高中数学教学与测试-第3章

9幕函数与二次函数

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通过具体实例，结合函数y=x,y=~,y=x2,y=«,y=V的图象了解

X

幕函数，理解它们的变化规律，了解它们的变化情况；理解并掌握二次函数的定

义、图象及性质.

1.一般地，形如y=V(aeR)的函数称为基函数，其中底数x是自变量，a

为常数.

2.二次函数解析式的三种形式.一般式：f^^^+bx+cQ#0)；顶点式：

2

/(x)=a(x-h)+k(存0)；两根式：f(x)=a(x-)(x-x2)(a#0).

n

3.有关器函数的几个结论.对于形如/(x)=x"(其中机eN*,neZ,机与〃互

质)的幕函数：

(1)当〃为偶数时，/(x)为偶函数，图象关于y轴对称；

(2)当加，〃都为奇数时，/(%)为奇函数，图象关于原点对称；

(3)当加为偶数时，x>0(或x»0),/(x)是非奇非偶函数，图象位于

第一象限(或第一象限及原点处).

4.二次函数在闭区间上的最值.

设二次函数/(x)=ax?+bx+c(a>0),闭区间为

(1)当时，最小值为/'(，”)，最大值为/(〃)；

2a

(2)当机<一24竺士时，最小值为/(一凹，最大值为/(〃)；

(3)当等〈一盘4〃时，最小值为/(_《)，最大值为/(〃?)；

(4)当-2>〃时，最小值为了(〃)，最大值为了(加).

2a

课前热身

1.己知基函数月(x)的图象经过点(4,；),则/(2)=()

1V2

A.-B.4C.—D.2

42

【答案】C

【解析】设/(x)=x「♦.♦图象过点(4,；),.•./(4)=4。=:,解得a=—

1V2

"⑵=2-二三

2.已知嘉函数1+2〃-2=1(〃eZ)的图象关于〉轴对称，且在(0,+oo)

上是减函数，则〃的值为()

A.-3B.lC.2D.1或2

【答案】B

【解析】由于/(x)为痔函数，所以f+2〃-2=1,解得〃=1或"=一3.当

〃=1时，函数/(x)=x—2为偶函数，其图象关于y轴对称，且/(x)在(0,+oo)

上是减函数，所以〃=1满足题意；当〃=一3时，函数/(x)=/为偶函数，其图

象关于y轴对称，而/(无)在(0,+oo)上是增函数，所以〃=一3不满足题意，

舍去.故选B.

3.(多选)已矢口函数/(x)=—d+2x+l的定义域为(-2,3),贝U函数/(|x|)

的单调递增区间是()

A.(-co,-1)B.(-3,-1)C.(0,1)D.(1,3)

【答案】BC

【解析】因为函数/(%)=-丁+2》+1的定义域为(-2,3),对称轴为直线

x=\,开口向下，所以函数/(|x|)满足-2<|x|<3,所以-3<x<3.又

=_/+2|幻+1=(一工+2*+1，,且/(%)=—f+2x+i图象的对称轴为

-x2-2x+l,-3<^<0,

直线厂一1,所以由二次函数的图象与性质可知，函数/(|x|)的单调递增区间是

(-3,-1)和(0,1).故选BC.

4.已知基函数的图象过点^，乎］,则此函数的解析式为,

在区间上递减.

【答案】y=”，(0,+00).

【解析】设y==因为图象过点［2,争，代入解析式得a=—；,

则y=”，由性质可知函数y=”在(0,+oo)上递减.

课堂示例

例1已知二次函数/(x)满足/(2)=-1,/(-I)=-1,且/(X)的最

大值是8,求二次函数/(x)的解析式.

【答案】f(x)=-4x2+4x+l.

【解析】法1：(利用二次函数的一般式)设f(x)=ax2+hx+c(分0).由题

4Q+2/?+C=-1,a=-4,

意得＜。一匕+。=一1,解得上=4,故所求二次函数为/(x)=-4x2+4x+7.

4ac-b2

4a

法2：(利用二次函数的顶点式)设/(x)-a(x-m)2+n(分0).V/(2)

•..抛物线对称轴为户号4又根据题意函数有最

大值8,・•・九二8,；・y=/(%)=〃+8.•//(2)=-1,/•a+8=—1，

解得。二-4,f(x)=-4+8=―4厂+4x+7.

法3：(利用二次函数的零点式)由已知/(%)+1=0的两根为玉=2,々=2,

故可设f(x)+l=a(x—2)Cx+l),即/*)=6？-or-2a-1.又函数有最大值ynax=8,

即4g2a二!)M=8,解得a=-4或。=0(舍去)，故所求函数解析式为

f(x)=-4x2+4x+7.

【情景与层级】本题情景为课程教学情景，层级为基础性.

【题眼与方法】本题的题眼为通过设出二次函数的解析式，应用选定系数法,

结合求最值的方法求得解析式.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，运算求解能力

在问题解决的过程得到了充分体现.

变式1(1)已知二次函数/(x)的图象的顶点坐标是(-2,-1),且图

象经过点(1,0),则函数的解析式为/(x)=.

(2)已知二次函数/(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长

为2,并且对任意xeR,都有/(2—尤)寸X2+x),则函数的解析式/(x)=_______.

【答案】(1)/(x)=1x2+^x-|；(2)f(x)=x2-4x+3.

【解析】(1)法1：设所求解析式为/(乃=依2+辰+。(。，0).由已知得

-j,1

2aa~9,

2

4ac-b.皿R

--——二-1,解得《人=1,所以所求解析式为=+

4。

Q+/7+C=0,5

C---

9'

-^-=-2,

2a

法2：设所求解析式为/(x)=ox2+Z?x+c(存0).依题意得，解

4a

a+b+c=0,

1

Q=

9-

得人=3所以所求解析式为/(x)=#+*|.

5

[9'

法3：设所求解析式为/(x)=a(x-〃＞+女.由已知得/(x)=a(x+2)2-1,将

点(1,0)代入，得a=[,所以/(X)="(X+2)2-1,即/(x)=+[x一怖.

(2)V/(2-x)=f(2+x)对xeR恒成立，：.f(x)的对称轴为42.又二/

(x)的图象被x轴截得的线段长为2,.•./(x)=0的两根为1和3.设/(x)的

解析式为/(x)=a(%—1)(%—3)(a/0).又•；/(无)的图象经过点(4,3),

3a=3,a=l.，所求/(X)的解析式为/(x)=(x—1)-(X—3),即/(x)=x2-4x+3.

变式2已知函数/。0凯％)=/+2%.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若方程/")=。-2'-4在区间(0,2)内有两个不相等的实根，求实数

a的取值范围.

【答案】(1)/(x)=4'+2川；(2)6＜。＜7.

【解析】⑴设E*,feR,则x=2',f(t)=22'+2-2'=4'+2'+',：.

f(x)=4x+2x+'.

(2)•.•方程/。)="2、-4在区间(0,2)内有两个不相等的实根，，

4'+(2-“)2，+4=0在(0,2)内有两个不相等实根.令2'=加，则机e(1,4),

h(m)=m2+(2-a)m+4,：.h(〃力=0在(1,4)上有两个不相等的实根，

(2-a)2-16>0,

.a—2

<<2<'解得6<a<7.

7-a>0,

28—4。>0,

例2若函数/(%=加+2"+1在［1,2］上有最大值4,则。的值为.

【答案】|

8

【解析】f(x)-a(x+1)2+1—a.①当a=0时，函数f(x)在区间［1,2］Jt

的值为常数1,不符合题意，舍去；②当a>0时，函数/(x)在区间［1,2］上是

增函数，最大值为/(2)=8a+l=4,解得。=2；③当a<0时，函数/(无)在区

8

间［1,2］上是减函数，最大值为/(I)=3a+l=4,解得a=l,不符合题意，舍去.

综上可知，a的值为士.

8

【情景与层级】本题情景为课程学习情景与探索创新情景，其考查层级为基

础性、综合性.

【题眼与方法】本题的题眼为发现对称为定值，以此为突破口，运用分类讨

论、函数的单调性解决问题.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，而转化与化归、

分类讨论、逻辑思维是解决本题的关键能力.

变式1设函数/(x)=-2x+2,Z+l］,ZGR,求函数f(x)的最小

值.

t2+1,/<0,

【答案】/(-x)min~-1,0</<l,

产—2r+2jNL

【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l,xe［t,t+l］,reR,函数图象的对称

轴为x=l.当f+lWl,即，<0时，函数图象如图1所示，函数/(x)在区间［3t+1］

上为减函数，所以最小值为/(什1)f+l；当即0<t<l时，函数

图象如图2所示，在对称轴户1处取得最小值，最小值为/(1)=1；当此1时，

函数图象如图3所示，函数/(x)在区间［3什1］上为增函数，所以最小值为f

v+1,t<0,

(力=产一2什2.综上可知，/(x)min=<1,0</<1,

z2-2r+2,r>l.

变式2若函数g(x)=x2+2/nx-/〃2在［1,2)上存在最小值2,求实数机的

值.

【答案】〃『1

【解析】g(x)-x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,此二次函数图象的对称轴为

直线广一〃?.①当2,即加4-2时，如图1,g(x)在［1,2)上单调递减，

不存在最小值；②当1(一机＜2,即-2＜最病＜-1时,如图2,g(x)在［1,-

m)上单调递减，在(一机，2)上单调递增，此时g(x)min=g(-m)=-2疗H2；

③当—即机上-1时，如图3,g(x)在［1,2)上单调递增，此时

g(X)min=g(D=l+2小一加2,令l+2m-〃r=2,解得m=1.综上，m=l.

图1图2

新题在线

已知函数/。)=［:-2皿+6'"：叫其中m＜o,若存在实数鼠使得关于万

x,x＞m9

的方程/(x)—后0恰有三个不同的实数根，则，”的取值范围是()

A.(—oo,—3)B.(—oo,—6)C.［—3＞0)D.(一6,0)

【答案】B

x2-2mx+6,x<m,

【解析】当机＜0时,作出函数/(x)=，

x2,x>m,

象如图所示,当/(%)=x2-2mx+6=(x-m)2+6=(x-m)2+6-nr26—加？时，

机<0,所以若要存在实数匕使得关于x的方程/(x)—仁0恰有三个不同的实

数根，则必须6-><m~(m<0)>解得/〃<，所以加的取值范围是(一oo,

-V3).故选B.

课堂反馈

1.函数/*)=依2+3-3»+1在区间[-1,+oo)上是递减的，则实数。的取值

范围是()

A.[—3,0)B.(—8,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]

【答案】D

【解析】(1)当。=0时，f(x)=—3x+l在[―1,+oo)上递减，满足题意.

,<0,

当。加时，/'(x)的对称轴为犬=匕£,由/(x)在[-1,+8)上递减知J3-a

2a----<-1,

I2a

解得-3Wa<0.综上，a的取值范围为[—3,0].

'7'

2.若函数y=/-3x+4的定义域为[0,m],值域为二,4,则机的取值范围

为()

3)

A.(0,4]B.P4-2D.-,+oo

2'2,

【答案】C

【解析】丁=%2_3%+4=(4一|)+(的定义域为[0,刈，显然，在x=0时,

产4,又值域为-,4,根据二次函数图象的对称性知故选C.

.4J2

3.(多选)设函数/(x)=a?+法+。(。和)，对任意实数r都有/(4+/)=f

(一t)成立，则函数值八一1),八1),八2),1A5)中，最小的可能是()

A./(-1)B./(1)C.f(2)D./(5)

【答案】ACD

【解析】因为对任意实数t都有f(4+0=于Q-t)成立，所以函数

f(x)=ax2+bx+c(存0)的对称轴是％=2.当a>0时，函数值/(—1),/(1),

/(2),/(5)中，最小的是/(2)；当a<0时，函数值/(一1),/(1),/(2),

f(5)中，最小的是/(一1)和/(5).

4.设二次函数/。)=以2一2ax+c在区间[0,1]上单调递减，且/(0),

则实数，〃的取值范围是.

【答案】［0,2］

【解析】依题意存0,二次函数/(X)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=l,

因为函数/(x)在区间［0,1］上单调递减，所以a>0,即函数图象的开口向上,

所以7(0)寸(2),则当/(㈤W/(0)时，W0<m<2.

练习巩固「

1.若幕函数y=x,y=x"'与丫=尤"在第一象限内的图&

象如图所示，则m与n的取值情况为1,

()0\1~~T

A.-l<m<0<n<lB.—l<n<0<7?7第1题图

C.—l<m<0<nD.—l<n<0<m<l

【答案】D

【解析】基函数>=j，当a>0时，丫=/在(0,+00)上为增函数，且0<々<1

时，图象上凸，，0<〃2<1；当。<0时，y=x”在(0,+oo)上为减函数，不妨

令x=2,根据图象可得2T<2",...-K”。，综上所述，故选D.

2.函数/(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数，且在(0,+oo)上单调递增，则

/(2—x)>0的解集为()

A.{x|-2<x<2}B.{x\x>2,或x<-2}

C.{x|0<x<4}D.{x|x>4,或x<0}

【答案】D

【解析】函数/(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数，则b—2a=0,故

f(x)=ax2-4a=a(尤一2)(x+2),因为在(0,+oo)单调递增，所以a〉0.根据

二次函数的性质可知，不等式f(2-x)>0的解集为{x|2-x>2,或

【答案】B

【解析】因为图象与x轴交于两点，所以〃一4农、>0,即〃>4ac,①正确；

h_

对称轴为x=-1,即---=-1,2a~b=0②错误；结合图象，当x=-1时，y>0,

2a9

即a-Hc>0,③错误；由对称轴为二一1知，。=2%又函数图象开口向下，所

以〃<0,所以5。<2。，B|J5a<b9④正确.

4.若函数/(%)=d-2%+1在区间区a+2]上的最小值为4,则实数。的取值

集合为()

A.[—3,3]B.[—1,3]C.{13,3}D.{-1,-3,3}

【答案】C

【解析】因为函数/(x)=x2-2x+l=(x-l)2的图象的对称轴为直线x=l,/

2

(尤)在区间［a,a+2］上的最小值为4,所以当a21时，f(x)min=/(a)=(a-1)=4,

a=~\(舍去)或a=3；当a+2Wl,即aW-1时，/5久而=f(a)=(a-=4,

a=l(舍去)或。=一3；当a<l<a+l,即一l<a<l时,/(x)min=/(l)=0^4.

故a的取值集合为{-3,3}.故选C.

5.(多选)已知函数/(X)=|炉一2ax+6|(xeR),给出下列命题,其中是真

命题的是()

A.若片一AW0,则/(x)在区间[a,+oo)上是增函数

B.存在aeR,使得/(x)为偶函数

C.若/(0)=/,(2),则/(x)的图象关于41对称

D.若/_b一2>(),则函数力(x)=f(x)—2有2个零点

【答案】AB

【解析】对于选项A,a2-b<0,BlJ/(x)=|(x-a)2+b-a2\

-(x-a)2+b-a2在区间[a,+8)上是增函数，故A正确；对于选项B,

当a=0时，/(x)=|》2+切显然是偶函数，故B正确；对于选项C,取a=0,b=

-2,函数/(%)=|炉一2"+加化为/(。=|炉+2|,满足/(0)。(2),但/(%)

的图象关于不对称，故C错误;对于选项D,如图，/一人一2>0,即a2-b>2,

则f(x)=|(x—a)?—8—4।一2有4个零点，故D错误.

—A?2—9rX<()

6.(多选)已知函数/(X)=(.''一[若X]<X,<演<*4，且

\log2x|,X>O,

/(为)=/(w)=f(x3)=/(%4),则下列结论正确的是)

A.x}+x2=-1B.^x4=4C.1<x4<2D.0<<1

【答案】BCD

【解析】画出函数/(x)的大致图象如图，得出

占+工2=-2,-log2x3=log2x4,贝U刍%4=1,故A错误，B

正确；由图可知1<%<2,故C正确；因为-2<%<-1,

=玉(-2—X］)=—x；—2玉=—(玉+1)~+1€(0,1),所以玉龙无4=龙/,e(0，

1),故D正确.故选BCD.

7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为户2,最小值为一1,则它的解析

式为.

【答案】f(x)=^x2-2x+］

【解析】依题意可设/(%)=。。-2)2-|(。>0),又其图象过点(0,1),

所以4a—"1=1,所以a=g,所以/(x)=；(x-2)2-1=:炉-2x+l.

8.y=，2加+4%+0-1的值域为［0,+00),则。的取值范围是.

【答案】［0,2］

【解析】当a=0时，y=J4x-1,值域为［0,+oo),满足条件；当存0时，

要使y=j2/+4x+a-1的值域为［0,+8),只需产。,"解得

［A=16-8(a-l)>0,

0<aV2.综上，0<a<2.

/i\ax2-4x+3

9.已知函数f(x)=(J.

(1)若a=~l,求/(x)的单调区间；(2)若/(x)有最大值3,求a的值；

(3)若/(无)的值域是(0,+oo),求a的值.

【答案】(1)单调递增区间是(-2,+oo),单调递减区间是(-8,-2)；(2)

1；(3)0.

/［、厂—4x+3

【解析】(1)当a=-1时，/(%)=fjj,令/(》)=一X2一4%+3,由于

g(X)在(-00,-2)上单调递增，在(-2,+00)上单调递减，而指数函数y=

在R上单调递减，所以/(x)在(一00,-2)上单调递减，在(-2,+00)上

单调递增，即函数/(x)的单调递增区间是(-2,+oo),单调递减区间是(一8,

-2).

(2)令8(幻=加-4》+3,/0)=(；),由于/(x)有最大值3,所以g

a>0,

(x)应有最小值一1,因此必有，3a-4解得。=1，即当/(龙)有最大值3

-----=-1,

Ia

时，。的值等于1.

(3)令g(x)=or2_4x+3,=,由指数函数的性质知，要使

/(x)=Q的值域为(0，+8).应使g(x)="2_4尤+3的值域为R,因此只能

a=0(因为若存0,则g(x)为二次函数，其值域不可能为R).故/(x)的值域

为(0,+oo)时，a的值为0.

10.已知函数f(x)=x2+(2a—1)x—3.

(1)当。=2,xe[—2,3]时，求函数/(x)的值域；

(2)若函数/(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数。的值.

r71"I1

【答案】(1)-—,15；(2)a=--或一1.

L4J3

【解析】(1)当。=2时，y(x)=f+3x_3,xe[-2,3],对称轴为彳=一^6

[—2,3],A=/ML/⑶=15,函数/

(x)的值域为-一,15.

_4_

(2)函数f(x)的对称轴为x=一次二L①当一网二141,即时，

222

/(x)max=A3)=6a+3，.•.6a+3=l，即。=一;，满足题意；②当一即

。<一；时，/(x)max=/(—1)=-2a—1,...—2a—1=1,即a=-1,满足题意.综上

可知，a=一!或一1.

3

思考运用

11.设函数/(》)=g2_如-1,若对于xe[l,3],/(x)<-w+4恒成立，则

实数机的取值范围为()

A.(-00,0]B.(0,-)C.(-00,0)U(0,-)D.(—8,-)

777

【答案】D

【解析】由题意，f(x)〈一根+4对于xe[l,3]恒成立，即加(j?一x+])<5对

于xe[l,3]恒成立,当xe[l,3]时，x2-x+lG[L7],.,.不等式/(%)<-m+4

等价于加<2§，二•当x=3时，25,取最小值H,若要不等式

机<一一对于xe[l,3]恒成立，则必须满足相<』，因此，实数机的取值范

x—x+17

围为(-8,—),故选D.

7

12.(多选)若函数/(幻=|如2_(2m+1次+〃7+3|恰有4个单调区间，则实

数机的可能取值是)

A.-2B.-1D.0

4

【答案】ABC

【解析】若/(x)=|/nr?-(2加+1口+m+3|恰有4个单调

区间，则等价为函数>=如？-(2m+l)x+加+3与x轴有两

个不同的交点，即〃伊0且判别式

A=(2m+1)2-4m(m+3)>0,即

4m2+4m+1-4m2-12m>0»即—8/w+l>0,解得m<,且即实数机的取

8

i31

值范围为(-8,0)U(0,一)，在此范围的“2可以是-二，一1,—,故选

8410

ABC.

’9

尤+“'-2(尤<c

13.已知函数/(x)=1'若c=0,则/(x)的值域是_____；若

一,c<xW3.

八)的值域是一!'2'则实数C的取值范围是一,

【答案】［-1,-),人“

【解析】当c=0时，当xe［—2,0］时,/(x)

当xe(0,3］时，fCx)e；,+oo),所以/(x)的值域为-；,+oo).作出y=r2+x

和y=，的图象如图所示，当/(x)=-1时，%=-—；当f+x=2时，户1或产

x42

-2；当：=2时，x=g由图象可知当/(无)的值域为-;,2时，需满足gwl.

14.已知值域为［—1,+oo)的二次函数f(x)满足/(—1+JC)=f(―1—x),

且方程f(x)=0的两个实根西,与满足1%-々1=2.

(1)求/(%)的表达式；

(2)函数g(x)弓(x)—"在区间［—1,2］上的最大值为7(2),最小值

为/(一1),求实数&的取值范围.

【答案】(1)/(x)=x2+2x；(2)(—oo,0］.

【解析】(1)由/(一1+x)=f(―1—x)可得/(x)的图象关于直线x=-1

对称，IS/(x)=6z(x+l)2+/z=o¥24-2ar+6z+/z(ar0),由函数/(x)的值域为［一

1,+00),可得/?=-1.根据根与系数的关系可得玉+々=-2，内X,=l+4,所以

a

I-------------/4h

|玉一%21=Ja+工2)2-4%尤2=J----=2，解得4=1，所以/(X)=X?+2x.

(2)由题意得函数g(x)在区间［-1,2］上单调递增，又

ck-9k-7

g(x)=f［x］-kx=x~-(左-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=2，则2，

即ZW0,故％的取值范围为(-8,0］.

15.若函数/(x)在阿，n］(m<n｝上的最小值为f且满足t〈机，则称函数

f(x)在［加，n］Cm<n)上具有“DK”性质.设/(x)=a?—x+2a—l.

(1)若”=1,判断函数/(%)在［1,2］上是否具有“OK”性质，说明理由；

(2)若。〉0,函数/(外在［1,2］上是否具有“OK”性质，求。的取值范

围.

【答案】(1)略；(2)(0,1］.

【解析】(1)因为a=\时，f(x)=x2-x+\,所以xw［l,2］时，

/(x)mm=/(l)=lKl，所以/(X)在［1，2］上具有"DK”性质.

(2)因为a>0,f(x)=u\x----1+2a------1,xe［l,2］.(T)当0<—<1,

J<2a)4a2a

即时，/(x)在［1,2］上是增函数，所以/(Mm"/⑴=3。-2,因为/(x)

在［1,2］上是否具有“OK”性质，所以3a—2W1,所以②当1<」-<2,

22a

即时，f(x)==-因为/(无)在［1,2］上是否具有

42min\2a/4a

3"性质，所以T得f所以上《.③当

—>2,即0<4《工时，/(x)在［1,2］上是减函数，/(初皿=/(2)=6。-341恒

2a4

成立，满足函数/(X)在口，2］上具有“DK”性质，所以0<a〈L综上所述，

4

函数f(x)在［1,2］上具有“DK”性质时，。的取值范围为(0,1］.

拓展探究

已知aeR,若函数/(x)=；V—|x—20有三个或者四个零点，则函数

g(x)=尔+4x+l的零点个数为()

A.1或2B.2C.1或0D.0或1或2

【答案】A

【解析】•••函数/(x)=；Y—|x-2a|有三个或者四个零点，

二函数皿x)=与函数力(x)=|x-2a|有三个或者四个不同的交

点，作函数加(x)=；V与函数/均=|%一2〃|的图象如图所示，结合图象可知,

-0.5<2a<0.5,故一当a=0时，B^^(x)=ax2+4x+lW一个零点;

44

当存0时，A=16-4a>0,故函数g(x)=ax?+4x+l有两个零点.故选A.

10指数与对数

本课导航

了解指数暴的拓展过程，掌握指数暴的运算性质；理解对数的概念和运算性

质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

1.分数指数累.

(1)我们规定正数的正分数指数嘉的意义是/=痂(a>0,机，〃GN*,

且〃>1).于是，在条件a>0,a,neN*,且“>1下，根式都可以写成分数指

数幕的形式.正数的负分数指数幕的意义与负整数指数幕的意义相仿，我们规定

-色1

a"=—(。>0,根，neN*,且〃>1).0的正分数指数基等于0；0的负分数

an

指数幕没有意义.

(2)有理数指数哥的运算性质：a'as=ar+s,(")'="*,(ab)r=arbr,其

中a〉0,b>0,r,seQ.

2.对数的概念.

一般地，如果优=N(a>0,且存1),那么数x叫作以。为底N的对数,

记作x=log“N,其中。叫作对数的底数，N叫作真数.

3.对数的运算法则与性质.

(1)对数的运算法则：如果a>0,且存1,Al>0,N>0,那么

①log“(MN)=log„M+loguN；

②logo.=log“M一log”N；

③log“M"=nlog(,M(〃eR).

(2)对数的性质：①/《N=N；②log/=N(a>0,且存1).

(3)对数的换底公式：log/=^&(a>0,且存1；c>0,且存1；b>0).

log,a

课前热身

1.下列各式正确的是()

A.(Va)3=nB.«/7)4=-7C.(V«)5=|a|D."=a

【答案】A

【解析】A.(正尸=a正确；B.(</7)4=7,故B错误；C.(V^)5=«,故C错

误；W/=|a|,故D错误.

_3

2,若(3-2幻々有意义，则实数x的取值范围是()

A.(-8,+8)B.1-°°,T)ulT'”)

D.停+8

【答案】c

-13

【解析】要使(3-2尤)4有意义，需使3—2x>0,SPx<-.

2

3.(多选)有以下四个结论，其中正确的是()

A.lg(lgl())=()B.ln(lne)=()

C.若10=lgx,则410D.若e=lnx,则x=e?

【答案】AB

【解析】lg(lglO)=lgl=O,ln(lne)=lnl=(),故AB正确；若l()=lgx,则

x=1(严，故C错误;若e=lnx,则％=3,故D错误.

4.lgg+21g=-----------

【答案】-1

【解析】lg|+21g2-W=lg5-lg2+21g2-2=lg5+lg2-2

=lgl()-2=-l.

课堂示例

例1求值：

(1)(3公+。产+管丫“。_1鸣32；

log63

(2)log3V27-log,2-log,3-6-1gV2-1g>/5.

【解析】(1)原式=

210-1x1-21325

(3++(I)-l-log22=^+100+1-l-|=99.

23]

(2)>5^=10§332-1-3-^^=--4--=-3.

【情景与层级】本题情景为课程学习情景，层级为基础性.

【题眼与方法】本题的题眼为小数化分数、带分数化假分数、底数或真数转

化为分数指数基形式，通过化简整理转化为可以运用指数、对数运算性质形式.

【能力与素养】本题考查的学科素养为数学运算，培养学生运算求解能力.

变式1求值：

-2

(1)0.027-5+256

(2)2(lgV2)2+1gV2.1g5+7dgV2)2-1g2+1.

【解析】(1)原式=f—"l3-36+26--+l=—+28--+1-32；

333

(2)原式=1g及(21g&+1g5)+J(lg&-1)』=1g及(1g2+1g5)+1-1g夜=1.

2

-2

变式2(1)计算：-2e°+Igl-lg4+lg5+log34xlog49.

fi

(2)已知A=log/8,B=log3(9-A),求实数B的值.

【解析】(1)原式=

9ins3291

--2+0-2(lg2+lg5)+21og,2x——='—2+0-2+2=—；

421og3244

B

(2)•；A=log/8=6,AB=log3(9-6),，3“=(3">-6；即

(38)2-38-6=0,，3"=3或3"=-2(舍)，：.B=\.

例2已知log“2=机，log“3=〃，求/…的值.

【解析】•.♦log“2=/w,log“3=〃，.♦.〃"=2,a"=3,：.

/〃,-"=a2,n+膻=gmy+屋=22+3=±

3

【情景与层级】本题情景为课程学习情景，其考查层级为基础性.

【题眼与方法】本题的题眼为将对数式转化为指数式.

【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，而转化方法是

解决本题的关键能力.

变式1已知a,b,c为正实数，a'=hy=cz,—+—+—=0,求的值.

xyz

【解析】言"，。为正实数，ax=by=cz=k>O,k^\,：.x=^,y=跃,

IgaIgb

z工vl+l+l=0,二应蛀辿=幽"=0,...g

IgexyzTgkIgk

变式2设X,y,z均为正数，且3'=4V=61

（1）试求X,y,Z之间的关系；

（2）求使2x=py成立，且与p最近的正整数（即求与。的差的绝对值最小

的整数）；

（3）比较3x,4y,6z的大小.

【解析】设3'=4"=&=3由x,y,z均为正数知，＞1,故取以，为底的对

数，币」得xlog,3=ylog,4=zlog,6=1,/.x=------,y=--------，z=--------

log,3-log,4log,6

⑴

l-j=log,6-log,3=log,2=ilog,4=^y,z之间的关系为

£

zx2y

2r2

(2)p=—=-------108,4=240834=108316,由9<16<27,得

y1呜3

log39<log316<log327,从而2Vpv3.而p-2=log316-log39=log3^,

Q,k127,1627256,.1627.

3—p=log27—log?16—log^—.由—：---------->1知n—>—,・♦

3331696243916

p—2=log,—>log,—=3-/.从而p>-，所求正整数为3.

916?2

(3)V

3x-4y=31og.f—41ogJ=也-史史=[2J吐1蚀21lgt=庶’(lg43-lg34),

lg3lg4IIg3.lg4)6Ig3-lg4°S

而lgf>(),lg3>(),lg4>0,Ig43<lg34,，3x<4y.又：

4y-6z=2(2log41-3log61)=

2翳鼾笔胃=笔”，而叱。」一

lg6>0>lg62<lg43,4y<6z.故有3x<4y<6z.

新题在线

（多选）已知2、=3,3V=4,则()

3

AA.x<一B.xy=2C.x>yD.x+y>2V2

2

【答案】BCD

【解析】因为2*=3,3,=4,所以x=log23,y=log34.对于A,因为

2

^log22=log2V8<log23=x,所以x>?对于C,因为

xy=log,31og34=log24=2；对于D,因为x>0,y>0,所以x+y22^^=2>/2,

又因为在y,所以x+y〉2夜.故选BCD.

课堂反馈

1.化简［(-6)2户的值等于

x/3

B.V3D.-V3

【答案】C

【解析】［(-6)2］弓=3.11_73

2.设Iog34-log48・log8m=log4164[]in的值为

【答案】B

【解析】13log34-log48-log8m=log416,则log?加=log44?=2,即

log,m=log,32,解得m=9.

172

3.（多选）已知Q=G6,b=10^,C=6啕3，则〃,/?,c的大小关系为（）

A.a>bB.a>cC.c>hD.c>a

【答案】ACD

nni_jj_

【解析】。=庄=3五=（3°）w，8=103=（]（）4）万，因为3曾>1（）4,故

而log23>log22=1,则a=<（&）3=36<6<，故c>a,故c>a>b.

4.已知a=log25,4"=9,贝i」2"+”=,log53=（用a,b表

示）.

【答案】15；

a

【解析】因为a=log25,4"=9,则2"=5,2"=3,2""=2"x2〃=15,所

log23_Z?

以log23-h,log53

log25a

练习巩固

1.已知〃严=2,则〃尸