面是平行四边形，所以，，因为且，所以，又因为，为线段中点，所以，，在中，；（2）因为，顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，所以，，，；由（1）可知，所以，平行四边形中故：所以，，所以，对角线的长为：.（3）因为，，，不妨设向量所成角的为，又因为，，所以，；所以，向量所成角的大小为；【说明】本题就是利用基向量表示相关向量，然后利用空间向量的运算解决立体几何问题；一般解题步骤是：1、确定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．2、表示目标向量：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．3、通过运算下结论：利用空间向量的一个基底表示出空间所有向量；然后，利用空间向量的运算解答立体几何问题；例4、已知两两垂直，，为的中点，点在上，；（1）求：的长；（2）若点在线段上，设，当时，求：实数的值．【提示】注意：题设中的“两两垂直”；【解析】（1）由题意，以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，由为的中点，点在上，可得，，则；（2）设，因为，，且点在线段上，所以，，则，因为，，所以，，又，所以，，则；【说明】本题说明了空间向量的坐标运算在立体几何中的应用；利用空间向量的坐标运算求解立体几何问题时，关键是确定相关向量的坐标，一般有两种方法：（1）利用单位正交基底表示向量，然后对应写出坐标；（2）利用建立的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，然后利用有向线段表示坐标的方法用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标；【归纳】1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的；2、在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；3、基向量的选择和使用方法：用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向量应注意：（1）所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断；（）所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知向量；（3）尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底；4、用基底表示向量的步骤（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果；（3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，即结果中只能含有不能含有其他形式的向量；5、涉及空间图形的垂直、线段长度、夹角等问题,可以利用基向量，通过数量积的运算来解决：（1）线线垂直可用证明，其中用基向量表示，其他垂直问题可转化为线线垂直问题；（2）异面直线所成角可用公式求解，其中用基向量表示；（3）线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式计算，其中用基向量表示；【即时练习】1、在下列两个命题中，真命题是（）①若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面；②若，是两个不共线向量，而（且），则构成空间的一个基底；A．仅①B．仅②C．①②D．都不是【答案】A【解析】①为真命题；②中，由题意得共面，故②为假命题，故选A；2、给出下列命题，其中错误的有A．空间任意三个向量都可以作为一组基底B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底【答案】A；【解析】对于A，空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，所以选项A错误；对于B，由向量，则、与任何向量都是共面向量，所以不能构成空间的一组基底，选项B正确；对于C，若，，不能构成空间的一组基底，则，，是共面向量，所以，，，共面，选项C正确；对于D，因为是空间向量的一组基底，所以、、不共面，所以、、也不共面，即