湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷一､选择题1.复数，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，则.故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，所以.故选：B.3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗C〖解析〗如图所示对于A，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故A错；对于B，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故B错；对于C，过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确；对于D，设平面为平面,为，为，则，则，故D错.故选：C.4.的展开式中的系数为（）A.－50 B.－10 C.10 D.50〖答案〗A〖解析〗展开式的通项为，则，，故展开式中的系数为.故选：A5.记，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，幂函数在上单调递增，又，所以，所以，又对数函数在上单调递减，所以，故.故选：D.6.记等比数列的前项和为，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，所以成等比数列，则，即，解得或.设等比数列公比为，则，，则，得.故选：B7.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗分别取，中点Q，R，连接，，则由题，，即，所以，作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，所以，所以的最大值为3.故选：C8.已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（）A2 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可得：，，，，，，所以，直线的方程为：，令，解得：，所以直线与轴交点为，由于，则直线的方程为：，令，解得：，所以直线与轴交点为，因为直线与直线的交点在轴上，所以，解得：，所以双曲线的离心率，故选：B二､多选题9.已知函数，则（）A.函数是奇函数 B.函数是偶函数C.的最大值是 D.在区间上单调递减〖答案〗BD〖解析〗由，对于A，，因为，故A错误；对于B，是偶函数，故B正确；对于C，由，最大值为1，故C错误；对于D，，则，由正弦函数的单调性知，函数在上单调递减.故D正确.故选：BD.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数中位数众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数中位数<平均数D.图（3）的平均数中位数众数〖答案〗ACD〖解析〗图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选：ACD.11.定义在上的函数与的导函数分别为和,若，，且，则下列说法中一定正确的是（）A.为偶函数 B.为奇函数C.函数是周期函数 D.〖答案〗BCD〖解析〗对A：由，故为奇函数，若为偶函数，则，与条件不符，故A错误；对B：由，则，又，即，即，又定义在上，故为奇函数，故B正确；对C：由，则，即，又，则，，故，又，则，即，则，故函数是周期函数的周期函数，则函数是周期函数的周期函数，故C正确；对D：由，即，又函数是周期函数的周期函数，故是周期函数的周期函数，由，令，则，即，令，则，即，由，，则，则关于对称，则关于对称，又为奇函数，即关于中心对称，故关于对称，则，则，故D正确.故选：BCD.三､填空题12.设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由椭圆定义可得，则有，即，，又，由，故，故.故〖答案〗为：.13.已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________.〖答案〗〖解析〗圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台的高为h，则该圆台的体积为，则，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为，下底面圆心为，，，过作，则，又，所以圆台的母线长为．故〖答案〗为：.14.设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗，令，所以，要想有最小值，显然为钝角，即，于是有，设，因为，所以令，即，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，所以的最小值为，此时，，即存在，显然存在，使得，即的最小值为，故〖答案〗为：.四､解答题15.已知三个内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若的面积，且，求的周长.解：（1）由正弦定理可得，，得：.所以.又，且，所以.由，故.（2），所以.由余弦定理，.又.联立得：..所以的周长为.16.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.解：（1）时，，，所求切线方程为，整理得：；（2），因为，故时，在上单调递增，当时，对于，若，则，此时在上单调递增，若，令，得，时，单调递增；时，单调递增；时，单调递减；综上所述：时，在上单调递增；时，在、上单调递增，在上单调递减.17.如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，，，，，由余弦定理可得满足，所以，即.因为平面平面，且交线为，由，平面，得平面.由平面，得，因为，，且，平面，所以平面.由平面，得.设，，有，解得：，即.所以，满足，即.又因为，，且，平面，所以平面.由平面，得.（2）解：以为坐标原点，分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.，，，，.设平面的法向量，由，即，取，得到平面的一个法向量.又，设直线与平面所成角的大小为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（1）证明：点在定直线上；（2）若面积为，求点的坐标；（3）若四点共圆，求点的坐标.（1）证明：由，得，设.所以方程为：，整理得：.同理可得，方程为：.联立方程，解得.因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交，设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，所以，可知.所以点在定直线上..（2）解：在的方程中，令，得，所以面积.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以点的坐标为或.（3）解：抛物线焦点，由得直线斜率，可知，同理，所以是外接圆的直径.若点也在该圆上，则.由，得直线的方程为：.又点在定直线上，联立两直线方程，解得，所以点的坐标为.19.已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.（1）对于正整数,求,并根据，求；（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.（i）求；（ii）记首次