2024年高考数学二轮复习专题突破专题突破练10　三角函数与解三角形解答题（附答案）

专题突破练10三角函数与解三角形解答题1.(2023·天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=39,b=2,∠A=120°.(1)求sinB的值;(2)求c的值;(3)求sin(B-C)的值.2.(2023·辽宁辽阳一模)已知函数f(x)=4sin(ωx+π3)(ω>0)在区间[π6,π(1)求ω的最大值;(2)若f(x)的图象关于点(3π2,0)中心对称,且f(x)在区间[-9π20,m]上的取值范围为[-3.(2022·新高考Ⅰ,18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA(1)若C=2π3,求(2)求a2+4.(2023·广西南宁一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)(sinB+sinC)=a(sinA-sinC),(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,b=3,求a2+c2的取值范围.5.在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=(1)若cosAcosC=23,求△ABC(2)试问1a+1c=1能否成立?若能成立,求此时6.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(1)当θ=π3时,求∠OPQ(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sinθ的值.

专题突破练10三角函数与解三角形解答题1.解(1)由已知及正弦定理,得asin∵a=39,b=2,∠A=120°,∴sinB=b(2)方法一:由(1)及已知,得cosB=1-sin2B=23913,sinC=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=由正弦定理,得c=asinCsin方法二:∵b2+c2-2bccosA=a2,∴4+c2-2×2c×(-12)=整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).(3)∵C为锐角,∴cosC=1∴sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=1313×2.解(1)当x∈[π6,π]时,因为ω>所以ωx+π3∈[π6ω+π3,所以π所以ω∈[1+12k,76+2k],k∈Z又有π-π6=5π6≤所以k=0时,1≤ω≤所以ω的最大值为7(2)因为f(x)的图象关于点(3π2,0)所以3π2ω+π3=kπ(k即ω=2k3−29由(1)得1≤ω≤76,所以ω=109,则f(x)=当x∈[-9π20,m]时,109x+π3∈[因为f(x)在区间[-9π20,m]上的取值范围为[所以sin(109x+π3)∈[-则π2≤109m+π3≤所以m的取值范围是[3π203.解∵cosA1+sinA=sin2B∴由cosA1+sinA=sinBcosB得cosAcosB=sin∴cosAcosB=sinB+sinAsinB,∴sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC>0.∴sinB>0,cosC<0,∴π2<C<π,0∴sinB=sinC-∴B=C-π2或B+C-π2=π(舍去(1)若C=2π3,则0<B<∴sinB=-cosC=-cos2∴B=π(2)方法一:由正弦定理得a2+b∵C=π2+B,A+B+C=π∴A+B+π2+B=π,∴A=π2-2又0<A<π2,∴0<B<∴(*)式为sin2π2-2令cos2B=t,则t∈1于是原式=(2t-1)2+1-tt=4t2-4当且仅当4t=2t,∴a2+b2c方法二:∵sinB=-cosC,B=C-π2∴A=π-(B+C)=3π2-2又0<A<π2,∴π2<C<3π4,∴1∴sinA=sin(B+C)=sin2C-π2=-cos∴a2+b2=2+4sin4C-5sin2Csin2C=2sin2当且仅当sin2C=22时,a2+b2c4.解(1)由(b-c)(sinB+sinC)=(sinA-sinC)a,可得(b-c)(b+c)=(a-c)a,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=a2又B∈(0,π),所以B=π(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,又b=3,且由(1)知B=π3所以3=a2+c2-ac,即a2+c2=3+ac.由正弦定理,得asinA即a=2sinA,c=2sinC,又C=2π3所以ac=4sinAsinC=4sinAsin(2π3-A)=23sinAcosA+2sin2A=3sin2A-cos2A+1=2sin(2A-π6)由△ABC为锐角三角形,得0<解得π6<A<π所以π6<2A-π所以sin(2A-π6)∈(1所以ac∈(2,3],所以a2+c2=3+ac∈(5,6].5.解(1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,即12=cosAcosC-sinA因为cosAcosC=23所以sinAsinC=1因为asinA=c所以a=22sinA,c=22sinC.所以S△ABC=12·22sinA·22sinC·sinB=4sinA·sinBsinC=(2)假设1a+1c=1能成立由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,所以6=a2+c2+ac.所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.不满足a+c≥2ac,所以1a+1c6.解(1)在△POQ中,因为∠AQC=2π所以∠AQO=π又OA=OB=3,所以OQ=3设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ由正弦定理,得3sin即3sinα=cos(α-θ),整理得tanα=cosθ3-当θ=π3时,tanα=因为α∈0,π2故当θ=π3时,∠OPQ=(2)设f(θ)=cosθ3-则f'(θ)=-令f'(θ)=0,得sinθ=33,记锐角θ0满足si