高中数学必修四全部学案

基本初等函数

1»lo1角的概念的推广

一、复习：

角的概念：(1)在初中我们把有公共顶点的组成的叫做角，这个公共顶点叫做角

的—，这两条射线叫做角的»

(2)角可以看成是一条射线绕着它的从一个位置旋转到另一个位置所成

的o

二、自主学习：自学鸟一尸5,回答：

1。正角、负角、零角：

一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和方向，习惯上规定：按

照方向旋转而成的角为正角；按照方向旋转而成的角为负角，当射线没有—

时为零角。

注意：(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的和旋转的,旋转生成的

角，又常叫做—角。

(2)引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即a—B可以化

为,这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的。

2.终边相同的角：设a表示任意角，所有与a终边相同的角以及a本身组成一个集合，这个集合可记

为S=o

终边相同的角有个，相等的角终边一定,但终边相同的角不一定o

3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与_____重合，角的始边与________重合，角的

终边在第几象限,就把这个角叫做,如果终边在坐标轴上,就认为这个角—属

于任何象限。

三、典型例题：

1。自学心、己例1、例2、例4完成练习A

2。自学△例3完成下面填空：

终边落在x轴正半轴上角的集合表示为

终边落在x轴负半轴上角的集合表示为

终边落在x轴上角的集合表示为_______________________________

终边落在y轴正半轴上角的集合表示为

终边落在y轴负半轴上角的集合表示为

终边落在坐标轴上角的集合表示为_________________________________

.第一象限角的集合表示为_________________________________________

第二象限角的集合表示为_________________________________________

第三象限角的集合表示为______________________________________

第四象限角的集合表示为______________________________________

3,补充例题：

例5。已知a是第一象限的角，判断巴、2a分别是第几象限角？

2

练习：鸟练习B2、3、5

4。小结:

5。作业:

1.在“①160°②480°③—960°（4）-1600°”这四个角中属于第二象限角的是（）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

2.下列命题中正确的是（）

A.终边相同的角都相等B.第一象限的角比第二象限的角小

C.第一象限角都是锐角D.锐角都是第一象限角

3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由0B位置顺时针旋转270°到达OC位置,

则NAOC=()

A.150"B.-1500C.3900D.-3900

4.如果a的终边上有一个点P（0,-3）,那么a是（）

A.第三象限角B.第四象限角C.第三或四象限角D.不属于任何象限角

5.与405°角终边相同的角（）

A.k・360°-45°k£zB.k•360°-405°kGz

C.k•360°+45°k£zD.k•180°+45°kez

已知a是第三象限角，则2所在象限是（）

6.（2005年全国卷m）

2

A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限

7.把一1050。表示成k・360°+0（kGz）的形式，使网最小的。值是.

8.（2005年上海抽查）已知角a终边与120°终边关于y轴对称,

150°、

则a的集合S=1-30°

9.已知B终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）,

那么BC

lOo在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们是哪个象限角:

①一45。②760°③―480°

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

一、复习：(1)1度角是指把圆周等份，其中每一份所对的圆心角的度数。这种用—来度量角

的制度叫角度制。

(2)设圆心角为〃。的圆弧长为/,圆的半径为r,贝lJ/=；-=o

r

二、自主学习：自学课本外-巴回答：

1«1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角。这种用来度量角的制度叫弧度制。

弧度记作。

2。圆心角或弧长公式：在半径为r的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为arad,

贝oc=；/=o

3o角度与弧度的换算：

360°=____rad；180°=_rad；10=radgrad；n°=rad

Irad—〜=；arad=

4.完成下面的填空：

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度

度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度

5o角的集合与实数集R之间是对应关系。

6.设扇形的圆心角是arad,弧长为/,半径为r,

则扇形面积公式S==

三、典型例题：自学课本?-4例1-例5完成练习A、B

四、小结:

五、作业:

lo120°等于（）rad

不等于()

A»30°B,60°Co120°Do150°

3.a=-2rad,则a终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）

1c刀■—5兀一5兀

A.1B.—C.—或一KD.—或—

26633

5.扇形圆心角为石，半径为R,则扇形内切圆面积与扇形面积之比（）

3

A.1：3B.2：3C,4：3D,4：9

6o240°=rad;——=度；225°=rad;—=度。

38

7.一个扇形弧长为5cm,面积为5cm2,则这个扇形圆心角的弧度数

8.在1小时15分时，时针和分针所成最小正角是弧度。

1。1任意角的概念及弧度制习题课

一、复习：

lo正角、负角、零角的概念2。与a终边相同的角如何表示？

3。象限角是如何定义的？

4o用弧度表示

终边落在x轴上的角的集合表示为

终边落在y轴上的角的集合表示为

终边落在坐标轴上的角的集合表示为

5。用弧度表示

终边落在第一象限的角的集合表示为

终边落在第二象限的角的集合表示为

终边落在第三象限的角的集合表示为

终边落在第四象限的角的集合表示为

6o3600=rad；10=rad®rad；7T=度；n°=rad

lrad===；arad=

7.设扇形的圆心角是arad,弧长为/,半径为r,

则/=;扇形面积公式S==

二、典型例题：

例1。已知a=1680°

（1）把a改写成k・360°+B（k£z,0°式6<360°）的形式。

(2)把a改写成B+2kn(kGz,0WBV2n)的形式。

(3)求e,使e与a终边相同且一360°<e<360°并判断6属第几象限。

TF37r

例2.若集合A=4a2A〃+—〈a〈2*〃+—,kGZ>,

42

-{a{2k7r,keZ

求ADB；AUB

例3如图扇形AOB的面积为4cm匕周长为10cm,求AB弧的长及扇形中心角a

三、练习：尸12习题LIA、B

补充：

1.已知下列各角①787。②-957°③-289°@1711°,其中在第一象限的角是()

A.@@B.②③C.®®D.②④

2.已知集合M=｛第一象限角｝,N=｛锐角｝P,=(小于90°的角},则下列关系式中正确的是

()

A.M=N=PB.M^PC.MnP=ND.NUPcP

3.下列各组两个角中，终边不相同的一组角是()

A.-43°与677°B.9OO0与一1260°C.150°与630°D.-1200与960°

k元,71,—

4.设集合M=〈aa=——,ksZ>24aa=k兀+—,k£Z\

24

kjr

N=〃/?=丝,keZ,则集合M与N关系是（)

4

A.M^NB.MgNC.M=ND.MCN=。

5.下列诸命题中，假命题是（）

A.“度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位

B.一度的角是周角的一匚，一弧度的角是周角的‘

3602%

C.根据弧度定义，180°一定等于“弧度

D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关

6.三角形三个内角之比为2：5：8则各角的弧度数分别为

7。终边在直线y=V3x上的角表示为o

8。将下列各角化成2kn+a（kGz,0<aV2兀）的形式，并确定其所在象限

~31

①人②-----71

6

四、小结:

五、作业:

1.若a、8终边相同，则a—6的终边在（）

A.X轴正半轴B.y轴正半轴C.X轴负半轴D.y轴负半轴

2.已知a是第四象限角，则区是（）

2

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第二或第四象限角

TTTT

3,.若一一VaVBV—,则a-B的范围是（）

22

7tcA

A.一nVa—B<0B.一—Va—BVO

2

兀cc兀

C.——<a—p<JID.一五Va—BV一

22

4.终边在直线y=x上的角的集合为(

,71.

a=kK—,keZ\B.<aa=k〃+—,keZ\

44

a-2k兀+—，kGZ>ococ—2k兀4-------,keZ>

44

八r.k.TV兀.r

5.集口M=《aa=----------,keZ\,N={a|-»〈a〈％},则MCN等于（

25

6.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（

B.-

2

7.扇形的圆心角为72°,半径为5cm,圆心角=rad;它的弧长为;

面积为。

8.与一496°终边相同的角是；它是第象限角，它们中最小正角是,

最大负角是。

7F

9.（2005吉林调研）如图动点P、Q从点A（4,0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转一

3

7T

弧度。点Q按顺时针方向每秒钟转二弧度，则P、Q第一次相遇时P、Q点各自走过的弧度

121任意角的三角函数

一、复习：锐角三角函数的定义：

如图：设P（x,y）是角a终边上不同于原点的任意一点，PM_Lx轴，IOPI=r,

当（X为锐角时sina=;cosa-;tana=.

y

二、自主学习：自学《4・。完成下面的填空:

1。三角函数的定义：设P(x,y)是角a终边上不同于原点的任意一点，|0P|=r,(r=J/+y2,

r>0)

贝(I：sina-;cosa-;tana-.

seca=；csca=；cota=.

思考：三角函数是函数吗？

2.三角函数的定义域：完成下表

三角函数定义域

sina

cosa

tana

3o三角函数符号：

sina=2;若y>0,JjJlJsina_0;此时a的终边在第象限或第一象限

r

或在±；

若yV0,则sina0；此时a的终边在第一象限或第一象限

或在__________上.

若y=0,则sina_0;此时a的终边在轴上。

Y

cosa=-；若x>0,贝Ucosa_0;此时a的终边在第象限或第一象限

r

或在上；

若x<0,则cosa0;此时a的终边在第一象限或第一象限

或在上.

若x=0,则cosa0；此时a的终边在轴上。

tana=2,若x、y号，贝IJtana>0,此时a的终边在第象限或第象限

X

若x、y号，则tana<0.此时a的终边在第象限或第象限

若y=0,贝IJtana_0；此时a的终边在轴上。

若x=0,则tana不存在，此时a的终边在_____轴上。

记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”

三、典型例题：

1»自学七例1、例2,完成尸°练习A1、2、3题

2。自学片7例3、例4,完成尸18练习A4题、练习B

3。补充：

例：已知角9的终边落在直线y=3x上，求sin。、cos0和tan。的值。

四、小结:

五、作业:

1.已知a的终边过点P(4,一3),则下面各式中正确的是()

3433

A.sina=—B.cosa=--C.tana=--D.cota="—

5544

34

2.若角a的终边上有一点P)(©0),则sina•tana的值是()

,16„1615、15

A.—B.——C.—D.——

15151616

3•已知角a的终边经过点P(a,b),其中a<0,bVO,在a的六个三角函数中，符号为正的是()

A.sina与escaB.cosa与secaC.tana与cotaD.seca与esca

4.若角a的终边与直线y=3x重合，且sinaVO,又P(m,n)是a终边上一点，且|OP|=V10,

贝ijm—n=()

A.2B.-2C.4D.-4

3

5•已知点P(3,y)在角a的终边上，且满足yVO,cosa=—,则tana的值为()

34-34

A.--B.-C.-D.~-

4343

6若sin9cos。>0,则。在第象限。

7.若Vcos2X=COSX,则X的取值范围是o

8.已知f(x)=rCOS31X(X<1)j4

Lf(x-l)-i(x>l)贝IJf(-)+f(-)=

cp-sinx|cosx|tanx|cot耳底心曰

J1J1

9.函数y=1——r+--+;----r+-----值域是____________

|sinx|cosx|tanx|cotx

.兀.3〃石

10.5sin—+2cos0+4tan0-3sin——+10cos7t-2tan7t=.

22-------

11.已知。角的终边上一点P(x,3)(xWO),且cos0=^Ox.

10

求sin9,tan6

lo2o2单位圆与三角函数线

一、复习：II

lo什么是向量？数轴上向量的坐标或数量是如何定义的？。A

如图：A(x)是数轴上一点，则方的坐标OA=；而的坐标AO=

2。设P(x,y)是角a终边上不同于原点的任意一点，IOPI=r,(r=-Jx2+y2,r>0)

贝！I：sina=;cosa-;tana=.

当r=l时sina=;cosa=。

~."71.

3.sin—=;cos—=;sin〃=;cos"=;tan»=;

22

4。三角函数在各象限的符号如何？

二、自主学习：自学220完成下面的填空:

lo单位圆：半径为的圆叫单位圆。

2o正射影：如图示：单位圆的圆心在坐标原点O,设角a的顶点在圆心O,始边与X轴的正半

轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)过点P作PM_Lx轴于点M,作PN_Ly轴

于点N,则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的(简称)

(1)(2)

由三角函数定义可知：sin<2=;cosa=o

又r=L所以sina=;cos（X=.

即P点的坐标为（，）,其中OM=；ON=»

由此可得：角a的余弦和正弦分别等于角a终边与单位圆交点的—坐标和—坐标。

3。三角函数线：

在上面图2中，向量______、、分别叫做角a的余弦线、正弦线和正切线。

71

思考：当a=x（rad）且0<x<—,贝Ua、sina、tana的大小关系是__________________。

2

三、典型例题：

1«自学220例，完成练习A、B

2。补充

例1。在单位圆中画出适合下列条件的角a终边的范围，并由此写出角a的集合:

731

（1）sina》---；（2）cosaW-----.

22

四、小结:

五、作业:

1.已知角a的正弦线的长度为单位长度,那么角a的终边（）

A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=-x上

2.下列判断中错误的是（）

A.a一定时，单位圆中的正弦线一定B.单位圆中，有相同正弦线的角相等

C.a和a+n具有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上

3.角a（0<a<2n）的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么a的值为（）

万—3万B.至或必日乃一5万

A.一或——C.一或一D.一或一

44444444

,〃5不

4.已知xG（一,）>则sinx与cosx的大小关系是（）

44

A.sinx》cosxB.sinx<cosxC.sinx>cosxD.sinx<cosx

5.若2sin6=-3cos。，则。的终边可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限

6.如图所，NPOx的正弦线为,

余弦线为，正切线为

7.设M=<esinON—，且[0,TT]>,

N=<6cos64—,且[0,7t\>,且MDN=,

8.在各坐标系内分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.

(1)-；(2)-7Tt(3)3兀;(4)-71.

3643

9.利用三角函数线解答下列各题：

(1)已知aG[0,2n),且tana>sina,求a角的范围。

/y/y

(2)已知aW[0,2n),且sin—Vcos—,求a角的范围。

22

10.利用三角函数线证明卜ina|+|cosa|>1.

Io2。3同角三角函数的基本关系式

一、复习：

倒数关系：sinaesca=____________cosaseca=____________tanacota=

二、自主学习：利用学过的知识推导:一

lo平方关系：sin'+cosk2«商数关系；si"*=

COSX

三、典型例题：

lo求值问题：

(1)自学生例1、例2、例3完成七练习A。1

(2)思考：若把例1中“a是第二象限的角”去掉，该题如何求解？

练习：尸25练习B。1

(3)“1”的妙用：

例：已知tana=3,求下列各式的值。

⑴3sina+cosa

2sina+3cosa

(2)sin2a-2sinacosa+1.

练习：尸25练习B。2

2o化简：自学&例4、例5

注意：化简时尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化为同角、同名,

尽量化成最简形式等。

练习：&练习A»2>4B.3

3.证明：自学与3例6。完成己5练习A。3,练习B4、5

四、小结：

五、作业；

3

1.已知cosa=-g,aW(0,n)则tana等于()

2.若8e(0,2n),且Jl-cos?夕+Jl-sin2£=sin夕-cos夕,则B的取值范围是()

A.[0,-)B.[-,£]C.[n,—)D,[—,2n)

2222

r皿cosxsinxtanx、

3。函数y=.,+/,+的值域是(z)

VI-sin2xVl-cos2xvtan2x

A.{3,-1}B.{1,3}C.{-3,-1,1}D.{-1,1,3}

—342l72

4O5•已知sin0=----,cos0=--------，贝!jm()

〃？+5m+5

A.可取[—■,9]中的一切值B.等于。

3

C.等于8D.等于0或8

5.tan0=2,那么，1+sin9cos0=()

6.sin9+cos0=_1HU(sin。)2006+(cos0)2006=

7.已知sina=—且tanaVO,贝（Jcosa=.

8.化简sin2a+sin2B—sin2asin2B+cos2acos2B=«

3

9o已知sina=—,求cosa、tana的值.

10。已知sina+cosa=L且0°<a<180°,求tana的值.

5

11o已知tai?a=2tai?B+1,求证：sin26=2sin2a-1.

12.化简

TT1+sina，一sina

①若会〈a〈万，化简

l-sina\l+sina

1-cosa+/1+cosa

②若苗〈。〈24，化简

1+cosav1-cosx

1.2.4诱导公式(一)

一、复习：与。终边相同的角为o

二、自主学习：

1。思考：

(1)a终边与.a终边关于对称。

(2)a终边与a+(2Z+l)»,(keZ)的终边互为

(3)设a终边与单位圆的交点为P,则P(,)

若-a终边、a+(2Z:+l)〃，(k£Z)的终边与单位圆分别角于巴、生两点,

则P与片关于对称，因此片(,)

P与己关于对称，因此8(，)

2„诱导公式：

(1)角a与&+14・211(1€€2)的三角函数间的关系

cos(a+k•2n)=；sin(a+k•2n)=；tan(a+k,2Jt)=

由三角函数定义可知：

P、(cos(-a),sin(-a)),P2(cos(a+(2Z+1)不)，sin(a+(2k+1)万))

又由上面思考3可得：

(2)角a与一a的三角函数间的关系

cos(-a)=；sin(-a)=；tan(-a)=.

(3)角a与a+(2k+l)Jt(kCZ)

cos[a+(2k+l)Ji]=；sin[a+(2k+l)n]=；tan[a+(2k+l)"]=

三、典型例题：

1«自学尸26、87例1、例2完成尸27练习A、B

2。自学户29例3、例4、例5完成Ao练习A、B

3。证明：sin(-a)=sina;cos(7C-a)=-cosa；tan(-a)=-tana

四、小结:

五、作业:

1.tan600°的值是()

V3

B.C.-V3D.V3

2.对于aGR,下列等式中恒成立的是()

A.sin(2n-a)=sinaB.cos(-a)=-cosa

C.cos(兀・a)=cos(2n+a)D.tan(n+a)=tan(2九+a)

3.sin2(冗+a)-cos(n+a)cos(-a)+1的值是()

A.lB.2sin2aC.OD.2

TT

且aW(-—,0),则cos(Ji+a)的值为()

2

V5V5

----nB.-----D.以上都不对

33

5.J1+2sin（。-3）cos（乃+3）化简的结果是（）

A.sin3-cos3B.cos3-sin3C.±(sin3-cos3)D.以上都不对

,sin(a—3%)+cos(万一a)/、

6.tan(5n+a)=m,则-----------------------=()

sin(-a)-cos(4+a)

m-1m+1

cot(4万+a)・cos(a+%)•sin2(3^+a)

7•若a二则a2+a+l的值等于（)

tan(^+a)cos3(-a-万)

A.1B.sin2aC.cos2aD.3

田4%25〃54、

8•计算sin——cos------tan(z-------)=______________.

364

CSinnx(x<0)/cosnx(x<-)

9.设f(x)=j和g(x)=<2

lf(x-l)+l,(x20)lg(x-l)+l,(x^-)

1153

则g(—)+f(-)+g(-)+f(-)的值为__________.

4364

10求下列三角函数式的值.

（1）sin495°•cos（-675°）；

(2)百sin(-1200°)-cot-cos5850-tan(-~.兀).

sin②(a+")cos(»+a)cot(-a-2万)

11.化简

tan(乃-a)cos3(-a-乃)

12.已知sin(a+at)=—且sinacosa<0

„2sin(a—4)+3tan(37r-a)

求--------------------------

4cos(a—3%)

1.2.4诱导公式（二）

一、复习：

lo完成下面填空：

sin30°=____；cos30°=____；tan30°=_____

sin45°=__；cos45°=__；tan45°=_____o

sin60°=__；cos600=__；tan60°=_o

2O公式一：cos(a+k•2n)=___•sin(a+k-2n)=____；tan(a+k•2n)=___.

3o公式二：cos(-a)=；sin(-a)=_____；tan(-a)=.

4o公式三：

cos[a+(2k+l)兀]=；sin[a+(2k+l)n]=；tan[a+(2k+l)冗]=。(k£Z)

5。根据公式三完成下面填空：

sin(n+a)=；cos(n+a)=；tan(n+a)=o

sin(n-a)=；cos(n-a)=；tsn(n-a)=。

二、自主学习：自学P31完成下面填空：

La与a+7£T的三角关系

2

71兀，兀

sin(a+—)=；cos(a+—)=；tan(a+—)=o

222

TT

2.a与生・a的三角关系

2

717VK

sin(—a)=；cos(—a)=；tan(—a)=。

222

三、典型例题：

1.自学62例6、例7完成练习A。1、2、3；练习B。1

2.自学七例8完成练习A。4；练习B。2

3.补充例:

、3兀3万3兀

证明：sin(a+——)=-cosa；cos(a+——)=sinatan(a+——)=-cota

2

练习：完成下面填空：

3乃3乃3万

sin(----a)=；cos(----a)=；tan(----a)=

222

四、小结：

五、作业：

lo若sin(180°+a)+cos(90°+a)=-a,贝ijcos(270°-a)+2sin(360°-a)的值是()

2a3a八2a3a

A.-----B.-----C.—D.—

3232

兀711则一1—的值为()

2.已知sin(—1-0)+cos(----8)=一,。£(0,iIT),

5tan6

433

A.-B.-cD.•■一

3444

jr7T

3.已知f(x)=3sin(—x+一),则下列不等式中正确的是()

23

A.f(l)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(l)<f(3)

C.f(2)<f(3)<f(l)D.f(3)<f(2)<f(l)

4.sin2l°+sin220+sin23°+***+sin289°=()

8945

A.89B.—C.45D—

22

5.已知f(cosx)=cos3x,则f(sin30°)的值是()

V3

A.lB.—C.OD.-l

2

6.(2006.全国卷H)f(sinx)=3—cos2x贝!]f(cosx)=()

A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x

1兀3

7,已知sin(n+a)=lgr=,且a£(—,〃)，则tan(a•—%)的值为

V1022

8o已知：sin(--a)-cos(—+a)=^2sina.cosa=。

22

9。已知cos(75°+a)=l,且-180°<a<-90°,求cos(15°-a)的值.

3

10.化简：

sin(l800-a)sin(270°-a)tan(900-a)

sin(90°+a)tan(270°+a)tan(360°-a)

J1-2sin100°cos280°

cos3700-71-cos21700