2026年中考数学解密之尺规作图

第40页（共40页）2026年中考数学解密之尺规作图一．选择题（共10小题）1．（2025•建平县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，点D在AB边上，AD＝AC＝2，连接CD，在DC，DB上截取DE，DF，使DE＝DF，分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线DG，交BC边于点H，则A．2 B．65 C．1 D．2．（2025•徐汇区模拟）已知线段a、b、c，求作线段x，使x=acb．下列作图方法中（AB∥A． B． C． D．3．（2025•南关区校级模拟）小鹿和小唯玩尺规作图接力游戏，如图，过∠AOB的边OB上一点C作∠BCD＝∠AOB．以下作图步骤：①作射线CD；②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交前面的弧于点D；④以C为圆心，OM的长度为半径作弧，交OB于点P．若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是（）A．② B．②③ C．①③ D．③④4．（2025•道里区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE．若∠CBE＝18°，则∠A．18° B．32° C．36° D．54°5．（2025•湖北模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝2．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，AB于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠CBA内交于点G，作射线BG交DC于点H，则A．1 B．2 C．2.5 D．36．（2025•龙华区二模）如图，在四个相同的4×4正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是（）A． B． C． D．7．（2025•银川校级一模）如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于23CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，则∠A．120° B．130° C．135° D．150°8．（2025•澄迈县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于M、N两点；②分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD的内部交于点P；③连接AP并延长交BC于点E，则A．2 B．2.5 C．3 D．49．（2025•南岗区校级二模）如图，在△ABC内，根据图中的尺规作图得到一点O，若∠BOC＝122°，那么∠BAC＝（）A．61° B．60° C．58° D．64°10．（2025•驻马店三模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝5，BD⊥BC，以点A为圆心，适当长度为半径作弧交BA，AD于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF为半径作弧交于点G，作射线AG交CD于点T．若CT＝CB，则A．52 B．566 C．53二．填空题（共10小题）11．（2025•南山区一模）在平行四边形ABCD中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边AD，CD于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧交于点P；作射线DP交边AB于点E，若∠ADE＝35°，则∠DEB＝12．（2025•南岗区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD的长为2，则点D到AB的最短距离为13．（2025•赤峰模拟）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．14．（2025•宁远县二模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交DC于点E．若AB=BC=3，CE＝1，AD∥BP，则AD的长为15．（2025•谷城县模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；作射线BP，交AD于点E，交CD延长线于点F，则EFBF=16．（2025•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（1，0），交y轴于点B（0，2），以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点F的坐标是17．（2025•海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB＝7，OH＝2，则S△ABH＝18．（2025•沂南县一模）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝18，AC＝10，则ON的长为19．（2025•天津模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接AN．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）在圆上找点M，满足弦AM＝AN，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明）．20．（2025•南明区模拟）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于点D，连接CD交AB于点E，则CE＝三．解答题（共5小题）21．（2025•深圳一模）在矩形ABCD中，连接AC．（1）如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC＝AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC＝AD，连接PB，交AC于点Q，若AB＝6，AD＝8，求AQ的长．22．（2025•惠城区二模）如图，在△ABC中，∠C是钝角．（1）实践与操作：用尺规作图，作AC的垂直平分线交AB于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接DC，若∠A＝44°，∠B＝20°，求∠DCB的大小．23．（2025•崂山区校级三模）已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．24．（2025•雷州市三模）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交BD于点O，交AD，BC于点E，（1）填空：直线MN是BD的；（2）求证：AE＝CF．25．（2025•南关区校级模拟）图①，图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点A、B、C和点D均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中的边BC上找一格点E，连接DE，使∠DEB＝∠B；（2）在图②中的△ABC外部找一个格点F，画四边形BFCD，使该四边形对角互补；（3）在图③中的△ABC外部找一个格点G，画四边形ADCG，使该四边形被对角线DG分得的两个三角形均是等腰三角形．

2026年中考数学解密之尺规作图参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBBDAADCDB一．选择题（共10小题）1．（2025•建平县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，点D在AB边上，AD＝AC＝2，连接CD，在DC，DB上截取DE，DF，使DE＝DF，分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线DG，交BC边于点H，则A．2 B．65 C．1 D．【考点】作图—基本作图；平行线分线段成比例；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】作图题；几何直观．【答案】B【分析】证明△ADC是等边三角形，推出AC∥DH，利用平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵∠A＝60°，AD＝AC＝2，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD＝2，∠A＝∠ADC＝60°，∴∠CDB＝120°，∵DH平分∠CDB，∴∠BDH=12∠CDB＝∴∠A＝∠BDH，∴DH∥AC，∴DHAC∴DH2∴DH=6故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2025•徐汇区模拟）已知线段a、b、c，求作线段x，使x=acb．下列作图方法中（AB∥A． B． C． D．【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．【专题】作图题；几何直观．【答案】B【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论．【解答】解：A、由图可得ax=bcB、由图可得xc=abC、由图可得，图形能画出，故此选项不符合题意；D、由图可得图形能画出，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．3．（2025•南关区校级模拟）小鹿和小唯玩尺规作图接力游戏，如图，过∠AOB的边OB上一点C作∠BCD＝∠AOB．以下作图步骤：①作射线CD；②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交前面的弧于点D；④以C为圆心，OM的长度为半径作弧，交OB于点P．若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是（）A．② B．②③ C．①③ D．③④【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；几何直观．【答案】B【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图可得．【解答】解：正确的作图步骤是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；④以C为圆心，OC的长度为半径作弧，交OB于P．③以P为圆心，MN的长度为半径作弧，交前面的弧于D；①作射线CD；因为小鹿和小唯的尺规作图是接力游戏，按照小鹿一步，小唯一步，小鹿再画一步，小唯再画一步的原则，小鹿应该完成两次操作，所以属于小鹿的作图步骤是②③．故选：B．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．4．（2025•道里区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE．若∠CBE＝18°，则∠A．18° B．32° C．36° D．54°【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【答案】D【分析】利用三角形内角和定理求出∠CEB＝72°，再求出∠EAB，∠ABC，可得结论．【解答】解：∵∠ECB＝90°，∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣18°＝72°，∵DE垂直平分线的AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠CEB＝∠EAB+∠EBA，∴∠EAB=12∠CEB＝∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，∵AD＝DB，∠ACB＝90°，∴DC＝DB＝DA，∴∠BCD＝∠ABC＝54°．故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2025•湖北模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝2．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，AB于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠CBA内交于点G，作射线BG交DC于点H，则A．1 B．2 C．2.5 D．3【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；等腰三角形的判定；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；推理能力．【答案】A【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质求出∠CBH＝∠CHB，进而求出CH＝BC，据此解答．【解答】解：∵BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD＝3，AB∥CD，∴∠CHB＝∠ABH，∴∠CBH＝∠CHB，∴CH＝BC＝2，∴DH＝CD﹣CH＝1．故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，正确求出CH的长是解题的关键．6．（2025•龙华区二模）如图，在四个相同的4×4正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是（）A． B． C． D．【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；几何直观．【答案】A【分析】分别求出CD边上的高判断即可．【解答】解：A、平行四边形ABCD的面积＝6，CD边上的高=6B、平行四边形ABCD的面积＝8，CD边上的高=8C、正方形ABCD，CD边上的高为5，D、平行四边形ABCD的面积＝8，CD边上的高=8∵32故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，正确计算．7．（2025•银川校级一模）如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于23CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，则∠A．120° B．130° C．135° D．150°【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；对顶角、邻补角；平行线的性质．【专题】作图题．【答案】D【分析】依据尺规作图可得OP是∠MON的角平分线，进而可得∠AOB＝∠AOD＝30°，根据平行线的性质，即可得到∠OAB＝∠AOD＝30°，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可得到∠BAP的度数．【解答】解：∵以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于23∴OP是∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠AOB＝∠AOD＝30°，∵过点A作ON的平行线交OM于点B，∴∠OAB＝∠AOD＝30°，∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝120°，∴∠BAP＝∠AOB+∠ABO＝30°+120°＝150°，故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线，平行线以及的三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握相关的角平分线性质是求解本题的关键．8．（2025•澄迈县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于M、N两点；②分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD的内部交于点P；③连接AP并延长交BC于点E，则A．2 B．2.5 C．3 D．4【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；矩形的性质．【专题】作图题；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】过点E作EF⊥AC于点F，根据作图可得AE是∠BAC的角平分线，则EB＝EF，勾股定理求得AC＝10，设BE＝EF＝x，进而根据等面积法即可求解．【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC=A根据作图可得AE是∠BAC的角平分线，∵EF⊥AC，∴EB＝EF，设BE＝EF＝x，∵S△ABE+S△AEC＝S△ABC，∴12∴12解得：x＝3，∴BE＝3，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，作角平分线以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线尺规作图方法．9．（2025•南岗区校级二模）如图，在△ABC内，根据图中的尺规作图得到一点O，若∠BOC＝122°，那么∠BAC＝（）A．61° B．60° C．58° D．64°【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；三角形；推理能力．【答案】D【分析】先由三角形内角和定理求得∠OBC+∠OCB＝58°，再根据三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．【解答】解：由作图可知：OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∵∠BOC＝122°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣122°＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝116°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝64°；故选：D．【点评】本题考查尺规基本作图﹣作角平分线，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握角平分线的定义．10．（2025•驻马店三模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝5，BD⊥BC，以点A为圆心，适当长度为半径作弧交BA，AD于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF为半径作弧交于点G，作射线AG交CD于点T．若CT＝CB，则A．52 B．566 C．53【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】三角形．【答案】B【分析】求出BD=AB2+AD2=52，由作图过程得AT平分∠BAD，推出AT∥BC，得到HT是△BCD的中位线，得到BC=CT=12CD，设BC＝x，则CD＝2x，得到4【解答】解：∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝5，∴BD=A由作图过程得AT平分∠BAD，∴AH⊥BD，BH＝DH，∵BD⊥BC，∴AT∥BC，∴HT是△BCD的中位线，∴T是CD的中点，HT=1∵CT＝CB，∴BC=CT=1设BC＝x，则CD＝2x，∵CD2＝BC2+BD2，∴4x2＝x2+50，解得x=5∴HT=1故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2025•南山区一模）在平行四边形ABCD中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边AD，CD于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧交于点P；作射线DP交边AB于点E，若∠ADE＝35°，则∠DEB＝145°【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质．【专题】作图题；多边形与平行四边形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】角平分线的尺规作图可得∠CDE＝∠ADE＝35°，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，再根据平行线的性质，即可求得答案．【解答】解：由图可知，DP平分∠ADC，由条件可知AB∥CD，∴∠DEB+∠CDE＝180°，∴∠DEB＝180°﹣∠CDE＝145°．故答案为：145°．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．12．（2025•南岗区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD的长为2，则点D到AB的最短距离为2【考点】作图—基本作图；垂线段最短；角平分线的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】2．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可知点D到AB的最短距离为DE，根据作图可得AD为∠CAB的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图：根据作图可知AD为∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE＝2，∴点D到AB的最短距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．13．（2025•赤峰模拟）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．．【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；尺规作图．【答案】见试题解答内容【分析】先根据作图得出OB＝OC＝CD，即△OCD为等边三角形，据此可得∠COD＝60°，再根据圆周角定理知∠DAC=12∠COD＝【解答】解：如图，连接OD、OC，由作图知，OB＝OC＝CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD＝60°，∴∠DAC=12∠COD＝综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．14．（2025•宁远县二模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交DC于点E．若AB=BC=3，CE＝1，AD∥BP，则AD的长为1【考点】作图—基本作图；平行线的性质；角平分线的性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】1．【分析】连接AC，交BP于点F，由题意易得BE=CE2+BC2=2，tan∠CBE=CEBC=33，则有∠CBE＝30°，BF【解答】解：连接AC，交BP于点F，如图所示：∵AB＝BC=3，CE＝1，∠BCD＝90°∴BE=CE2+BC2∴∠CBE＝30°，由作图可知：BP平分∠ABC，∵AB＝BC=3∴BF⊥AC，AF＝CF，∴BF=BC⋅cos∠CBE=3∴EF=BE-BF=1∵AD∥BP，∴△EFC∽△DAC，∴EFAD∴AD＝2EF＝1；故答案为：1．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图是解题的关键．15．（2025•谷城县模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；作射线BP，交AD于点E，交CD延长线于点F，则EFBF=【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；尺规作图；几何直观．【答案】13【分析】由作图过程可知，射线BP为∠ABC的平分线，可得∠ABE＝∠CBE．由平行四边形的性质可得AD＝BC＝3，AD∥BC，进而可得AE＝AB＝2，DE＝AD﹣AE＝1．△DEF∽△CBF，则EFBF【解答】解：由作图过程可知，射线BP为∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝2，∴DE＝AD﹣AE＝1．∵AD∥BC，∴∠FED＝∠FBC，∠FDE＝∠FCB，∴△DEF∽△CBF，∴EFBF故答案为：13【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．（2025•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（1，0），交y轴于点B（0，2），以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点F的坐标是（23，23【考点】作图—基本作图；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】作图题；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（23，2【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据作图步骤确定OE是∠AOB的平分线，联立方程组求出F坐标即可．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+2，将点（1，0）代入解析式可得：k+2＝0，解得k＝﹣2，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，由作图可知OE是∠AOB的平分线，∴直线OE的解析式为y＝x，∴y=-2x+2y=x解得x＝y=2∴点F的坐标是（23，2故答案为：（23，2【点评】本题考查了基本作图、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．17．（2025•海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB＝7，OH＝2，则S△ABH＝7【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；菱形的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】7．【分析】过H作HE⊥AB于E，根据菱形的性质得到AO⊥BD，由作图知，射线AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到HE＝OH＝2，根据三角形面积的公式即可得到结论．【解答】解：过H作HE⊥AB于E，∵在菱形ABCD中，AO⊥BD，由作图知，射线AG平分∠BAC，∴HE＝OH＝2，∴S△ABH=12AB•EH=12故答案为：7．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，菱形的性质，三角形的面积，熟练掌握各知识点是解题的关键．18．（2025•沂南县一模）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝18，AC＝10，则ON的长为【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】尺规作图；几何直观．【答案】4．【分析】由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，AD＝AC＝10，AM为∠CAD的平分线，可得点O为线段BC的中点，点N为线段CD的中点，即ON为△BCD的中位线，则ON=1【解答】解：由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，AD＝AC＝10，AM为∠CAD的平分线，∴点O为线段BC的中点，AN为△ACD的中线，∴点N为线段CD的中点，∴ON为△BCD的中位线，∴ON=1∵AB＝18，AD＝AC＝10，∴BD＝AB﹣AD＝18﹣10＝8，∴ON=1故答案为：4．【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（2025•天津模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接AN．（Ⅰ）线段AC的长等于5；（Ⅱ）在圆上找点M，满足弦AM＝AN，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明）取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．【考点】作图—复杂作图；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心．【专题】作图题；几何直观．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．【分析】（Ⅰ）利用网格特点和勾股定理求解即可；（Ⅱ）取格点P，连接BP与圆相交于点Q，利用对称的性质得到点B的对称点点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，根据对称的性质可知点M即为所求．【解答】解：（Ⅰ）由图知，AC=3故答案为：5．（Ⅱ）所作点M如图所示：取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．故答案为：取格点P，连接BP与圆相交于点Q，连接BN与AC相交于点D，连接QD并延长与圆相交于点M，点M即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理、对称的性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键．20．（2025•南明区模拟）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于点D，连接CD交AB于点E，则CE＝4【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】作图题．【答案】4．【分析】由作图方法可得CD平分∠ACB，则由三线合一定理得到CE⊥AB，【解答】解：由作图方法可得CD垂直平分AB，∵AC＝BC＝5，∴CE⊥AB，∴CE=A故答案为：4．【点评】本题主要考查了勾股定理和三线合一定理，线段垂直平分线的尺规作图，掌握以上性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•深圳一模）在矩形ABCD中，连接AC．（1）如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC＝AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC＝AD，连接PB，交AC于点Q，若AB＝6，AD＝8，求AQ的长．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）作AC的垂直平分线交AD于P，点P即为所求；（2）设PA＝AC＝x，则PD＝8﹣x，由勾股定理可得x=254，证明△APQ∽【解答】解：（1）如图1，即为所作；（2）如图2，∵PD+PC＝AD，PD+PA＝AD，∴PA＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，∵AD＝8，∴AC＝10，设PA＝AC＝x，∴PD＝8﹣x，∴x2＝（8﹣x）2+62，解得x=25∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△APQ∽CBQ，∴APBC∴AQCQ又AQ+CQ＝AC＝10，∴AQ=250【点评】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．22．（2025•惠城区二模）如图，在△ABC中，∠C是钝角．（1）实践与操作：用尺规作图，作AC的垂直平分线交AB于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接DC，若∠A＝44°，∠B＝20°，求∠DCB的大小．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；几何直观；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）72°．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）分别求出∠ACD，∠ACB可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）由作图可知，DA＝DC，∴∠A＝∠DCA＝44°，∵∠B＝20°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝116°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝116°﹣44°＝72°．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．23．（2025•崂山区校级三模）已知：∠MAN和线段a．求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．【专题】作图题．【答案】见试题解答内容【分析】先作∠MAN的平分线，在角平分线上截取AC＝a，再作AC的垂直平分线交AM于B，交AN于D，则四边形ABCD为菱形．【解答】解：如图，四边形ABCD为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．（2025•雷州市三模）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交BD于点O，交AD，BC于点E，（1）填空：直线MN是BD的垂直平分线；（2）求证：AE＝CF．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）垂直平分线；（2）见解析．【分析】（1）由作图方法可得直线MN是BD的垂直平分线；（2）由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF，再由（1）可得OE＝OF，据此证明△EOD≌△FOB（AAS），得到BF＝DE，则可证明结论．【解答】（1）解：由作图方法可得直线MN是BD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：由条件可知AD＝BC，AD∥BC，∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF，∵MN是BD的垂直平分线，∴OE＝OF，∴△EOD≌△FOB（AAS），∴BF＝DE，∴AD﹣DE＝BC﹣CF，∴AE＝CF．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．25．（2025•南关区校级模拟）图①，图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点A、B、C和点D均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中的边BC上找一格点E，连接DE，使∠DEB＝∠B；（2）在图②中的△ABC外部找一个格点F，画四边形BFCD，使该四边形对角互补；（3）在图③中的△ABC外部找一个格点G，画四边形ADCG，使该四边形被对角线DG分得的两个三角形均是等腰三角形．【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．【答案】（1）如图①，点E为所求；（2）如图②，四边形BFCD即为所求；（3）如图③，四边形ADCG即为所求．【分析】（1）如图，取格点E，连接DE，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到∠DEB＝∠B；（2）根据网格特征得出∠DBF＝∠DCF＝90°，从而求解；（3）根据网格特征得出AD=AD=12+22=5，DG=CG=【解答】解：（1）在图①中的边BC上找一格点E，连接DE，使∠DEB＝∠B，如图①，点E为所求；（2）如图②，四边形BFCD即为所求；根据网格可知：∠DBF＝∠DCF＝90°，∴∠BDC+∠BFC＝∠DBF+∠DCF＝180°，∴四边形BFCD即为所求；（3）如图③，四边形ADCG即为所求，根据网格可知，AD=AG=12+∴△ADG，△CDG是等腰三角形，∴四边形ADCG即为所求．【点评】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键．

考点卡片1．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．2．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．3．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．4．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．5．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．6．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．7．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE8．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．9．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．10．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．11．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．12．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．13．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．14．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半