（一次函数与反比例函数大题）2020中考考点必杀500题（河北专用）（解析版）

2020中考考点必杀500题

专练12一次函数与反比例函数大题(30道)

1.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(5,3),点B(-3,3),过点4的直线y=号尢+m(加为常数)与直线

x=l交于点P,与久轴交于点C,直线8「与工轴交于点。.

(1)求点P的坐标；

⑵求直线8P的解析式，并求出△PCD与4PAB的面积比;

(3)若反比例函数y=为常数且k40)的图象与线段8。有公共点时，请求出k的最大值和最小值.

【答案】

解：(1)：y=：x+m过点4(5,3),

.1

3=-2X54-m,

解得m=I，

**•直线为y=[x+],

当x=l时，y=|+|=1

・♦・P(l,1).

(2)设直线BP的解析式为y=a%+b

根据题意，得｛3=一"+。，“

1=a+b.

I2

/.直线BP的解析式为y=-|x+|,

♦；P(l,1),4(5,3),B(-3,3),

...S^PCD=(」_)2=1.

SAPAB3-14

(3)当k<0时，函数图象经过8点时，k的值最小，此时k=-9；

当k>。时，

(k

y=-

联立得：〈/3,

\y=~2x+2

消去y得:一1+冷,

整理得：%2-3%4-2k=0,

•/反比例函数与线段8。有公共点，

/.4=32—4xlx2k>0,

解得：

8

故当k<0时，最小值为一9；当/c>0时，最大值为:

O

2.如图，在平面直角坐标系中，点01的坐标为(一4,0),以点01为圆心，8为半径的圆与x轴交于2,B两点,

过4作直线［与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点。2(

圆与x轴相切于点D.

(1)求直线/的解析式;

(2)将。。2以每秒1个单位的速度沿X轴向左平移，当。。2第一次与外切时，求。。2平移的时间.

【答案】

解：（1）由题意得0A=|-4|+|8|=12,

二A点坐标为（一12,0）.

T在RSAOC中，ZOAC=60°,

OC=OAtanzOAC=12xtan60°=12>/3.

二C点的坐标为（0,—12百）.

设直线1的解析式为y=kx+b,

由1过A、C两点，

(2)如图，设。。2平移t秒后到。。3处与。01第一次外切于点P，O。3与X轴相切于Di点，连接O1O3,。3口「

则OQ=0丁+PO3=8+5=13.

O3DJX轴，，。3口1=5,

在RtAOiOsDi中，0必=_03*=V132_52=12.

,?OiD=OjO+OD=4+13=17,；.D]D=0道-OR=17-12=5,

/.t=；=5(秒).

,。。2平移的时间为5秒.

3.如图1,在平面直角坐标系xOy中，点4的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接4B,做线段4B的垂直平分

线小过点B作X轴的垂线，2，记，1，，2的交点为P.

(1)当b=3时，在图1中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一

条曲线L上！

①设点P的坐标为(x,y),试求y与％之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线：

②设点P到x轴，y轴的距离分别是由，d2>求di+d2的范围，当心+6(2=8时，求点P的坐标；

③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条"W"形状的新曲线，若直线y=kx+3与

这条"〃"形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围.

【答案】

解；(1)线段AB的垂直平分线L，过点B作x轴的垂线k，直线I1与12的交点为P，如图所示，

(2)①当x>0时，如图2中，连接AP,作PE_Ly轴于E,

h垂直平分AB,

/.PA=PB=y,

在RTZkAPE中，:EP=BO=x,AE=OE-OA=y-1,PA=y,

y2=x2+(y-l)2,

当x<0时，点P(x,y)同样满足y=；x2+],

•••曲线1就是二次函数y=3x2+3即曲线1是抛物线.

2

②：山=^x+pd2=|x|,

2

d1+d2=|x+1+|x|,

当x=0时，di+d2有最小值5

dx+d2>I，

d!+d2=8,贝ij：x2+3+冈=8,

当xNO时，原方程化为评+T+X-8=0,解得x=3或（—5舍弃）,

当*<0时-，原方程化为TX2+：—X—8=0,解得x=-3或（5舍弃）,

x=±3时，y=5,

•••点P坐标（3,5）或（一3,5）.

③如图3中，

把y=2代入y=J解得x=±百，

，直线y=2与抛物线y=|x2+3的两个交点为（一百,2）和（遮,2）.

当直线y=kx+3经过点（一百,2）时，2=-V3k+3

/.k=—,

3

当直线y=kx+3经过点（V5,2）时，2=^k+3,

:.k=-g

3

...直线y=kx+3与这条"W"形状的曲线有四个交点时，k的取值范围是：一当<k<曰.

4.如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB〃x轴，BC〃y轴，AB=4,BC=3,点8（5,1）翻折矩

形纸片使点4落在对角线DB上的〃处得折痕DG.

(1)求4G的长;

(2)在坐标平面内存在点M(m,-1)使4M+CM最小，求出这个最小值;

(3)求线段GH所在直线的解析式.

【答案】

解：(1)由折叠的性质可得，AG=GH,AD=DH,GH1BD,

,:AB=4,BC=3,

BD=办+42=5,

设AG的长度为x,

BG=4-x,HB=5—3=2,

在RtABHG中，GH2+HB2=BG2,

x2+4=(4—x)2,

解得：x=1.5,

即AG的长度为1.5；

(2)如图所示：作点A关于直线y=-1的对称点A"连接CA，与y=-1交于M点,

V点B(5,1),

:.A(l,1),C(5,4),Az(l,-3),

AM+CM=AZC=V42+72=V65,

即AM+CM的最小值为很；

(3)V点A(l,1),

二G(2.5,1),

过点H作HEIAD于点E,HFJ.AB于点F,如图所示,

△AEHs&DAB,△HFBDAB,

PH_EHHF_BH

DB~~AB*DA-BD

门门3EHHF2

5-~~5

解得：EH=y,HF=|

则点H《，£),

设GH所在直线的解析式为y=kx+b,

f2.5k+b=1

贝忸+b=Al'

55

k=3

解得:b-

则解析式为：y=34

5.在平面直角坐标系中，直线=—gx+4与x轴、y轴交于8、4两点，点D,C分别为线段4B,80的中

点，如图1,将ADCB绕点B按顺时针方向旋转角a,如图2.

(1)连结。C,AD,求证：40BCFABD；

(2)当0。＜。＜180。时，若ADCB旋转至4,C,0三点共线时，求线段。。的长；

(3)试探索：180。＜a＜360。时，是否还有可能存在4,C,。三点共线的情况？若存在，求出此直线的表

达式；若不存在，请说明理由.

【答案】

y,

解：(1)如图1,由y=-：x+4得A(0,4)点C的坐标谭，一装),6(8,0),

则OA=4,OB=8,

,/AD=BD,OC=BC

,CD=iOA=2,BC=4,BD=2AB,

22

・BD_CD_1

•・AB-OB2

V4ABO=ZDBC,

/.ZABO+ZABC=NDBC+zABC.

・•・ZOBC=ZABD,

/.△OBCABD.

(2)当(TVa<180。，且A,C,D三点共线时，如图2,

ZBCD=90°,

・・・ZACB=90°.

/.zACB=zlB0A=90o.

又,:OA=BC=4,AB=BA,

△ACBBOA.

:.AC=BO.

...四边形AOBC是平行四边形

又；ZAOB=90°.

平行四边形AOBC是矩形.

,ZAOC=90",AC=OB=8.

/.AC=AD+CD=8+2=10.

OD=VOA2+AD2=2V29

（3）存在.

当180。<a<360。且A,C,D三点共线时，如图3,

连结OC,同（1）可得：△ABD-ZiBOC.

•AD_AB_4\/5_V5

**OC-OB-8-2

同（2）可得：△ACBMZkBOA.

・・・AC=BO=8.

又CD=2,

:.AD=6.

..ADV5

・=—，

OC2

・6_y/5

•・oc-T*

...QC=12V5

5

过点C作CMJLy轴于M,设OM=y,MC=x.

在Rt△OMC和Rt△AMC中有：

2i2,12寸石、2fx=­

/+y2=（R解得：X》

.（4+y）2+x2=82U=T

*,•点C的坐标（g,—£）,

设直线AC的表达式y=kx4-b

所以所求直线AC的表达式为y=-gx+4

6.已知在平面直角坐标系中，一次函数丫=%+巾（巾＞1）,与无轴、y轴分别交于4、B,一次函数

y=（m-步一2经过B点，与久轴交于C.

（1）求M的值;

（2）点E为线段BC上一点，连接0E,设E点横坐标为3AOBE的面积为S,求S与t的函数关系式;

（3）在（2）的条件下，过B点作直线0E的垂线，垂足为。，在0B的延长线上截取一点F,使B尸=0E,连

接OF,^AOBD+ADEB-/.FOB=90",求E点的坐标.

【答案】

解：（1）由题意B（—m,0）,

一次函数y=（m-；）x-2经过B点,

0=(m--)x(―m)—2,

解得m=4或（（舍弃）.

m=4.

（2）如图1中，作EF10B于F.

由（1）可知直线BC的解析式为y=-：x-2,B（-4,0）,

E(t,-：t-2),

EF=》+2,

S=|-0B,EF=|x4x(|t+2)=t+4(-4<t<0).

(3)如图2中，作EN_LOB于N,OH1.BC于H.

zOBD+Z.DEB-zFOB=90°,zOBD=NF+zFOB,

ZF+ZDEB=90°,>/ZDBE+ZDEB=90°,

ZF=zDBE,

OF//BC,

BF=OE,

四边形OFBE是等腰梯形,

ZF=zEOF,*.*ZD=90°,

ZF=ZEOF=ZOEH=45°,

△OEH是等腰直角三角形,

OH=EH,

i-OB.OC=l.BC.OH,

8475

°H=鳌=布=手

22

在RtAOHC中,HC=VOC-OH=第

EC=VBE=¥

EN//OC,

EN_BN_BE

OC-OB-BC

4V5

EN_BN_

2~4~2>/5，

EN=|4,B_N=|8,

ON=OB-BN=y,

EW)。

7.如图，点4(1,0)、B(4,0)、M(5,3).动点P从4点出发，沿x轴以每秒1个单位的速度向右移动，过点P的

直线1：y=-x+b也随之移动.设移动时间为t秒.

(1)当t=l时，求直线，的解析式.

(2)若直线1与线段有公共点，求t的取值范围.

(3)当点M关于直线，的对称点落在坐标轴上时，求t的值.

【答案】

解：(1)直线y=-x+b交x轴于点P(l+t,0)(b>0,t20).

当t=1时,1+t=2,

JP(2,0),

—2+b=0,

解得b=2,

故当t=1时，直线1的解析式为y=—x4-2.

(2)当直线y=—x+b过点B(4,0)时，有l+t=4,

Jt=3；

当直线y=—x+b过点M(5,3)时，有.3=-5+b,

解得：b=8,

/.0=-(l+t)+8,

解得t=7.

故若1与线段BM有公共点，t的取值范围是：3<t<7.

(3)点M关于直线1的对称点落在对称轴上分两种情况(如图所示)：

①当点M的对称点落在y轴上时，过点M作MCI直线1,交y轴于点C,交直线1于点D,则点C为点M在坐标轴

上的对称点.

设直线MC的解析式为y=x+m,则：3=5+m,解得：m=-2,

二直线MC的解析式为y=x-2.

当x=0时，y=0-2=-2,

/.C点坐标为(0,—2).

(0+5)+2=2.5,(3—2)+2=0.5,

•••D点坐标为(2.5,0.5),

当直线y=-x+b过点D(2.5,0.5)时，有0.5=-2.5+b,解得：b=3,

即0=-(l+t)+3,解得t=2.

二t为2时，点M关于1的对称点落在y轴上.

②当点M的对称点落在x轴上时，设直线MC分别与x轴、直线1交与点E,F.

当y=0时，有X—2=0,解得：x=2,

点E(2,0),点F(3.5,1.5).

/.1.5=-3.5+b,解得：b=5,

t=b—1=4,

t=4时点M关于1的对称点落在x轴上.

综上，t=2或4时，M的对称点在坐标轴上.

8.在同一直角坐标系中，直线y=—x+3与y=3x—5相交于C点，分别与x轴交于4B两点.P、Q分别为

直线y=-x+3与y=3x-5上的点.

(1)求△ABC的面积；

(2)若P、Q关于原点成中心对称，求P点的坐标;

(3)若△QPCWA4BC,求Q点的坐标.

【答案】

y

oX

图1

解：（1）依照题意画出图形，如图1所示.

令y=-x+3中y=0,则x=3,

・♦・A(3,0)；

令y=3x-5中y=0,则x=|,

B(|,0)；

=2

联立两直线解析式成方程组，得:二解得：｛；

=1

C(2,1).

SAABC=^AB-yc=i(3-|)xl=|.

（2）•/点P在直线y=-x+3上,

'・设P（m,-m+3）,

•・P、Q关于原点成中心对称，

Q(—m,m—3).

点Q在直线y=3x—5上,

m—3=-3m—5,

解得：m=

:.点p的坐标为（一片）.

（3）依照题意画出图形，如图2所示.

若要△QPCMAABC,只需PQ〃AB,且PQ=AB即可.

设P（3—n,n）,则Q（等，n）,

PQ=AB,

•n+55

..--(3-n)=3-

解得：n=2,

二点Q©,2).

9.如图,己知直线y=-+3分别与x,y轴交于点4和B.

(1)求点A,B的坐标;

(2)求原点。到直线1的距离;

(3)若圆M的半径为2,圆心M在y轴上，当圆M与直线I相切时，求点M的坐标.

【答案】

解：(1)对于直线y=—：x+3,

令x=0,得到y=3；令y=0,得到x=4,

A(4,0),B(0,3)；

(2)直线整理得：3x+4y—12=0,

原点0到直线1的距离d=导需=

V3Z+4Z5

(3)设M坐标为(0,m)(m>0),即OM=m,

若M在B点下边时，BM=3-m,

ZMBN7=ZABO,ZMN'B=NBOA=90°,

二AMBNZ-AABO,

・MN，BM23-m

•a=1,RnnJ-=，

OAAB45

解得：m=1,此时M(0,》；

若M在B点上边时，BM=m-3,

同理△BMN-ABAO,则有要=型，即2=巴0,

OAAB45

解得：m=y.此时M(0,3).

10.如图，△04B的一边OB在x轴的正半轴上，点4的坐标为(6,8),。4=0B,点P在线段08上，点Q在y轴

的正半轴上，OP=20Q,过点Q作x轴的平行线分别交。4于点E,F.

(1)求直线4B的解析式;

(2)若四边形POE尸是平行四边形，求点P的坐标;

(3)是否存在点P,使APEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】

解：(1),?A(6,8),OA=V62+82=10,

,OB=OA=10,即B(10,0),

设直线AB解析式为丫=入+k

把A与B坐标代入得：，普上?=

110k4-b=0

解得：k=-2,b=20.

则直线AB解析式为y=-2x+20,；

(2)由A(6,8),得到直线0A解析式为丫=gx,

设0Q=t,则有OP=2OQ=2t,

把y=t代入y=gx得：x=^t；代入丫=-2*+20得：x=10—^3

・・・E*,t),F(10-1t,t),

135

・・・EF==10--t,

244

若四边形POEF为平行四边形，则有EF=OP,即10-“=2t,

4

解得：t=段；

（3）分三种情况考虑:

若"EF=90。，则有1t=2t,无解,不可能:

4

若ZPFE=90°,则有10-1=2t,解得：t=4,止匕时OP=8,即P(8,0)；

若NEPF=90°,过E、F分别作x轴垂线，垂足分别为G、H,

Rt△EGP-RtAPHF,

EGPHHnt10-1t-2t

GPHF2t--tt

解得：t=署，此时P=符，即P（瑞，0）.

综上,P的坐标为（8,0）或筐,0）.

11.如图，直线y=-枭+4与x轴、y轴分别交于点4、B,点C从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向点

A匀速运动；同时点。从点0出发，以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，到达终点后运动立即停止.连

接C。，取CO的中点E,过点E作EF1CO,与折线0。-。4-4C交于点F,设运动时间为t

（1）点C的坐标为（用含t的代数式表示）;

（2）求证：点E到x轴的距离为定值;

（3）连接DF、CF,当ACDF是以CD为斜边的等腰直角三角形时，求CD的长.

【答案】

(3t,4—4t).

（2）证明：•・・点D从点0出发，以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动,

0D=4t,

D（0,4t）.

点E为线段CD的中点，

E（等，上茨），既（|t,2）,

点E到x轴的距离为定值.

（3）按点F的位置不同来考虑.

①当点F在AC上时，如图2所示.

DF1AB,ZAOB=90°,

△BDFBAO,

BD_DF_BF

AB-OA-OB'

DF=CF=Y(l-t).BF=y(l-t).

BF=BC+CF,

y(l-t)=5t+^(l-t),

4

29

此时DF=£x(1-J=黑CD=V2DF=§V2；

②当点F在OA上时，如图3所示，显然不存在;

③当点F在OD上时，如图4所示.

C(3t,4-4t),D(0,4t),ZCFD

F(0,4-4t),

DF=4t-(4-4t)=8t-4,CF=3t.

△CDF为等腰直角三角形，

DF=CF,即8t—4=3t,

解得：t=|.

此时CF=3Xg=芍，CD=V2CF=yV2.

综上可知：当ACDF是以CD为斜边的等腰直角三角形时，CD的长为为/或与疗.

12.甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，乙先出发一段时间后甲才出发，设乙行驶

的时间为t(/0,甲乙两人之间的距离为y(/nn),y与t的函数关系如图1所示，其中点C的坐标为弓,一)，请解

决以下问题:

(1)甲比乙晚出发h：

(2)分别求出甲、乙二人的速度;

(3)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过与乙相遇.

①设丙与M地的距离为S(k?n),行驶的时间为求S与t之间的函数关系式(不用写自变量的取值范围)

②丙与乙相遇后再用多少时间与甲相遇.

【答案】

解：(1)lh；

(2)由图1可知甲、乙在乙出发1.5小时后相遇,

因为甲比乙晚出发1小时，

所以甲的速度是乙的速度的3倍.

设乙的速度为xkm/h,

则甲的速度为3xkm/h,由图1得：(3x-x)・(1-1.5)=詈;

解得：x=20,

所以乙的速度为20km/h,甲的速度为60km/h,

(3)①设s=kt+b.当t=1时，S=gx20=拳

当t=0时，S=20x4=80；代入得k=-40,b=80

故丙距M地的路程S与时间t的函数关系式为S=-40t+80.

②由甲的速度为60km/h且比乙晚出发一小时易得S甲=60t-60,与5内=-40t+80,

仅“S=-40t+80，

解得t=g,即在丙出发纱时后，甲、丙相遇.

..741

•------=—,

5315

丙与乙相遇后再用表h与甲相遇.

13.阅读材料：

%(%>0)

0(%=0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式

{-%(%<0)

|x+l|+|x-2|时，可令工+1=0和％-2=0,分别求得％=-1,%=2(称一1,2分别为氏+1|与氏-2|的零

点值)，在实数范围内，零点值％=-1和％=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

(1)当xV—1时，原式=一(％+1)——2)=-2%+1；

(2)当一1WXV2时，原式=%+1-。-2)=3；

—2%+1(%<—1)

(3)当％22时，原式=%+1+%-2=2%-1.综上所述，原式=•3(-1<x<2)

2%-1(%>2)

学以致用：

(1)分别求出|%+3|和|%—1|的零点值;

(2)化简代数式|%+3|+|%-1卜

拓展应用：

(3)求函数y=|x+3|4-|x-1|(-3<x<3)的最大值和最小值.

【答案】

解：(1)令x+3=0和x—1=0,分别求得x=—3,x=1,

所以|x+3|和|x一1|的零点值分别为一3和1；

(2)在实范围内，零点值x=-3和x=l可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:

①当x<一3时，原式=-(x4-3)-(x-1)=-2x-2；

②当一3<x<1时，原式=(x4-3)-(x-1)=4；

③当x>1时，原式=x+3+x—l=2x+2.

(—2x—2(xV-3)

综上所述，原式4(-3<x<1)；

(2x+2(x>1)

4(-3<x<1)

(3)由(2)可化简函数为y=

2x+2(l<x<3),

该函数的大致图形如图所示:

所以函数y=|x+3|+|x—1|(-3<x<3)的最大值是8和最小值是4.

14.平面直角坐标系中有直线y=kx—k+4(k手0),

(1)当％取不同的值时函数图象均不同，画出当k分别等于-［和2时的函数图象k和0.(画在同一直角坐标

系中)

(2)根据图象，写出你发现的一条结论.

(3)若点4为卜与。的交点，4交%轴于点B,点C在y轴上，△ABC是等腰三角形，请确定点C的坐标.

【答案】

解：(1)当k=-［时，l/y=(-》x+g+4=-gx+热

当k=2H寸，k：y=2x—2+4=2x+2,

(2)图象如图所示,

结论：图象是一条直线，图象过定点(1,4),

(3)由(1)有，k：y=-gx+g,k：y=2x+2

,/点A为k与I2的交点，

:.A(l,4),

k交x轴于点B,

令丫=0,-^x+y=0,

x=4,

B(4,0),

，AB2=25,

设点C(Qa),

/.AC2=(a-4)2+1,BC2=a2+16,

△ABC是等腰三角形

①当AB=AC时，

AB2=AC2,

(a-4)2+1=25,

a=4+2A/6.

g(0,4+2V6),C2(0,4-2V6),

②当BA=BC时，

:.AB2=BC2,

/.a2+16=25,

/.a=±3,

JC3(0,3),C4(0,-3)

③当CA=CB时，

AC2=BC2,

:.(a—4)2+1=a2+16,

C5(0.5).

15.如图，矩形O4BC中，点4,点C分别在x轴，y轴上，。为边BC上的一动点，现把△OCD沿0D对折，C点

落在点P处.已知点B的坐标为(2百,2).

(1)当。点坐标为(2,2)时，求P点的坐标;

(2)在点。沿8c从点C运动至点B的过程中，设点P经过的路径长度为1,求/的值;

(3)在点。沿BC从点C运动至点B的过程中，若点P落在同一条直线、=kx+4上的次数为2次，请直接写出

化的取值范围.

【答案】

解：(1)如图1,当D点坐标为(2,2)时，CD=2,

0C=2,且四边形OABC为矩形,

四边形OCDP是正方形,

0P=2,

点P的坐标为(2,0).

(2)如图2,在运动过程中，OP=OC始终成立,

B(D)

OP=2为定长,图2

点P在以点。为圆心，以2为半径的圆上.

点B的坐标为(2%,2),

tanZCOB=^=V3,

△COB=60°,乙COP=120°,

11200日c4

1=------X211X2=-TI.

360°3

(3)在图2的基础上，取点E(0,4),过点E作。0(弧CP段)的切线EP',切点为P',连接PP',如图3所示.

0E=4,0P'=2,

sin/OEP嗡=%

二NOEP'=30。，

二NEOP'=60°.

4cop=120°,

NPOP'=60°.

,ZOP=OP'=60。，

...△OPP'为等边三角形，

,:OP=2,

二P(V3,-1),PXV3,1).

当点P在直线y=kx+4上时，W-l=V3k+4,

・i5V3

・・k=；

当点P'在直线y=kx+4上时，W1=V3k+4,

/.k=-V3.

综上可知：若点P落在同一条直线y=kx+4上的次数为2次，贝收的取值范围为一券

16.如图，已知矩形。4BC中，04=3,AB=4,双曲线y=1(/c>0)与矩形两边48,BC分别交于。，E,

HBD=2AD.

(1)求k的值和点E的坐标;

(2)点P是线段0C上的一个动点，是否存在点P,使NAPE=90。？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在,

请说明理由.

【答案】

解：⑴：AB=4,BD=2AD,

AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,

4

AD=

3

又•:OA=3,

D43),

*•,点D在双曲线丫=三上，

4.

k=-x3=4；

3

丁四边形OABC为矩形，

；・AB=OC=4,

・・・点E的横坐标为4.

把x=4代入y=:中，得y=1,

(2)假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4-m.

,:Z.APE=90°,

；・4APO+4EPC=90°,

又:ZAPO+ZOAP=90°,

，4EPC=ZOAP,

又丁zAOP=zPCE=90°,

・・・AAOPPCE,

•・•OA—二OP,

PCCE

•.•3--=_—m,

4-m1

解得：m=1或m=3,

・・・存在要求的点P,坐标为(1,0)或(3,0).

17.如图，已知一次函数y=-2与反比例函数y=：的图象相交于点4(2,九)，与％轴相交于点8.

(1)求k的值以及点8的坐标;

(2)以AB为边作菱形ABCD,使点C在%轴正半轴上，点。在第一象限，求点。的坐标；

(3)在y轴上是否存在点P,使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】

把点A(2,n)代入一次函数y=jx-2,

可得n=~X2-2=3；

把点A(2,3)代入反比例函数y=

可得k=xy=2x3=6,

:一次函数y=|x-2与x轴相交于点B,

二-x-2=0,

2

解得X=g,

...点B的坐标为C，0)；

■:点A(2,3),B(i,0),

二AB=J(2-m2+(3-0)2=舟二等,

：四边形ABCD是菱形，

Z.AD=AB=^,AD//BC,

•/点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，

如图，作点B©,0)关于y轴的对称点Q的坐标为(-却0),连接AQ交y轴于点P,此时PA+PB的值最小,

设直线AQ的解析式为：y=kx+b,

4ki=—15

则-gk+b=°,解得：.14

b=-

2k+b=37

直线AQ的关系式为丫=去+：,

直线AQ与y轴的交点为P(0,

18.如图，过点P(2,&)作X轴的平行线交y轴于点4,交双曲线丫=久%>0)于点',作「"，4'交双曲线

丫=；(%>0)于点时，连接4M.已知PN=4.

（1）求k的值;

（2）设直线MN的解析式为y=ax+b,求不等式>ax+b的解集;

（3）试判断AAMN的形状？并说明理由.

【答案】

解：（1）：点P的坐标为（2,夜），

AP=2,0A=V2.

VPN=4,

,AN=6,

二点N的坐标为（6,e）.

把N（6,迎）代入y=:中，得k=6&.

T点P的坐标为（2,企），

/.点M的横坐标为2,

又,:点N的坐标为（6,迎），

.•.不等式:>ax+b的解集可看作反比例函数y=:大于一次函数y=ax+b的点的集合,

故由图可知，

/.0<x<2或x>6.

(3)V点M的横坐标为2,双曲线为丫=”,

二点M的坐标为(2,3鱼)，

PM=2V2.

PM1AN,AP=2,PN=4,

二AM2=12,MN2=24,AN2=36,

二AM2+MN2=AN2,

/.ZAMN=90°,即AAMN是直角三角形.

19.如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=：(x>0)的图象相交于点2(1,Tn),与其轴相交于点B.

(1)求这个反比例函数的表达式;

(2)C为反比例函数的图象上异于点4的一点，直线AC交x轴于点D,设直线AC所对应的函数表达式为、=

nx+b.

①若△力BZ)的面积为12,求小b的值；

②作CElx轴，垂足为E,记t=OE-DE,求n-t的值.

【答案】

把x=l代入y=x+3,得y=4,

/.m=4,

二A点坐标为：(1,4),

:.k=4,

则反比例函数表达式为：y=-；

JX

①AABD的面积为12,A(l,4),

/.BD=6,

把y=0代入y=x+3,得x=-3,

/.B点坐标为：(-3,0),

:.D点的坐标为:(3,0),

把x=l,y=4：x=3,y=0,分别代入丫=1^+1）,

tn+b=4

13n+b=0

解得：｛n.="2.

Ib=6

②把x=l,y=4代入得：n+b=4,得b=4-n,

令y=0,得x=1,

・・・点D的坐标为：（*,0）,

当士=nx+4—n时，

X

解得：X1=LX2=-，

・♦・点E的坐标为：（一，0）,

4

・♦・OE=

n

20.定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△P4B,4PBC,APCA中，若至少有一个三角形

与△ABC相似，则称点P是△力BC的自相似点.

例如：如图1,点P在△ABC的内部，4PBe=42,4BCP=4ABC,则ABCP〜△ABC,故点P是△ABC的自

相似点.

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线y=子（％>0）上的任意一点，点N是久轴正半轴上的任意一点.

(1)如图2,点P是OM上一点，NONP=N”,试说明点P是AMON的自相似点；当点M的坐标是(百,3),点

N的坐标是(V5,0)时，求点P的坐标;

(2)如图3,当点M的坐标是(3,遮)，点N的坐标是(2,0)时，求AMON的自相似点的坐标;

(3)是否存在点M和点N,使AMON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理

由.

【答案】

解：⑴：zONP=ZM,zNOP=ZMON,

△NOP-△MON,

点P是AMON的自相似点.

过P作PDlx轴于D.

则tan/MON=罂=V5,

ZMON=60°.

VM(V3,3),N(V3,0),

ZMNO=90°.

△NOP-△MON,

，Z.NPO=ZMNO=90°.

在RtAOPN中，OP=ON•cos60°=在，

2

:.OD=OP-cos60"=^xi=—,PD=OP-sin60°=x—=

224224

p%);

(2)作MH1x轴于H.

,:M(3,V3),N(2,0),

OM=J32+(V3)2=2V3,MN=112+(V3)2=2,直线OM的解析式为y=¥x,

ON=2,

ZMOH=30°.

分两种情况：

①如图所示.

：P是△MON的相似点，

二△PON-△NOM,作PQ1x轴于Q,

:.PO=PN,OQ=|ON=1.

•••P的横坐标为1,

・・V=——X1=——,

J33

:.P(l,小

②如图所示.

,/P是△MON的相似点，

，APNMNOM,

・PNMN日RPN2

,,丽=而‘即三=访‘

解得：PN=^.

即P的纵坐标为竽，代入y=gx得：竽=?X,

解得：x=2.

P(2,*).

综上所述：△MON的自相似点的坐标为(1,日)或(2,•)；

(3)存在点M和点N,使AMON无自相似点，M(V3,3),N(2V3,0).

理由如下：

M(V3,3),N(2V3,0),

OM=2V3=ON,ZMON=60°,

△MON是等边三角形.

,/点P在AMON的内部，

二4PONH4OMN,ZPNOZMON,

,存在点M和点N,使AMON无自相似点，且M(6,3),N(2V3,0).

21.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，△AB。的边48垂直于x轴，垂足为点B,反比例函数

y=：(x<0)的图象经过40的中点C,交4B于点D.若点。的坐标为(一4,n),且AO=3.

(1)求反比例函数的表达式;

(2)求经过C、。两点的直线的函数解析式;

(3)设点E是线段CD上的动点(不与点C、。重合)，过点E且平行于y轴的直线/与反比例函数的图象交于点尸,

求AOEF面积的最大值.

【答案】

解:(1)VABLx轴，点D的坐标为(-4,n),且AD=3,

*•.A(-4,n+3).

C为AO的中点，

...C(—2,等).

由点C,D都在反比例函数的图象上，可得一4n=-2x等,

解得n=1,

:.k=-4n=-4,

故反比例函数的解析式为y=-%

(2)由⑴可得C(-2,2),D(-4,l),

设直线CD的解析式为y=mx+b,

将其一2,2),D(-4,1)分别代入，

f-2m+b=2，

得《

1―4m+b=1,

m=,

解得2

b=3,

故经过C,D两点的直线的函数解析式为y=gx+3.

(3)设E(a,(a+3),贝

EF=-a+3-(--')=-a+3+-,

2\a/2a

SAOEF="X(-a)xQa+3+：)

£.\Zd/

=Ta+3f

点E在线段CD上，且不与点C,D重合，

-4<aV—2,

故当a=-3时，AOEF的面积最大，为%

22.如图，反比例函数y=：(kH0)图象经过点(1,2),并与直线y=2%+b交于点A(xlf%),

8(X2,丫2)，X

且满足Q1+x2)(l-1X2)=3.

(1)求k的值;

(2)求b的值及点4,B的坐标.

【答案】

解：(1)・・・反比例函数y=：(kHO)图象经过点(1,2),

2=-=>k=2.

1

(2)由题意(-x=2x+b=2=2x2+bx—2=0①

(y=2x+bx

2

=△=b+16>0(无"△"可不扣分)xx+x2=-1.x1X2=—1

则由(xi+x2)(l-X1X2)=3=(-^)(1+1)=3=b=-3.

，①为2x?—3x-2=0nX]=2,x2=—1=>yt=1>y=-4.

即A(2,1),B(-i,-4).

23.如图所示，等边三角形力BC放置在平面直角坐标系中，已知4(0,0)、B(6,0),反比例函数的图象经过

点C.

(1)求点C的坐标及反比例函数的解析式.

(2)将等边AABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值.

【答案】

过C点作CDlx轴，垂足为D,设反比例函数的解析式为y=：,

；△ABC是等边三角形，

二AC=AB=6,NCAB=60°,

AD=3,CD=sin60°xAC=yx6=373,

点C坐标为(3,3V3),

•­,反比例函数的图象经过点C,

:.k=9V3,

反比例函数的解析式y=W；

若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，

则此时B点的横坐标为6,

即纵坐标丫=迪=这，也是向上平移门=型.

622

24.如图，B为双曲线y=9X>0)上一点，直线平行于y轴交直线y=%于点力，交x轴于点D,y=：与直

\B

线y=x交于点C,若0B2-4B2=4方

(1)求k的值;

(2)点B的横坐标为4时，求△4BC的面积;

(3)双曲线上是否存在点B,使△ABC-△a。。？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】

解：⑴设D点坐标为(a,0),

人8〃丫轴，点人在直线丫=*上，B为双曲线y=；(x>0)上一点，

A点坐标为(a,a),B点坐标为(a,*,

•-AB=a-?BD=P

在RtAOBD中，OB2=BD2+0D2=(-)2+JF,

■:OB2-AB2=4,

•"­(乎+a2-(a-y=4,

,k=2：

(2)作CM1AB于M,如图，

解方程组R]:得卜=噜或卜=喟

(y-xly=V2(y=-V2

:.C点坐标为(戌,V2)

点B的横坐标为4