江西省多校联考2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试（3月月考）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省多校联考2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试（3月月考）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因不能表示成的形式，故A项错误；同理因也不能表示成的形式，故B项错误；由，而也不能表示成的形式，故C项错误；而，具备的形式，故D项正确.故选：D.2.已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件〖答案〗D〖解析〗由得不到“函数在区间上单调递增”，如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减，故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件；而由“函数在区间上单调递增”可得，则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由.故选：B.4.，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以．故选：A．5.已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三角函数定义可得在第四象限，，解得，故的取值范围是.故选：B.6.函数，的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故选：C.7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题：函数在上单调递增，故，解得：.故选：C.8.鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为的圆（如图2），，，分别为圆周上的点，其中，，现将扇形，分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，先求出弓形的面积为：，则，，故.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗AC〖解析〗依题意，得，所以，当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选：AC10.若点在函数的图象上，且满足，则称是的点.下列选项中的是函数的点的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AC〖解析〗对于A，因，，则符合题意，故A项正确；对于B，因，，则，不符题意，故B项错误；对于C，因，，则，符合题意，故C项正确；对于D项，由，因，，，则，不合题意，故D项错误.故选：AC.11.已知定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（）A.在上单调递减B.C.当时，的最大值为D.函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象〖答案〗ABD〖解析〗由题意及诱导公式可知：，两式相加得，所以，对于A，，由正弦函数的图象与性质可知单调递减，即A正确；对于B，根据诱导公式易知，即B正确；对于C，时，易知，令，由对勾函数的性质可知在时取得最大值，故C错误；对于D，函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2024年3月1日，某蛋糕店共有10位顾客预订生日蛋糕，他们的年龄按预订的顺序依次是6，12，54，30，8，10，18，24，30，32，则这10位顾客年龄的中位数是________.〖答案〗〖解析〗由题意将顾客的年龄从小到大排列：，则中位数为.故〖答案〗为：.13.已知函数具有下列性质：①值域为；②其图象的对称轴为直线，，则的一个〖解析〗式为________.（写出满足条件的一个〖解析〗式即可）〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗可使函数的值域为，且其图象的对称轴为直线即可，故可取(〖答案〗不唯一).故〖答案〗为：(〖答案〗不唯一).14.已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为________.〖答案〗〖解析〗因为，，，所以由，可得，解得，即，如图为的图象，由的周期性，所以只需讨论一个周期内的情况即可，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以，即在一个周期内的部分，由图得时，，，，所以且在定义域内的为，所以数所有“子母数”之和为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在某单位元旦联欢会上，为了活跃气氛，设计了一个游戏环节：在，，三个不透明的盒子中均装有3个黑球和2个白球，这些球形状大小完全相同，每个职工均摸球两次，第一次从盒子中随机摸出两个球，如果摸出的均是白球，则得奖金100元，否则奖金为0元；第二次从，两个盒子中各摸一个球，若两球的颜色相同，则得奖金50元，否则奖金为0元，小明参与了此次游戏.（1）求小明在第一次摸球中得奖金100元的概率；（2）求小明在两次摸球中得奖金150元的概率.解：（1）因盒子中装有3个黑球和2个白球，则从中摸出两个白球得奖金100元的概率为.（2）因小明在两次摸球中得奖金150元是在第一次从盒子中摸出两个白球的前提下，再分别从，两个盒子中各摸到一个颜色相同的球，不妨记“第一次从盒子中摸出两个白球”为事件M，“分别从，两个盒子中各摸到一个颜色相同的球”记为事件N，则小明在两次摸球中得奖金150元的概率即，由（1）可知，而，故由积事件的概率乘法公式，可得：.16.定义域为的奇函数满足，当时，，且.（1）当时，画出函数的图象，并求其单调区间、零点；（2）求函数在区间上的〖解析〗式.解：（1）由题意可知：，所以，即，则时，令，则，综上，作图如下：结合对数函数的单调性与奇函数的性质知的单调递增区间为，无单调递减区间，且其零点有三个，分别为.（2）因为，则，当时，，当时，，当时，，则.17.函数（，，）的部分图象如图.（1）求函数的〖解析〗式；（2）将函数上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.已知函数若函数的零点从左到右依次为，，…，，求的值，并求的值.解：（1）由函数图象可知，，，得，由，得，结合图象可得，，由五点法作图可得，解得，所以.（2）函数上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数的图象，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，函数则的图象如图所示，函数的零点，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标，由图象可知，函数的零点有6个，从左到右依次为，，…，，，由余弦函数的性质结合图象可知，关于对称，关于对称，关于对称，.18.为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数（，）来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少.（1）求出函数的〖解析〗式；（2）腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？解：（1）由题意得，，且，故，故，又，，解得，故函数的〖解析〗式为，.（2）当时，，令，解得或，解得或，结合函数图象及，可得或，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福.19.对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；（2）若，；，，且与具有关系，