高一数学必修4学案

(3)如果你的手表慢了20分钟,或快了1.25小时,你应该将分钟分别旋转多少度

高一数学必修4导学案才能将时间校准？

第一章三角函数

1.1.1任意角

【学习目标】

2、任意两个角的数量大小可以相加、相减，如50°+80°=130°,50°-80°=-30°,

1.了解任意角的概念：正确理解正角、零角、负角的概念

你能解释一卜.这两个式子的几何意义吗？

2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象眼角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示

【学习重点、难点】

用集合与符号语言正确表示终边相同的角

第一课时

【自主学习】

3.终边相同的角

一、复习引入

思考：(1)卜列角分别是第几象限角？

问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？

-300\-150\-60°,-660',60°,

这当中一些角有什么共同特征？

所学的角的范围是什么？210°,300°,420°,780°,

问题2：在体操、跳水中,有“转体720°”这样的动作名词,这里的“720°”,怎么刻画？

(2)具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？

二、建构数学

1.角的概念

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个,即任一与角。终边相同的角，都可以

角可以看成平面内一条绕着它的____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

表示成O

射线的端点称为角的.射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和。

4.象限角、轴线角的概念

2.角的分类

我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与垂合，角的

按方向旋转形成的角叫做正角，

—与——重合。那么，角的—(除端点外)落在第几象限，我们就说这

按顺时针方向旋转形成的角叫做O

个角是O

如果•条射线没有作任何旋转，我们称它形成了•个——,它的和—用合。这样，我

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为..

们就把角的概念推广到了,包括、和。

象限角的集合

【典型例题】

(1)第一象限角的集合：_________________________________________

1、度量个角的大小，既要考虑旋转方向，乂要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到『任意

(2)第二象限角的集合:_

大小对于a=210。，3=-150°,丫=一660。，你能用图形表示这些角吗？你能总结下作图的要点

(3)第一象限角的集合：—

吗？

(4)第四象限角的集合：—

轴线角的集合

(1)终边在x轴正半轴的角的集合：_________________________________________

(2)终边在x轴负半轴的角的集合：一

例1(1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

(3)终边在)，轴正半轴的角的集合：—

(2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

(4)终边在y轴负半轴的角的集合：—

1、设a=-60°,则与角。终边相同的角的集合可以表示为.

(5)终边在x轴上的角的集合:

(6)终边在y轴上的角的集合：_______________

2、把下列各角化成a+h360°(0°4a<360°,kwZ)的形式，并指出它们是第几象限的角。

(7)终边在坐标轴上的角的集合：____________

三、课前练习(1)1200°(2)-55°(3)1563°(4)-1590°

在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

3、终边在y轴上的角的集合;终边在直线y=x上的角的集合;终边在

30°/50°,-60°,390°,-390°,-120°

四个象限角平分线上的角的集合.

4、终边在30。角终边的反向延长线上的角的集合.

【典型例题】

5、若角a的终边与45°角的终边关于原点对称，则。=:若角a,4的终边关于直线

例2在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。

x+y=0对称，且。=一60°,则尸=o

(1)650°(2)-150°(3)-240°(4)-990°15'

6、集合A={a|a=h90°-36°,kwZ},

B={〃|-180°</<180°},则AcB=.

例3已知a与240°角的终边相同，判断应是第几象限角。

27、若4是第一象限角，则a的终边在___________________________

2

【课后训练】

例4写出终边落在第•、三象限的角的集合。1、分针走10分钟所转过的角度为;时针转过的角度为•

2、若90°<£<a<135。，则a的范围是,a+6的范围是.

3、(1)与一35°30'终边相同的最小正角是;

例5写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)

(2)与715。终边相同的最大负角是;

(3)与1000°终边相同旦绝对值最小的角是;

(4)与-1778°终边相同且绝对值最小的角是.

(1)(2)(3)

4、与一15°终边相同的在一1080"<一360°之间的角力为.

【拓展延伸】

已知角。是第二象限角，试判断巳为第儿象限角？5、已知角a,夕的终边相同，则a-夕的终边在.

2

6、若夕是第四象限角.则180°-/是第_____象限角：180°+/是第_象限角。

【巩固练习】

7、若集合4=｛a|&•1800+30°<a<h1800+90°,2£Z｝,的还可以用为单位进行度量,

—叫做1弧度的角，用符号____表示，读作0

集合5=｛0H360°-45°<广<晨360°+45°,AeZ｝,

2.弧度数：正角的弧度数为,负角的弧度数为.零角的弧度数为.如果半径为r

的圆心角所对的弧的长为1,那么，角a的弧度数的绝对值是这里，Q的正负由

则4c8=.

______________________________________决定。

3.角度制。弧度制相互换算

8、已知集合知=｛锐角｝,N=｛小于90°的角｝,尸=｛第一象限的角｝,下列说法：(1)P=N,(2)

360°=_rad180°=rad

0

NcP=M,(3)MqP,(4)(MuN)工尸其中正确的是.r=rad1rad=~°

4.角的概念推广后,在弧度制下，与之间建立起••对应的关系:每个

9、角a小于180°而大于-180°,它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角a。

角都有唯一的一个实数(即.)与它对应；反过来，每一个实数也都有

10、已知a与60°角的终边相同,分别判断q,2a是第几象限角。

(即)与它对应,

2

【课堂小结】5.弧度制卜.的弧长公式和扇形面积公式：

1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，

角a的弧度数的绝对值|a|=(/为弧长，「为半径)

都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.

2.终边相同的角有无数个，在0°〜360°范围内与已知角B终边相同的角有旦只有一个.用B除以360°,弧长公式：_____________________________

若所得的商为k,余数为a(a必须是正数)，则a即为所找的角.扇形面积公式：_____________________________

【典型例题】

例1.把下列各角从弧度化为度。

1.1.2弧度制

(1)—(2)—(3)--(4)2<5)3.5

【学习目标】5126

3.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数

4.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题

5.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系

【学习重点、难点】

弧度的概念，弧度与角度换算例2.把下列各角从度化为弧度。

(1)-750°(2)-1440°(3)67°30'(4)252°(5)

【自主学习】

一、复习引入

请同学们回忆•下初中所学的1°的角是如何定义的？

例3.(1)已知塌形的周长为8“"，圆心角为2sd,求该扇形的面积。

(2)已知肉形周长为4C〃7,求地形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。

二、建构数学

1.弧度制

222任意角的三角函数(1)

【学习目标】

6.掌握任意角三角函数的定义，并能借助单.位圆理解任意角-：用函数的定义

7.会用三角函数线表示任意角三角函数的值

例4.已知•扇形周长为C(C>0),当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积。8.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号

【学习重点、难点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义

【自主学习】

一、复习旧知，导入新课

在初中，我们已经学过锐角三角函数：

角的范围已经推广，那么对任意角a是否也能定义其一三角函数呢？

【巩固练习】

1、特殊角的度数与弧度数的对应。

度数二、建构数学

1.在平面直角坐标系中，设点P是角a终边上任意一点，坐标为尸*,田，

弧度数

2、若角a=3,则角a的终边在第_象限：若a=-6,则角a的终边在第一象限。它与原点的距离|O尸|=旧+3,一般地，我们规定：

3、将下列各角化成a+2k^[0<a<2^),的形式，并指出第几象限角。

⑴比值叫做a的正弦，记作，即=；

(1)a=(2)a=-315°(3)a=(4)a=⑵比值——叫做a的余弦，记作即；

332

4、圆的半径为10,则2的圆心角所对的弧长为；扇形的面积为°⑶比伯—叫做a的正切，记作即_

2.当a=__时，a的终边在)，轴上，这时点P的横坐标等「，所以

5、用弧度制表示下列角终边的集合。

(1)轴线角(2)角平分线上的角(3)直线y=上的角一无意义.除此之外,对于确定的角a,上面三个值都是.所以，正弦、余弦、

正切都是以为自变量，以为函数值的函数，我们将它们统称为

6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____o3.由于与之间可以建立一一对应关系，三角函数

【课堂小结】

可以看成是自变量为的函数.

1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

2.度与弧度的换算关系，由180°=nrad进行转化，以后我们一般用弧度为单位度量角.4.其中，y=sinx和y=cosX的定义域分别是；

3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点.

而y=tanx的定义域是.

变题2已知角a的终边经过点P（-x,-6）,且cosa=-上，求x的值

5.根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。

例2.已知角a的终边在直线y=-3x上，求。的正弦、余弦、正切的值

y=sinay=cosa

y=tana

【典型例题】

例1.已知角a的终边经过点尸（4,-3）,求a的正弦、余弦、正切的值。

例3.确定下列三角函数值的符号：

(1)cos—TI(2)sin(-465)(3)tan—4(4)sin3-cos4-tan5

12173

变题1已知角a的终边经过点尸（4a,-3。）（。工0）,求a的正弦、余弦、正切的值。

例4.若A45C两内角A、B满足sinAcosB<0,判断三角的形状。6、。是第二象限角，P(A-,V5)为其终边上一点，且cosa=Jx,则sina的值为

4

【课堂小结】

【布置作业】

【巩固练习】

1、已知角a的终边过点p(-1,2),cosa的值为

2、Q是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是

A.sinaB.cosaC.tanaD.--——

tana

3、填表：

1.2.1任意角的三角函数(2)

【学习目标】

I、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义

2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值

3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号

【学习重点、难点】

会用三角函数线表示任意角三角函数的值

【自主学习】

一、复习回顾

1.单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以为圆心，以_______^半径的圆。

4、已知角。的终边过点P(4a,-3a)(«<0)，则2sina+cosa的值是2.有向线段的概念：把规定J'正方向的直线称为；

规定了—(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段。

3.有响线段的数量：若有向线段A5在有向直线/上或与有响直线/,根据有向线段45与

有向直线/的方向或，分别把它的长度添上或_______,这样所得

5、若点P(-3,y)是向a终边上一点，FLsina=-j,则y的值是.

的叫做有向线段的数量。

4.角函数线的定义:

外24/八22

设任意角a的顶点在原点O,始边与工轴非负半轴重:合，终边与单位圆相交于点P(.r,y),（3Jcos-乃cos—（4）tan§乃tan—冗

例3.解卜.列三角方程

（l）sinx=（2）cosx=；（3）tanx=1

变题1.解下列三角不等式⑴sinx＞y（2）cosx41（3）tanx＞1

过点尸作x轴的垂线，垂足为M；过点A(l,0)作单位圆的切线，设它与a的终边(当a为第

象限角时)或其反向延长线(当。为第象限角时)相交于点7\根据三角函数

V

的定义：sina-y-；cosa-x-:tana=—=。变题2.求函数＞•=lg(2sinA-l)+71+2cos.r的定义域.

x

【典型例题】

例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

(哈⑵，乃(3)-]⑷

3030【巩固练习】

1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

2.利用余弦线比较cos64,cos285c的大小：

例2.利用三角函数线比较大小

3.若工＜。＜工，则比较sin。、cos。、tan。的大小;

(l)sin300_____sinl50:⑵sin25。______sinl50：42

4、结合三角函数值的符号问题，求三角函数值

4.分别根据下列条件)写出角6的取值范围：【重点难点】同角•:角函数的两个基本关系式和应用

/Jfj

(1)cos^<——；(2)tan^>-1:(3)sin。〉-----

22【自主学习】