2024年中考总复习数学圆综合解题模型之A型

年中考总复习数学圆综合解题模型之A型1．如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G.（1）求证：FG⊥AB；（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G.（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，CD＝5，求FG的长.4．如图，已知AB为半圆O的直径，过点B作PB⊥OB，连接AP交半圆O于点C，D为BP上一点，CD是半圆O的切线．（1）求证：CD＝DP．（2）已知半圆O的直径为6，PC＝1，求CD的长．5．如图，⊙O与△ABC的边AC相切于点C，与边AB、BC分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径。（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD=4，CE=6，求AC的长。6．如图，AB为⊙O的直径，D是BC的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.（1）求证：OD∥AC；（2）求证：DC2＝DE•DA；（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长.7．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE.（1）求证：AG与⊙O相切.（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长.8．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE（1）求证：PC∥AE；（2）若sin∠P＝359．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC=2∠BDE.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）当CF=2，BE=3时，求AF的长.10．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sinB＝5511．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，EA=4，求⊙O的半径．12．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE//BO，CE的延长线交BD于点A.（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=2，求13．如图，AC为⊙O的直径，AB＝BD，BD交AC于F，BE//AD交AC的延长线于E点.（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）若AF＝4CF，求tan∠E.14．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点O作OF⊥AB，交BC的延长线于点F，交AC于点D，E为DF上一点，连接EC，其中EC=ED.（1）求证：E是DF的中点；（2）求证：EC是⊙O的切线；（3）如果OA=4，EF=3，求弦AC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，延长AC至D，使CD＝AC，连接DB.E是OB的中点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）⊙O的直径为2，求BH的长.16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；（3）求证：CE17．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC.18．如图，△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O与BC相交于点D.与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，AH⊥AB交BC于H，求tan∠AHB的值.19．如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=6，tan∠DCB=2320．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过点M作⊙O的切线MN交AB于点N．（1）求证：MN⊥AB；（2）若⊙O的直径为5，sinB=3521．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，点D为AB上一点，过D作DE⊥AB交BC于F，交过点C的切线于E点.（1）求证：CE=EF；（2）若BDBC=12，22．如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，cosD=23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝6，cosC＝13

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵BC为⊙M切线，∴∠ABC=90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠ABC=∠BCD，∵AB是⊙M的直径，∴∠AGB=90°，即：BG⊥AE，∴∠CBD=∠A，∴△ABE∽△BCD（2）解：过点G作GH⊥BC于H，∵MB=BE=1∴AB=2，∴AE=AB2由（1）根据面积法AB•BE=BG•AE，∴BG=25由勾股定理：AG=455，GE=∵GH∥AB，∴GHAB∴GH2∴GH=25又∵GH∥AB，∴HCBC=同理：BHBC=①+②，得HC+BHBC=GH∴GHMB+∴CD=22．【答案】（1）解：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，∴∠B=∠OFC，∴OF//AB，∵FG是⊙O的切线，∴OF⊥FG，∠OFG=90°，∴∠FDG=90°，即FG⊥AB（2）解：如图，连接DF，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC=90°，即DF⊥BC，∵CD=BD，BC=8，∴BF=12∵AC=6，BC=8，∴AB=AC2∵∠FGB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BFG∽△BAC，∴BFAB=FG解得：FG=1253．【答案】（1）答：FG与⊙O相切.证明：连接OF，DF，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD=BD=12∵CD为⊙O直径，∴DF⊥BC，∴F为BC中点，∵OC=OD，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，∴FG为⊙O的切线；（2）解：∵CD为Rt△ABC斜边上中线，∴AB=2CD=10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC=AB∴BF=12∵FG⊥AB，∴sinB=GFBF∴GF4∴FG=124．【答案】（1）解：如图1，连接OC∵CD是半圆O的切线∴OC⊥CD，即∠OCD=90°∴∠OCA+∠DCP=180°−∠OCD=90°∵PB⊥AB∴∠ABP=90°∴∠A+∠P=90°∴∠OCA+∠DCP=∠A+∠P=90°又∵OA=OC∴∠A=∠OCA∴∠DCP=∠P∴CD=DP；（2）解：如图2，连接OC、BC∵AB是半圆O的直径∴∠ACB=90°，AB=∴∠ACB=∠ABP=90°又∵∠A=∠A∴△ABC∼△APB∴ACAB=∵AB=∴(解得AC=2或AC=−3（不符题意，舍去）∴AP=AC+PC=3在Rt△ABP中，BP=由（1）得∠OCD=∠ABP=90°即∠OCB+∠DCB=∠OBC+∠DBC∵OB=OC∴∠OCB=∠OBC∴∠DCB=∠DBC∴BD=CD由（1）知CD=DP∴CD=15．【答案】（1）证明：连接OD。∵DE∥OA，∴∠AOC=∠OED，∠AOD=∠ODE∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD。又∵OA=OA，OD=OC，∴△AOC≌△AOD（SAS），∴∠ADO=∠ACO∵CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AB∵OD为⊙O的半径，AB是⊙O的切线（2）解：∵CE=6，∴OD=OC=3∵∠BDO=90°，∴BO²=BD²+OD²∵BD=4，∴OB=42+3∴△BDO∽△BCA，∴BD∴48=36．【答案】（1）证明：因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE•DA；（3）解：∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝.AB2∵OD∥AC，∴△BOF∽△BAC，∴BOBA即12＝BF∴BF＝4.即BF的长为4.7．【答案】（1）证明：连接OA，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切.（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2.4=2.6，∴OE=EF8．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE，∴PC∥AE；（2）解：设OC与AE交于点H，如图，∵CG⊥AB，∴AC=∴AG=∴∠ACG＝∠CAE，∴AF＝CF＝5，∵PC∥AE，∴∠EAB＝∠P，在Rt△ADF中，∵sin∠P＝sin∠FAD＝DFAF＝3∴DF＝3，AD＝4，在△OAH和△OCD中，∠OHA=∠ODC∠AOH=∠DOC∴△OAH≌△OCD（AAS），∴AH＝CD＝5+3＝8，∴AE＝2AH＝16，∵∠DAF＝∠EAB，∴Rt△ADF∽Rt△AEB，∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，∴BE＝12.9．【答案】（1）证明：如图，连接OD，AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAD，∴∠BAC=2∠BDE，∴∠BDE=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO.∵∠ADO+∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODB=90°.∴∠ODE=90°，即DF⊥OD.又OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线.（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD.∵BO=AO，∴OD//AC.∴△EOD∽△EAF，∴ODAF设OD=x，∵CF=2，BE=3，∴OA=OB=x，AF=AC−CF=2x−2，EO=x+3，EA=2x+3.∴x2x−2解得x=6.经检验x=6是所列分式方程的解.∴AF=2x−2=10.10．【答案】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝8，sinB＝55∴AD＝AB•sinB＝85∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，∴∠BDO＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，∴sinB＝sin∠ADE＝AEAD＝5∴AE＝55AD＝55×85∵OD∥AE，∴△FAE∽△FOD，∴FAFO∵AB＝8，∴OD＝AO＝4，∴FAFA+4＝∴FA＝811．【答案】（1）证明：连结OD．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB，∵DE=2BC，∴ED=2CD，∵AD∥OC，∴EDCD∵EA=4，∴OA=2，∴⊙O的半径=2．12．【答案】（1）证明：连接OD，∵DE//BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB与△COB中，OD=OC∠1=∠2∴△DOB≅△COB(SAS).∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线.（2）解：∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=设OC=r，BC=2由（1）证得△DOB≅△COB，∴BD=BC=2∵DE//BO，∴ADBD=∴AD=22Rt△ADO中根据勾股定理可得：AD2+D解得：r=1，∴AO=AE+EO=3.13．【答案】（1）证明：如图，连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G，在△ABO和△DBO中，∵AB=DBBO=BO∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠1＝∠ABO，∴BG⊥AD，∴∠1+∠BDG=90°，∵BE//AD，∴∠BDG=∠3，∴∠3+∠1＝90°，即OB⊥BE，∴BE为⊙O的切线；（2）解：设CF＝x，则AF＝4x，∴AC＝5x，OC＝OB＝12AC＝5∴OF＝OC﹣CF＝52x﹣x＝3∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴CD//BG，∴△CDF∽△OBF，∴CDOB=CF则CD＝53∴AD＝AC∵BE//AD，∴tanE＝tan∠CAD＝CDAD14．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵EC=ED，∴∠DCE=∠EDC，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF=90°，∴∠CDE+∠ECF=90°，∵∠CDE+∠F=90°，∴∠ECF=∠F，∴EC=EF，∴ED=EF，∴E是DF的中点；（2）证明：连接OC，∵OF⊥AB，∴∠DOA=90°，∴∠A+∠ADO=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠OCA+∠ADO=90°，∵∠ADO=∠CDE，∴∠OCA+∠CDE=90°，∵∠CDE=∠DCE，∴∠OCA+∠DCE=90°，∴EC⊥OC，∴EC是⊙O的切线；（3）解：∵EF=3，ED=EF，∴EC=DE=3，∴OE=O∴OD=OE-DE=2，在Rt△OAD中，AD=O在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A=∠A，∠ACB=∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴OAAC即4AC∴AC=1615．【答案】（1）证明：连接OC，如图∵AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，∴OC⊥AB∵CD＝AC，OA＝OB∴OC为△ABD的中位线∴OC//BD∴BD⊥AB∴BD是⊙O的切线（2）解：∵E是OB的中点∴OE＝BE∵OC//BD∴△OCE∽△BFE∴OC∵⊙O的直径为2∴OC＝1∴BF＝1∴在Rt△ABF中，AB＝2，BF＝1由勾股定理得：AF＝2∵AB是⊙O的直径∴∠AHB＝90°∵12AF•BH＝1∴BH＝2×116．【答案】（1）证明：连接OB、OE，如图所示：在△ABO和△EBO中，AB=BEOA=OE∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠BAO＝∠BEO，∵⊙O与边BC切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BE＝3，BC＝7，∴AB＝BE＝3，CE＝4，∵AB⊥AD，∴AC＝BC2−AB2∵OE⊥BC，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∠ECO＝∠ACB，∴△CEO∽△CAB，∴OEAB即OE3解得：OE＝310∴⊙O的半径长为310（3）证明：连接AE，DE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∵BA是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠EAD＝90°，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠DEC＝∠EAD，∴△EDC∽△AEC，∴CECD∴CE17．【答案】（1）解：连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE=AB在Rt△BEC中，tanC=BECE18．【答案】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠OBD＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∠ABC＝∠C，∴BE＝AB2−A在Rt△BEC中，tan∠C＝BECE=2∴tan∠ABC=2∵AH⊥AB，∴∠BAH＝90°，设AH＝2a，AB＝2a，∴tan∠AHB＝ABAH＝2a219．【答案】（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，又∵∠DCB=∠CAD，∵OA=OC，∴∠CAD=∠1，∴∠1=∠DCB，∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EA、EC为⊙O的切线，∴EC=EA，OE⊥AC，∴∠BAC=∠OEA（等角的余角相等），∴∠DCB=∠OEA.∵tan∠DCB=23∴tan∠OEA=OAAE∵Rt△DCO∽Rt△DAE，∴CDDA∴CD=23在Rt△DAE中，设AE=x，∴(x+4)2解得x=5即AE的长为5220．【答案】（1）证明：连接OM，如图1，∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN，∴∠OMN=90°，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝12∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∴∠OMN=∠MNB=90°，∴MN⊥BD；（2）解：连接DM，CE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M为BC的中点，∵sinB＝35∴cosB＝45在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝325∴ED＝BE﹣BD＝325﹣5＝721．【答案】（1）证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠BCE+∠BCO=90°，又∠CFE=∠BFD，∠BFD+∠B=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF；（2）解：作CH⊥AB于H，OM⊥BC于M