上海市长宁区2024届高三下学期二模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市长宁区2024届高三下学期二模数学试卷一、填空题1.已知集合，且，则______．〖答案〗2〖解析〗∵，且，∴集合A里面元素均可在集合B里面找到，∴a=2．故〖答案〗为：22.不等式的解集为________.〖答案〗〖解析〗∵，∴不等式的解集为.故〖答案〗为：.3.在的展开式中的系数为_______．〖答案〗〖解析〗由二项式定理可知，的展开式的通项为，令，解得，所以，所以二项式的展开式中含项的系数为.故〖答案〗为：.4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_____________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，所以.5.已知，则________.〖答案〗1〖解析〗由可知，，所以.故〖答案〗为：6.直线与直线的夹角大小为_______．〖答案〗〖解析〗设直线与直线的倾斜角分别为，则，且，所以，因为，所以，即两条直线的夹角为，故〖答案〗为：.7.收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）〖答案〗无关〖解析〗零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故〖答案〗为：无关8.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为_______．〖答案〗或〖解析〗因为函数是定义域为的奇函数，所以，当时，，当时，，所以，所以，若，当时，可得，解得，当时，可得，解得，当时，可得，显然不成立，故的取值范围为或.故〖答案〗为：或.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要_______平方米铁皮〖答案〗〖解析〗设圆柱形容器的底面半径为，高为，所以圆柱形容器的体积为，所以，所以圆柱形容器的表面积为：,当且仅当，又，即时等号成立，故至少需要平方米铁皮.故〖答案〗为：.10.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为_______．〖答案〗〖解析〗如图所示：过点作于点，显然抛物线的焦点为，准线为，由抛物线定义有，结合得，而，所以.故〖答案〗为：.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t（单）783182258338油费s（元）107150110264110376平均每单里程k（公里）151515平均每公里油费a（元）0.70.70.7出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01）〖答案〗〖解析〗依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为，所以出租车空驶率，对于甲，，满足题意；对于乙，，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为，即.故〖答案〗为：.12.已知平面向量满足：，若，则的最小值为_______．〖答案〗2〖解析〗由于，且，故有，所以，记，则有，从而或，即或.总之有，故，即.存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2.故〖答案〗为：2.得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题13.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗设，则，由可得，所以，充分性成立，当时，即，则，满足，故“”是“”的充要条件.故选：C.14.已知直线和平面，则下列判断中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗A：若，则两直线平行或异面或相交，故A错误；B：若，当直线在平面内时，则直线不平行于平面，故B错误；C：若，设过的平面与相交于，则，又因为，，所以，所以，所以，故C正确；D：若，则或或，故D错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（）A.65 B.70 C.75 D.80〖答案〗D〖解析〗将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：、、、、、、、，因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，一共有8个数，所以比大的数有两个，则，对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意；对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意；对于C，因为，所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意；对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意.故选：D.16.设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质：①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假〖答案〗B〖解析〗一方面，对，知是等差数列.而，令就有，所以具有性质，这表明存在等差数列具有性质；另一方面，对，知是等比数列.当为奇数时，；为偶数时，.故当为奇数时，；为偶数时，.故当为奇数时，；为偶数时，.这表明恒成立，再令就有，所以具有性质，这表明存在等比数列具有性质.综上，①正确，②错误，故B正确.故选：B.三、解答题17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0010（1）请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的〖解析〗式；（2）设，求函数的值域；解：（1）由题意，解得，所以函数的〖解析〗式为，令时，解得，当时，，将表中处的数据补充完整如下表：00100（2）若，则，因为，所以，进而，所以函数的值域为.18.如图，在长方体中，；（1）求二面角的大小；（2）若点在直线上，求证：直线平面；（1）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，因为，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为所以，所以二面角的大小为.（2）证明：设，则设，，所以，所以，平面的法向量为，，因为平面，所以直线平面.19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差；解：（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为，所有第二次取出的球是红球的概率为；（2）的所有可能取值为0，1，2，，所以的分布为，它的期望为，它的方差为.20.已知椭圆为坐标原点；（1）求的离心率；（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；解：（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，则，则，所以.（2）依题意，设，则，，故，则，所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为.（3）设，又，易得，则直线为，即，而，，，联立，消去，得则，得，所以，故，所以，故存在，使得恒成立.21.设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}；（1）求函数的上确界；（2）若，求的最大值；（3）设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0；（1）解：因为函数在区间上严格递减，所以函数的值域为，所以函数上确界为2.（2）解：，