江苏省徐州市铜山区2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州市铜山区2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，，则.故选：C.2.设是虚数单位，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以.故选：D.3.已知向量与是两个单位向量，且与的夹角为，若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，因为，，所以.故选：C.4.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417-公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，…．如图，若记，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以.故选：B.5.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.21〖答案〗A〖解析〗，，，则，，，的面积为．故选：．6.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗，由正弦定理化简得，即，故，，则或，即或，则的形状为等腰或直角三角形.故选：D.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.8.八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗正八边形中，，所以，，连接，过点O作，交、于点、，交于点，，设，由余弦定理得，中，，，中，，所以，解得，，解得，所以，当P与M重合时，在上的投影向量为，此时取得最小值为，当P与N重合时，在上的投影向量为，此时取得最大值为，因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是.故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则与共线C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以，则，即，故A正确；对于B，因为，且设向量夹角为，所以，则，即或，即与共线，故B正确；对于C，因为，所以，则或，故C错误；对于D，因为，当时，，即，当时，由共线向量定理可得，故D正确故选：ABD.10.已知是复数，是虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则的虚部为C.复数在复平面中对应的点所在象限为第二象限D.若复数是纯虚数，则复数的共轭复数为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，则，故，故A正确；

对于B，，则，，其虚部为，故B正确；对于C，，故复数z在复平面中对应的点所在象限为第一象限，故C错误；

对于D，复数是纯虚数，则，解得，故，所以，故D正确．

故选：ABD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.若，则D.在内使的所有的和为〖答案〗AB〖解析〗，，故A正确；当时，，正弦函数在单调递增，故B正确；若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，，故C错误；令，，，在的根分别为：，则有，在内使的所有的和为：，故D错误．故选：AB．12.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（）A.若，则有两解B.周长的最大值为12C.的取值范围为D.的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由正弦定理得，又，所以，角为唯一锐角，有一解，故A错误；对于B，由余弦定理得：，则，所以，所以周长为，所以周长的最大值为12，故B正确；对于C，，因为，则的取值范围为，所以的取值范围为，故C正确；对于D，由正弦定理得，则，则，，因为，所以，因为，所以，则，所以当，即时，取得最大值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，向量，，且，则________．〖答案〗〖解析〗因为向量，，且，则，因为，则，可得，故.故〖答案〗为：.14.如图，为了测量河对岸塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高________．〖答案〗90〖解析〗在三角形中，，，，又，由正弦定理可得：，，解得，又在中，由题意可知：，.故〖答案〗为：.15计算：________．〖答案〗〖解析〗因为，整理得，则，所以，即.故〖答案〗：.16.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗，为单位向量，则，即，，得，令，，，，，，有，由，则，即，得，，即.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的〖解析〗式；（2）将图象上所有点先向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，得到函数，求在上的值域．解：（1）由图形可得，，解得，∵过点，∴，即，∴．又∵，∴，∴．（2）由（1）知，将图像上所有点向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，得到，∵，∴，∴∴，所以的值域为.18.已知，，，．（1）求；（2）求．解：（1）∵，，∴，∴.（2）由（1）知，，又∵，，∴，∵，∴，∴.19.在中，已知，，，点为线段上一动点，设，.（1）当时，试用，表示向量，并求；（2）当取最小时，求与夹角的余弦值.解：（1）∵，∴，∴，∴.（2）设，则，∴，当时，∴，此时，∴，∴，所以与夹角的余弦值为.20.已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，．（1）求；（2）若，求的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理得，又因为，所以，，所以，，即，所以，，又因为，则，所以，，又因为，则，所以，，故.（2）由正弦定理知，则，，所以，，因为为锐角三角形，且，则，解得，所以，，则，所以，，因此，的取值范围是．21.已知向量，．（1）如果且，求的值；（2）令，若，且，，求的大小．解：（1）∵，∴，又∵，∴，∴，∴.（2），∴，∵，∴，，∴，，∴，，∴，有，，∴，∴，又∵，∴.22.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，方案一平行四边形区域为停车场，方案二矩形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点在道路上，点，，在道路上，且米，，设．（1）当点为弧的中点时，求的值；（2）记平行四边形的面积为，矩形的面积为，说明，的大小关系，并求为何值时，停车场面积最大？最大值是多少？解：（1）当点为弧的中点时，，在中，，∴，∴，由正弦定理