辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高三第二次质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高三第二次质量监测数学试题一、单项选择题1.已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C.1 D.4〖答案〗D〖解析〗由题意得为纯虚数，所以，解得，故D正确.故选：D.2.已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆的圆心为，半径为.则圆心到直线：的距离为：.所以圆上的点到直线：距离的最大值为：.故选：C.3.已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量在向量上投影向量为，所以得，又因为，所以，故C正确.故选：C.4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，，，则与的位置关系不能确定；若，因为，所以，又，所以成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，则，且，，相互独立，设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，则，设乙没有达优秀等级为事件，则，所以.故选：B.6.数列的通项公式为，则（）A. B. C.5 D.8〖答案〗C〖解析〗因所以.故选：C.7.校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（）人．附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中，．A.20 B.30 C.35 D.40〖答案〗A〖解析〗设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选生物学的人数为，则，即，又为的倍数，故男生最少有人.故选：A.8.已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗,则，所以，整理得，因为，均为锐角，且，即，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以取得最大值时，的值为.故选：D.二、多项选择题9.已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有（）A.当时，的取值范围是B.当时，的取值范围是C.当时，的取值范围是D.当时，的取值范围是〖答案〗AD〖解析〗根据题意，易知，即，因此.当时，，因为，所以，又因为函数在上是单调函数，所以，解得，故A正确，C错误；当时，，因为，所以，又因为函数在上是单调函数，所以，解得，故B错误，D正确.故选：AD.10.如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是棱的中点，点M满足，其中，则下列结论正确的是（）A.过M，E，F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形B.三棱锥的体积为定值C.当时，平面MEFD.当时，三棱锥外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗当时，点与点重合时，过M，E，F三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形，如图：故A正确；对于B，因为可得点是线段上的一个动点，又因为正方体中,平面平面平面，故平面，所以点到平面的距离为定值，而,所以三棱锥是定值,又因为，故三棱锥的体积为定值，B正确；当时，点为中点，因为，而平面MEF，所以与平面MEF不平行，C错误；当时，点与点重合，为等腰直角三角形，则的外接圆半径为，又因为平面，所以三棱锥外接球的半径，则，所以外接球表面积为，D正确.故选：ABD.11.在平面直角坐标系中,定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（）A.的最小值为2 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗对A：设，则（当且仅当时取“”）.故A错；对B：设，则.则，故B对；对C：设，，则（当且仅当，时取“”）.故C对；对D：设，，则（当且仅当时取“”）.故D正确.故选：BCD三、填空题12.已知圆锥的底面半径为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为______．〖答案〗〖解析〗已知圆锥的底面半径，圆锥母线与底面所成的角为，所以圆锥的母线长为，所以该圆锥的表面积为.故〖答案〗为：13.的极大值为______．〖答案〗〖解析〗，当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故有极大值.故〖答案〗为：.14.已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为______．〖答案〗〖解析〗如图：因为轴，且在双曲线上，所以，又，所以为中点.因为最大，所以经过，两点的圆与相切于，此时点坐标为，圆心，由.故〖答案〗为：四、解答题15.鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数（赋分后学生的分数全部介于30至100之间）．某校为做好本次考试的评价工作，从本校学生中随机抽取了50名学生的化学等级分数，经统计，将分数按照，，，，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生分数的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望．解：（1）由.又∵，.所以，估计这50名学生分数的中位数为：.（2）因为，，三组的频率之比为所以从，，三组中抽取的人数分别为7，3，1.由题意可取0，1，2，3且；；；.所以的分布列为：0123所以.16.如图1，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到位置,且，得到如图2所示的四棱锥．（1）求证；平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）证明：在中，，，由余弦定理可得，所以，又因为，所以为正三角形，设的中点为，连接，可得，又由，可得，且平面，，所以平面，因为平面，所以，在中，可得，在中，可得，又因为，可得，所以，因为平面，且，所以平面.（2）解：因为，所以，又由平面，且平面，所以，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，，设平面法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面与平面所成的角为，由图象可得为锐角，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．17.已知函数，．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值；（2）讨论函数的单调性．解：（1）依题意，，则，因为在处的切线与轴垂直，所以，解得；（2）由（1）知，当时，由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间，当时，分以下三种情况：若，则在定义域内恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，综上所述，当时，在区间单调递增，在区间单调递减；当时，在区间单调递增，无递减区间；当时，在区间单调递增，在区间单调递减；当时，在区间单调递增，在区间单调递减.18.焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为．（1）求的值；（2）若的面积为1，求和的值；（3）在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值．解：（1）因为，所以三点共线，则必有点和点关于点对称，所以，设直线和直线的斜率分别为，，因为点为椭圆的左顶点，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，即；（2）设过两点直线为，当直线的斜率不存在时，两点关于对称，所以，，因为在椭圆上，所以，又，所以，即，结合可得，此时，，所以；当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立，消去得，其中①，所以，所以因为到直线的距离，所以，所以，整理的，符合①式，此时，；（3）因为，所以，即，当且仅当时等号成立，此时为直角三角形且为直角，故，解得，从而，此时等号可成立.所以的最大值为.19.设数列的前项和为，已知，且．（1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．解：（1）当时，，又，所以，当时