安徽省芜湖市2020-2021学年高一下学期期中数学试卷

PAGE2021学年安徽省芜湖市高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.）1．化简向量+﹣﹣等于（）A． B． C． D．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣b2＝c2+bc，则∠A＝（）A． B． C． D．3．已知i是虚数单位，则复数＝（）A．+i B．﹣+i C．﹣﹣i D．﹣i4．在△ABC中，若b＝ccosA，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A． B． C．8 D．46．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）A． B． C． D．7．球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，若截面圆半径为，则球O的体积为（）A．16π B． C． D．8．在△ABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．（2，5） B．（5，10） C．（2，2） D．（2，10）9．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（）A．700m B．640m C．600m D．560m10．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A． B． C． D．11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝+3，则△ABM与△ABC的面积比为（）A． B． C． D．12．已知在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于线段AB上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．若向量，满足||＝，||＝1，，|2+|＝．14．若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+2c＝2acosB，a＝8，△ABC的面积为4，则b+c的值为．16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是CB1上的一个动点，则BM+D1M的最小值是．三、解答题（本题共6小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣x，3）．（1）若点A，B，C三点共线，求x的值；（2）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求x的值．18．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．19．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB、AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB旋转一周，（1）求阴影部分形成的几何体的表面积．（2）求阴影部分形成的几何体的体积．20．已知△ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若，，其中p，q为非零常数．（1）求证：；（2）求证：为定值．21．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围．22．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．

参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有装一项是符合题目要求的）1．化简向量+﹣﹣等于（）A． B． C． D．解：＝．故选：A．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣b2＝c2+bc，则∠A＝（）A． B． C． D．解：因为a2﹣b2＝c2+bc，所以cosA＝，又0＜A＜π，所以∠A＝．故选：D．3．已知i是虚数单位，则复数＝（）A．+i B．﹣+i C．﹣﹣i D．﹣i解：复数＝＝＝﹣+i，故选：B．4．在△ABC中，若b＝ccosA，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形解：将b＝ccosA，利用正弦定理化简得：sinB＝sinCcosA，把sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC代入得：sinAcosC+cosAsinC＝sinCcosA，整理得：sinAcosC＝0，即sinA＝0或cosC＝0，∵A，C为三角形内角，∴sinA≠0，∴cosC＝0，即C＝，则△ABC为直角三角形，故选：A．5．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A． B． C．8 D．4解：由斜二测画法的规则知与x轴平行或重合的线段与x'轴平行或重合，其长度不变与y轴平行或重合的线段与y'轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在O′B′的长度为＝，∴如图，在平面图中四边形OABC中，对角线OB与y轴重合，且其长度变为原来的2倍，即OB＝2，∴四边形ABCD中，OA＝BC＝1，AB＝OC＝＝3，∴四边形OABC的周长为：1+3+1+3＝8．故选：C．6．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）A． B． C． D．解：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，∴＝＝＝＝﹣，＝＝，∴＝++＝++＝﹣+（+）＝+（﹣﹣）＝﹣，故选：D．7．球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，若截面圆半径为，则球O的体积为（）A．16π B． C． D．解：画出过球心的大圆，如图所示，则由题意可得O为球心，D为截面圆的圆心，且BD为截面圆的半径r＝，OB为球的半径R，因为球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，则OD＝，在△ODB中：R2＝（）2+（）2，解得R＝2，所以球O的体积V＝＝，故选：D．8．在△ABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．（2，5） B．（5，10） C．（2，2） D．（2，10）解：因为三角形有两个解，所以满足b＜a，所以5＜a＜10，故选：B．9．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（）A．700m B．640m C．600m D．560m解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝14200，∴AM＝＝400．∵△MAC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠MCA＝180°﹣∠AMC﹣∠MAC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，由正弦定理，得＝＝400，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600m．故选：C．10．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A． B． C． D．解：设O为正六棱锥S﹣ABCDEF底面内切圆的圆心，连接OA，OB，如图所示：由题意可知∠AOB＝，∠SAB＝，∴OA＝AB，SA•cos（）＝SA•sinθ＝AB，∴，设内切圆半径为r，则tan＝，r＝，∴侧棱与底面内切圆的半径的比为．故选：A．11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝+3，则△ABM与△ABC的面积比为（）A． B． C． D．解：M是△ABC所在平面内一点，连接AM，BM，延长AC至D使AD＝3AC，延长AM至E使AE＝5AM，如图示：∵5＝+3，∴＝5﹣3＝，连接BE，则四边形ABED是平行四边形（向量AB和向量DE平行且模相等）由于＝3，所以S△ABC＝S△ABD，＝，所以S△AMB＝S△ABE，在平行四边形中，三角形ABD面积＝三角形ABE面积＝平行四边形ABED面积一半故△ABM与△ABC的面积比＝＝，故选：C．12．已知在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于线段AB上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．解：以AB所在的直线为x轴，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0）、B（2，0）、O（，1），设点P（x，0），x∈[0，2]，向量与的夹角为θ，可得＝（﹣x，0）•（﹣x，1）＝﹣x（﹣x）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，故当x＝时，取最小值为﹣，此时，||＝，||＝，则cosθ＝＝＝﹣，故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．若向量，满足||＝，||＝1，，|2+|＝．解：根据题意，向量，满足||＝，||＝1，⊥（﹣）则•（﹣）＝2﹣•＝﹣•＝0，变形可得•＝，则|2+|2＝42+4•+2＝3+3+1＝7，故|2+|＝；故答案为：．14．若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为．解：设圆锥的底面半径为r，根据圆锥圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，所以，解得r＝2，故圆锥的高为＝．故答案为：．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+2c＝2acosB，a＝8，△ABC的面积为4，则b+c的值为4．解：因为b+2c＝2acosB＝2a•，整理得﹣bc＝b2+c2﹣a2由余弦定理得cosA＝＝﹣，因为0＜A＜π，所以A＝，因为△ABC的面积S＝＝＝4，所以bc＝16，由余弦定理得a2＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣16，故（b+c）2＝80，所以b+c＝4．16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是CB1上的一个动点，则BM+D1M的最小值是．解：如图所示：将△CB1D1沿直线CB1折起，当点B、M、D1在同一条直线上时，BM+D1M最小，此时BM＝，△CB1D1是边长为的等边三角形，∴，则BM+D1M的最小值是．故答案为：．三、解答题（本题共6小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣x，3）．（1）若点A，B，C三点共线，求x的值；（2）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求x的值．解：（1）∵＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣x，3），∴＝﹣＝（3，1），＝﹣＝（﹣1﹣x，6）∵点A，B，C三点共线，∴和共线，∴3×6＝﹣1﹣x，解得x＝﹣19；（2）∵△ABC为直角三角形，且∠B为直角，∴⊥，∴•＝3（﹣1﹣x）+6＝0，解得x＝1．18．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，∵z+2i∈R，∴y+2＝0，即y＝﹣2．又∈R，∴x﹣4＝0，即x＝4．∴x＝4﹣2i，则；（2）∵m为实数，且（z+mi）2＝[4+（m﹣2）i]2＝（12+4m﹣m2）+8（m﹣2）i，由题意，，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．19．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB、AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB旋转一周，（1）求阴影部分形成的几何体的表面积．（2）求阴影部分形成的几何体的体积．解：（1）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆台下底面、侧面和半球面，，，，故所求几何体的表面积为S＝8π+35π+25π＝68π；（2）×4＝52π．，∴所求几何体的体积为．20．已知△ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若，，其中p，q为非零常数．（1）求证：；（2）求证：为定值．【解答】证明：（1）延长AG交BC于D，则D为BC中点，∴，∵G是重心，∴，∴；（2）设，，∵，∴，∵，∴，∵P，G，Q三点共线，则存在λ，使得，即，即，∴，整理，得，∴，∴，∴．21．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围．解：（1）∵，∴．即，∴，整理得∵0＜A＜π，∴．（2）∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∵，∴，即，∴∴所以△ABC周长的范围为．22．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．解：（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cos，化简得BD