四川省内江市2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省内江市2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定的〖答案〗B〖解析〗不妨设中，，，因为，则，由余弦定理可得，又，所以为钝角，故该三角形为钝角三角形.故选：B.3.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，又，所以，所以在上的投影向量为.故选：A.4.已知函数，则“”是“的最小正周期为”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，则的最小正周期，故充分性成立；若的最小正周期为，即，解得，故必要性不成立；所以“”是“的最小正周期为”充分不必要条件.故选：B.5.折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知，，若之间的弧长为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，在中，，所以，得到.故选：D.6.已知，函数，，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，且，，即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴，所以，解得，又，所以当时取得最小值.故选：B.7.如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不含端点），若，则（）A. B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗如图：点A，C在一次函数的图象上，设，则，，，解得（舍去），所以，，.故选：B.8.如图，为了测量两山顶间距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米〖答案〗D〖解析〗因为，，可得是等边三角形，千米，记直线与直线的交点为，，所以为的中点，所以为等腰三角形，，又，所以千米.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知点，，，则下列结论正确的是（）A.是直角三角形B.若点，则四边形是平行四边形C.若，则D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗，，所以，，是直角三角形，A正确；若点，则，，四边形是平行四边形，B正确；若，则，C错误；若，则是中点，，D正确.故选：ABD．10.已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（）A.若复数满足，且，则B若复数满足，则C.若，则D.若复数，满足，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，令，a，，则，因为，且，所以，则，故，故A正确；对于B选项，令，则由，得，所以，故B正确；对于C选项，令，，此时，，，故C错误；对于D选项，令，，则，所以，，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，则（）A.B.的图象关于点对称C.在上的最大值为3D.将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称〖答案〗BCD〖解析〗，因为，所以A错误；因为，所以的图象关于点对称，B正确；若，则，所以，因为函数在上单调递增，所以，C正确；，则，且定义域关于原点对称，所以为偶函数，其图象关于轴对称，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，且与共线，所以，即，又，是两个不共线的单位向量，所以，解得.故〖答案〗为：.13.如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为，，四边形的面积为，则______．〖答案〗〖解析〗连接、，因为圆的半径为，，则是等边三角形，所以，四边形的面积，解得，因为，所以，则，所以是等边三角形，所以.故〖答案〗为：.14.若，，均为单位向量，且，的取值范围是，则______，的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题可知：，因为，所以，因为，不妨设，则，因为的取值范围是，得到，所以的取值范围是，又因为，当时，；当时，，综上，的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值时x的取值集合．解：（1），所以的最小正周期．（2），则函数最大值为0，当取得最大值时，，即，所以的最大值为0，取得最大值时的取值集合为16.已知向量，．（1）若，求；（2）若，，求与的夹角的余弦值．解：（1）由题意，因为，则，得，则，所以.（2）由已知，又，，所以，得，则，故．17.的内角，，的对边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．解：（1）依题意，，在中，由正弦定理得，因此，而，则，又，所以.（2）由的面积为，得，解得，由余弦定理得，而，则，解得，，所以的周长为.18.在平行四边形中，，，，是线段的中点，，．（1）若，与交于点，，求的值；（2）求的最小值．解：（1）当时，即为中点，因为、、三点共线，设，则，因为、、三点共线，设，则，又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得，所以，又，则，所以.（2）因为，，所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.19.若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，．（1）若函数，，判断与是否具有关系，并说明理由；（2）若函数，，且与具有关系，求a的最大值；（3）若函数，，且与具有关系，求m的取值范围．解：（1）与是否具有关系，理由如下：时，，故，，又在的值域为，由于，即是的真子集，故对任意的，存在，使得，与是否具有关系.（2）时，，由题意得，任意的，存在，使得，又，，