抛物线的标准方程

抛物线的标准方程【考点梳理】考点一：抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.考点二：抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离．【题型归纳】题型一：抛物线的定义求轨迹方程1．（2022·全国·高二）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线【答案】C【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，故选：D3．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程.【详解】由题意得，直线，且圆，设点到直线的距离为，则点到与点到的距离相等，都是，故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故方程为.故选：A.题型二：抛物线的最值问题4．（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解.【详解】依题意，可得出如下图形：抛物线的方程为，抛物线的焦点为，，准线方程为，设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结，则长即为点到轴的距离，可得，根据抛物线的定义，得，，根据平面几何知识，可得，得.当且仅当､､三点共线时等号成立，，当､､三点共线时，的最小值为，即到轴的距离与到点的距离之和的最小值为.故选：D.5．（2022秋·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：，本题正确选项：【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.6．（2022春·江苏扬州·高二统考开学考试）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为椭圆的右焦点，为抛物线上的动点，，则的最小值为(

)A．4 B．5 C．6 D．217【答案】C【分析】过P作准线的垂线，与准线交于，则.【详解】由题知抛物线焦点为，准线方程为，过P作准线的垂线，与准线交于，则，∴，当且仅当、P、Q三点共线时（如图虚线位置）取最小，此时故选：C.题型三：抛物线焦半径的公式7．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，直线不过点且与交于，两点（点在轴上方），与轴负半轴交于点，若，，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由题可得，进而可得点坐标，然后利用斜率公式即得.【详解】由题可得，设，，因为，，∴，解得，所以，即，所以直线的斜率为.故选：D.8．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为的重心，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.【详解】由抛物线方程知：；设，，，则；为的重心，，则，.故选：C.9．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦半径公式可得，结合点斜式与两直线垂直的关系可得，进而联立求解可得.【详解】设，，．①中垂线方程为，令有，解得．②由①②解得．故选：D题型四：抛物线的四种标准方程10．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点作，垂足为.先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.【详解】解：如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C11．（2022秋·江苏南京·高二校联考期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线定义，结合三角形相似以及已知条件，求得，则问题得解.【详解】根据题意，过作垂直于准线，垂足为，过作垂直于准线，垂足为，如下所示：因为，又//，，则，故可得，又△△，则，即，解得，故抛物线方程为：.故选：.12．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.【详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，显然，在直角三角形中，，故选：C题型五：抛物线在生活中的实际应用13．（2022·江苏·高二专题练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．故选:B．14．（2022秋·江苏南通·高二统考期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为.【答案】/【分析】根据题意，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，进而且，再计算得，进而得答案.【详解】如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由已知得且，所以，解得，所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为故答案为：15．（2022·江苏·高二专题练习）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度米．【答案】3.84./【分析】建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点的坐标，即可求出支柱的长度.【详解】建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：.因为桥的跨度米，拱高米，所以,代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为把点的横坐标2代入,得，解得：，支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).故答案为：3.84.题型六：抛物线的方程综合问题16．（2023·江苏·高二）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上；(2)抛物线的焦点是.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）首先设出抛物线的标准形式，再根据题意确定的值，即可求解；（2）根据焦点坐标设出抛物线的标准方程的形式，并确定的值，即可求解.【详解】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且，因此所求标准方程为，准线方程为.（2）因为抛物线的焦点坐标是，所以抛物线的标准方程具有的形式，而且因此，从而所求抛物线的标准方程是，准线方程为.17．（2023秋·高二课时练习）设点P是抛物线上的一个动点.(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用抛物线的定义，转化点到准线的距离为到焦点的距离，再利用数形结合，即可求解；（2）利用抛物线的定义，转化点到焦点的距离为到准线的距离，再利用数形结合，即可求解；【详解】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，此时，，那么,即最小值为4.18．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.(1)若直线的斜率为，求线段的长；(2)求证：直线平行于抛物线的对称轴.【答案】(1)；(2)证明过程见解析.【分析】（1）由题可得直线的方程为，联立抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的定义即得；（2）由题可设直线方程可得，然后设直线的方程联立抛物线，根据韦达定理可得，即得.【详解】（1）∵抛物线的焦点，准线方程为，直线的方程为，联立方程，可得，，由抛物线的定义可知，；（2）设直线的方程为：，令，可得，设直线的方程为：，联立方程，化为，，即，∴，即直线平行于抛物线的对称轴.【双基达标】一、单选题19．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（

）.A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离.【详解】由抛物线方程知：，即，根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是.故选：B20．（2023春·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可．【详解】设点，，，或（舍去），，到抛物线的准线的距离，点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，点到该抛物线焦点的距离为．故选：C.21．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为，碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，过中点作轴，由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.故选：B.22．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为，则周长的最小值是（

）A． B． C．9 D．【答案】B【分析】的周长最小，即求最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为,转化为求最小，数形结合即可求解.【详解】如图：由已知，准线方程，在抛物线内部，作准线于，准线于，所以，由抛物线定义知，当且仅当三点共线时取最小值，故周长的最小值是.故选：B23．（2022秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点且，则点到准线的距离为（

）A．6 B．5 C．3 D．【答案】D【分析】过点作轴的垂线，垂足为，根据抛物线的定义结合相似即可求得，从而得到结果.【详解】如图，过点作轴的垂线，垂足为，由题意可得，即，因为，则所以，则点到准线的距离为故选:D24．（2022秋·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知抛物线：上一点到轴的距离是2，点是抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于另一点，为坐标原点，则点到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，设的纵坐标为，即可求出的横坐标，从而得到、的坐标，再利用等面积法计算可得.【详解】解：抛物线：的焦点坐标为，又到轴的距离为，不妨令，则，解得，即，此时直线为，所以，所以，设点到的距离为，则，即，解得.故选：D25．（2022秋·江苏常州·高二校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（

）A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】由题意可知，不妨令在轴上方，准线与轴交点为,如图所示因为点在C上，根据抛物线的定义可得，且，则,所以为等腰三角形，且,解得，在中，,即即，解得，所以到轴的距离为.故选：A.26．（2023秋·高二课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点;(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）由题意方程可设为或,将代入求解即可;（2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为,即,写出抛物线方程即可.【详解】（1）由题意,方程可设为或,将点的坐标代入,得或,∴或,∴所求的抛物线方程为或.（2）由焦点到准线的距离为,可知,∴所求抛物线方程为或或或.27．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．(1)求实数p的值；(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可；（2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，，解得：；（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，显然直线l斜率不为0，设直线l为：，，联立直线与抛物线方程：，得：，则，，则所以，解得，所以直线l为：或；综上，，直线l为：或.【高分突破】一、单选题28．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市第一中学校）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，因为点在C上，根据抛物线定义可得，且，则，所以为等腰三角形，且，在中，，即解得，即F到l的距离为.故选:C.29．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，由解得，舍去，所以.解法2：在中，，则.解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.故选：D.30．（2022秋·高二单元测试）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．【答案】A【分析】求出的长，根据抛物线的定义可得．【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，连接，则，又，所以是正三角形，∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3.故选：A31．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，点在上，若，，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线对称性，不妨设点在第一象限，设，，由抛物线的定义得，再由已知条件得直线的倾斜角，斜率，由斜率公式可求得，从而得出点横坐标．【详解】设为坐标原点，由抛物线的对称性不妨设点在第一象限，由，可知，由抛物线的定义，可知，则有，即，.由抛物线的方程可知，，设，，则有，即，因为，故解得，，故选：B．32．（2023·高二课时练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（

）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B【分析】解法一：设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，联立抛物线方程可得韦达定理，进而根据焦点弦长公式结合基本不等式求解即可；解法二：根据抛物线的性质，结合基本不等式求解即可【详解】解法一：设抛物线的方程，则，得，所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，由联立，得，∴，，∴，，，当且仅当，即，时取等号.解法二：，又，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.二、多选题33．（2023·江苏·高二假期作业）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，利用待定系数法求解即可.【详解】若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，解得，所以抛物线的标准方程为；若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，解得，所以抛物线的标准方程为．故选：BD34．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（

）A．若，则O为线段MN的中点 B．若，则C．若，则 D．存在点M，使得【答案】AC【分析】对每个选项，根据已知条件求得的坐标，并由此判断出正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项，，所以，不妨设，则直线的方程为，令得，所以，所以是线段的中点，所以A选项正确.BC选项，，所以，则，B选项错误，不妨设，则直线的方程为，令得，所以，所以，所以，C选项正确.D选项，设，则直线的方程为，由消去得，解得或，当时，，则，而，所以，，所以不存在点M，使得，即D选项错误.故选：AC35．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为B．存在直线，使得A、B两点关于对称C．的最小值为6D．当直线过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切【答案】ACD【分析】根据得到故,A正确，中点在抛物线上，B错误,，C正确，计算D正确，得到答案.【详解】,故，,故,A正确；设,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；过作垂直于准线于,则，当共线时等号成立，故C正确；如图所示：为中点，故,故为直径的圆与轴相切，故D正确；故选：ACD.36．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x2与抛物线C交于A，B两点，则（

）A．抛物线C的准线方程为B．点F到直线l的距离为C．∠AOBD．【答案】AB【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线的距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项正确.直线，即，到的距离为，B选项正确.由解得或，不妨设，则，所以，C选项错误.，D选项错误.故选：AB37．（2022秋·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（

）A．B．若，则M到x轴距离为3C．若，则D．的最小值为4【答案】ABD【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.【详解】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确；抛物线的方程为，焦点，准线，设，对于B，点，由抛物线的定义知，，有，所以M到x轴距离，B正确；对于C，，由得：，即，又，即，则，解得，于是得，C不正确；对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，显然，当且仅当点A与Q重合时取等号，所以，D正确.故选：ABD三、填空题38．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．【答案】【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.【详解】将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，设，所以，解得，所以抛物线方程为，故答案为：.39．（2023秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则.【答案】【分析】根据抛物线定义得，由点在抛物线上，代方程即可解决.【详解】由题知，抛物线的焦点，抛物线上一点到点的距离为6，所以，得，所以抛物线为，所以，解得，故答案为：40．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为.【答案】/【分析】设，依题意表示出，，即可得到动点的轨迹方程，再根据距离公式及二次函数的性质计算可得.【详解】解：设，则，，所以，即，即动点的轨迹方程为，，所以，所以当时.故答案为：41．（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为．【答案】【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求.【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，所以，，因为在中，，所以由正弦定理可得，,因