湖北省部分学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以．故选：B.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选：A.3.下列结论错误的是（）A.零向量与任一向量共线 B.零向量与任一向量的数量积为0C.方向相反的两个向量是相反向量 D.模长等于1个单位长度的向量称为单位向量〖答案〗C〖解析〗A：零向量与任意向量共线，故A正确；B：零向量与任意向量的数量积都等于0，故B正确；C：相反向量的概念是方向相反且长度相等的两个向量，故C错误；D：单位向量的概念是模为1个单位长度的向量，故D正确.故选：C.4.如图，在矩形中，是的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由图可知：.故选：A.5.在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中，使得有两个解的是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A：当时，由正弦定理，得，所以，又A为钝角，B必为锐角，即只有1个解，故A不符合题意；B：当时，由正弦定理，得，所以，若B为钝角，A为锐角，则，与矛盾，所以B只能为锐角，即只有1个解，故B不符合题意；C：当时，由正弦定理，得，所以，此时B有1个解，故C不符合题意；D：当时，由正弦定理，得，所以，又A为锐角且，所以B可以有2个解，故D符合题意.故选：D.6.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，所以，可得在上的投影向量为．故选：D.7.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗设该塔的高度为米，则，在中，，即，由，解得，即塔高为30米.故选：A.8.若函数在内有两个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，可得．因为，所以，则．要使在内有两个解，则，解得．故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗设复数，由，得，所以解得所以，则.故选：AC.10.已知函数，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为且定义域为R，所以是奇函数，因为函数和都是增函数，所以是增函数，因为，所以，即，故A正确，B错误；因为，所以，故C正确，D错误.故选：AC.11.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.与的夹角为〖答案〗ACD〖解析〗A：，，所以，故A正确；B：，则，故B错误；C：，所以，故C正确；D：，，则，又，所以，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．12.已知函数，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知则角B的最大值为______．〖答案〗〖解析〗易知，因为，所以，当且仅当时，等号成立．故〖答案〗为：.14.在中，，O是的外心，，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗在中，外接圆半径，由正弦定理得，所以，由余弦定理，解得，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值时x的取值集合．解：（1），所以的最小正周期．（2），则函数最大值为0，当取得最大值时，，即，所以的最大值为0，取得最大值时的取值集合为16.已知向量．（1）若，求；（2）若，求与的夹角的余弦值．解：（1）由可得，整理得．因，所以，解得，所以，所以．（2），因为，所以，解得，所以，又，所以，所以与的夹角的余弦值为．17.已知为奇函数．（1）求a的值；（2）若，求m的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以，则，化简得，即，所以，解得或（舍去），故的值为－1．（2），的定义域为，因为函数在上单调递增，函数为增函数，所以为增函数，．令函数，因为函数为增函数，所以也是增函数，则．故的取值范围是．18.某时刻，船只甲在处以每小时30海里的速度向正东方向行驶，与此同时，在处南偏东方向距离甲150海里的处，有一艘补给船同时出发，准备与甲会合．（1）若要使得两船同时到达会合点时补给船行驶的路程最短，补给船应沿何种路线，以多大的速度行驶？（2）要使补给船能追上甲，该补给船的速度最小为多少？当该补给船以最小速度行驶时，要多长时间追上甲？（参考数据：取，）解：（1）假设甲行驶的路线为，过作的垂线，点到的最短距离为，要使补给船行驶的路程最短，补给船需沿正北方向，即方向行驶，，甲行驶到处所需时间为小时，补给船行驶的速度为海里/小时，故要使得两船同时到达会合点时，补给船行驶的路程最短，补给船应沿正北方向，以海里小时的速度行驶．（2）设补给船以海里/小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与甲在处会合，在中，，由余弦定理得，所以，即，当，即时，取得最小值，即，所以补给船至少以海里/小时的速度行驶才能追上甲，当补给船以最小速度行驶时，要小时追上甲．19.在中，内角的对边分别为，且.（1）求.（2）若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围.（3）若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值.解：（1），由正弦定理得，