高考数学第三轮总复习资料

高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练

例1.解关于X的不等式：/+/<(4+&2口(aeR)

例2.解关于x的不等式ax2+2ax+l>0(aeR)

例3.解关于x的不等式ax2-2,2x-ax(a6R)(西城2003,一模理科)

例4.已知函数f(x)=cos'x+asinx-a'+2a+5.有最大值2,求实数a的取值.

例5.设｛aj是由正数组成的等比数列，S”是其前n项和，证

明：虫”&用巫！>叫05sm.

例6.设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此双曲线的离心率.

q(l-x),,

------------+1

例7.解关于x的不等式542<1.

课后练习：

1.解不等式log*(5/—8x+3)>2

2.解不等式|log|x|+|log](3—x)|Wl

23

cix—5

3.已知关于x的不等式牛—<0的解集为M.

x-a

(1)当a=4时，求集合M:

(2)若301,求实数a的取值范围.

4.在xOy平面上给定曲线/=2x,设点A坐标为(a,0),aeR,求曲线上点到点A距离的

最小值d,并写成d=f(a)的函数表达式.

2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练

例：由y=«图象，经过如何变换可得下列函数图象？

<1>y=<2〉y=

例：y=f(x+3)的反函数与y=〃(x+3)是否相同？

X

例1.判断函数/(X)=(1+次火・依2)・5抽%的奇偶性及周期性。

例2.〈1〉设f(x)定义在R上的偶函数，且/(x+3)=-——,又当xG[-3,-2]时，

f(x)

f(x)=2x,求f(113.5)的值。

<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当xG(0,1)时,f(x)=x+l.^f(x)it(l)2)

上的解析式。

例3.<1〉若xW(1,2)时,不等式(x-D'logaX恒成立,求a的取值范围。

〈2》己知二次函数f(x)=x?+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t),且在闭区间Z[m,0]上有

最大值5,最小值1,求m的取值范围。

X—5

例4.已知函数/(X)=log"-------,(H>0且"1).

x+5

⑴判定f(x)在X6(-8,-5)上的单调性，并证明。

(II)设g(x)=l+loga(x-3),若方程f(x)=g(x)有实根,求a的取值范围。

练习：

己知f(X)是定义在［T,1］上的奇函数，且f⑴=1，若m,nC［T,1］,m+n#O时，有

f(m)+f(n)

＞U。

m+n

＜1＞用定义证明f(x)在［T,1］上是增函数。

＜2＞若f(x)Wt?-2at+l对所有aW［-l,1］恒成立,求实数t的取值范围。

参考答案：

(2)|t|22或t=0.

2006年高三数学第三轮总复习排列与组合押题针对训练

例1.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

(2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

例2.已知两个集合A={1,2,3},B={a,b,c,d},从A到B建立映射，问可建立多少个

不同的映射？

例3.求证：PJ+mPT'PnJ

例4.解方程=14QP：

例5.7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。

(1)甲排中间；(2)甲不排两端；(3)甲，乙相邻：

(4)甲在乙的左边(不要求相邻)；(5)甲，乙，丙连排；

(6)甲，乙，丙两两不相邻。

解：(1)甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故

共

例6.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数

的个数：

(1)奇数；(2)5的倍数；(3)比20300大的数；

(4)不含数字0,且1,2不相邻的数。

例7.直线与圆相离，直线上六点A,A”感，A.l,As,As,圆上四点B“B2)B”B„任

两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？

2006年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练

例1.(1)已知-求a+p与a-。的范围。

(2)己知a的终边在第二象限，确定兀-a所在象限。

例2.若人=小鼠=豆，keZ},B={x|x=—+—,keZ},则AB。

424

例3.设0＜。＜2兀，问5。与角。终边相同，求0。

例4.若Jl~C°S^=ctgG-cscG,求。取值范围。

V1+cos。

例5.已知sin（兀一a）—cos（兀+a）=^^,—<a<7i.

32

求：(1)sina-cosa的值(2)sir?(工+a)+cos'(工+a)的值

22

例6.已知sin(a-兀)二2cos(。-2兀)，求下列三角函数的值：

sin(%+a)+5cos(2%—a)-5.

(1)-----------------------(2)l+coso2a--sin2oa.

3442

3sin(----a)-cos(—+a)

22

例7.求函数y=A/25-X2+logsinx(2sinx-l)的定义域。

we-、〒seca+tga+11+sina

例8.求证：-------2----=-------.

seca-tga+1cosa

1.如果。是第二象限角，则e所在的象限是()

2

A、第一象限B、第一或第三象限C、第二象限D、第二或第四象

2.在下列表示中正确的是()

A、终边在y轴上的角的集合是｛aa=2k7r+-,keZ｝

2

B、终边在y二x的直线上的角的集合是｛a|a二ke三，keZ)

4

C、与(-2)的终边相同的角的集合是｛a|a二kk工，kwZ｝

33

D、终边在尸-x的直线上的角的集合是｛aa=2k兀-工，keZ)

4

3.若水0<，,则2恒恒11训等于()

2

A、sin(OF)B、一sin。C、cos(TU-0)D、-CSCO

4.函数y=2sin(4+—)在[兀，2扪上的最小值是()

26

A、2B、1C、-1D、-2

5.已知函数y=cos(sinx),下列结论中正确的是()

A、它的定义域是[T,1]B、它是奇函数；

C、它的值域是[0,1]D、它是周期为兀的函数

6.设0<x〈工，下列关系中正确的是()

4

A、sin(sinx)<sinx<sin(tgx)B、sin(sinx)<sin(tgx)<sinx

C、sin(tgx)<sinx<sin(sinx)D、sinx<sin(tgx)<sin(sinx)

7.若sint=3,cos-=--,则0w[0,2扪，终边在()

2525

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

8.如果一弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是()

A、sin-B、-C、-1—D、2sin-

26.12

sin—

2

9.化简三角函数式tg(杵1兀+9兀)(keZ),结果是()

.7171八67rn71

A、tg—Dsctg—C、ctg—D、—tg—

10.设ae(0,1),A=(cosa)sine,8=(seca)""的大小是()

A、A>BB、A>BC、A<BD、AWB

答案：BBDCDADCBC

正、余弦函数的有界性在解题中的作用

例1.若实数x满足log2X+2sin〃=3,求卜一2|+忖一3彳的值。

例2.在A43C中，cos(A—8)+sin(A+B)=2,试判定三角形的形状。

AA-CAC3

例3.已知四边形ABCD中的角A、C满足8s2-------4-sin2-+sin2—=-

3324

求证：B+D=7T

例4.已知函数/(x)=ax+〃，2a2+6/?2=3,求证：对于任意工式一1,1],有

I/M<&。

例5.证明：1♦#11+#os/424。

例6.复数Z],z2,Z3的幅角分别为a、/、y,|Z||=1»|22|=^>\z3\=2-k,

且4+Z2+Z3=0,问k为何值时，cos(〃—力分别取得最大值和最小值，并求出最大值

和最小值。

例7.设。为无理数，求证：函数/(x)=cosx+cosax不可能是周期函数。

证明：假设/(x)是周期函数，则存在常数TH0,使对于任意的x,

cos(x+T)+cosa(x+T)=-cosx+cosax都成立。

令x=0得，cosT+cosaT=-cos0+cos0=2

因为|cosT|Wl,|cosal|KL所以cosT=cosaT=1

从而T=2K%,aT=2"(K,L为整数)

所以"U

L

此时K,L为整数，则7为有理数，但a为无理数,这是不可能的，故命题成立。

1.（2002年全国）在（0,2兀）内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（）。

.7T冗、5万、.7C、

A、（丁（万，二）B、（丁，乃）

4244

解：在（一,一）内，sinx>cosx,在［—，万］内sinx〉cosx；在（肛'~-）内，sinx>cosx；综

4224

上,:.应选C。

2.（2001年全国）吆300P+ag40N的值为（）。

A、1+V3B、1-V3C、-1-V3D、-1+V3

解：fg30（f+c/g40十

=火（364—60°）+bg（36（f+45°）

=-fg6O°+cfg450

=-y13+1

应选B。

3.（1998年全国）已知点P（sina-cosa,tga）在第一象限，则在［0,2兀］内a的取值范围是

（）

.K3万、/5万、.TC、,57c.

A、（二丁）5匹一T）B、"Uy)

244

,7i3万、,5兀3万、7T4、An、

c、（-,一）5—,一）D、(-一,一)5—，乃)

2442423

sina-cosa>0sina>coscr

解：由题设，有，tga>0=><小乃、/3%、

aG(0,—)u

0<a<2TT

在［0,2%）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在

a弋苧时,

sina>cosa»

71715兀、

•'•as(―,—))

424

应选B。

4.(1998年全国)sin600。的值是()。

73

D、~T

解：sin6000=sin(360°+240°)=sin240°

=sin(180°+60°)=-sin60°

-----V--3-

2

应选D。

2006年考前必练数学创新试题数列经典题选析

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占

有重要的地位.

一、等差数列与等比数列

例1.A={递增等比数列的公比},B={递减等比数列的公比},求ACB.

解：设qGA,则可知q>0(否则数列为摆动数列).

由a„+i—a„=ai•q"—ai•qn-1=ai,q"-1(q—1)>0,得

当a>0时，那么q>l；当aVO时，则OVqVl.

从而可知A={q0<q<l或q>l}.

若qWA,同样可知q>0.由a«+i—an=ai•q"-a】•qi=ai•q"-'(q—1)<0,得

当ai>0时，那么0<q<l；当ai〈O时，则q>l.

亦可知B={q|(KqQ或q>l}.

故知AAB={q0<q〈l或q>l}.

说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！

例2.求数列1,(1+2),(1+2+2?),……,(1+2+2?+……+2n»……前n项的

和.

分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律.而通项

1.(1—9")

又是一等比数列的和.设数列的通项为a0，则a“=l+2+2,+……+21=—=2"

1~2

-1.从而该数列前n项的和

S„=(2-l)+(22-l)+(2a-l)+-+(2n-l)

=(2+22+23+-+2")—n=2.：(1—r2")-n=2n+1-n-2.

1—2

说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：s〃(4+生):叫+"("T)d

22

n%(q-1)

2、等比数列求和公式：S“=,6(l—q")%—a"q/八

"-4~~—(q*1)

I"q1-4

3、S“=Z%=3"(〃+1)

k=\2

4、S“=£22=_L〃(〃+D(2“+I)

M6

5、5"=工/=中(〃+1)]2

A=12

常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和;

分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。

例3,已知等差数列｛aj的公差d=g,Sioo=145.设S奇=21+a3+25+....+a99,S'

=a3+%+ag+....+a99,求S奇、S'.

解：依题意，可得S济+S偶=145,

即S奇+(S奇+50d)=145,即2s奇+25=145,解得，S奇=120.

又由Sioo=145,得=145,故得ai+aioo=2.9

S'=a3+a6+&>+....+a§9

(as+agg)33(a2+aioo)33(0.5+ai+aioo)33(0.5+2.9)33

=-22=--------2--------=------2------=L7•33;

56.1.

说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！

例4.在数列｛&,｝中，ai=b(bW0),前n项和S“构成公比为q的等比数列。

(1)求证：数列｛aj不是等比数列；

(2)设■=aS+a2s2T---Fa„Sn)|q|<l.求limb”。

解：(1)证明：由已知，=ai=b

•••｛SJ成等比数列,且公比为q。

/.S„=bq"Sn-i=b,q"'(n^2)»

当n》2时，an=S“一$"-i=bq"T—bq"T=b•(q-1),q"-2

b(q—1)*qn~1

故当qWl时，—

Hn=b(qf)二口

而史=^U=q—IWq,，瓜)不是等比数列。

3.1D

当q=l,n22时，an=0,所以｛aj也不是等比数列。

综上所述，瓜｝不是等比数列。

(2)V|ql<b由(1)知nN2,a2,a3,&i,…，a”构成公比为q的等比数列，，a2s2,

a3s3,…，aS是公比为小的等比数列。

/.bn=b2+a2S2•(l+q,+q'+…+q”'T)

_

VS2=bq,a2=S2Si=bq—b

/.a2s2=b"q(q—1)

]_2n-2

22Q

/.bn=b+bq(q-1)•1

1—q

V|q|<l

2n-2

/.limqI=0A

“f8

]

limb„=b2+b2q(q—1)•-----j=73^

“781—q1+q

说明：l+/+q'+…+q211T的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时

要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n-8时,

数列变化的趋势。

二、数列应用题

例5.（2001年全国理）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，

并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5•本

年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游

业收入每年会比上年增加;。（I）设〃年内（本年度为第一年）总投入为&万元，旅游业总

收入为4万元.写出4的表达式（II）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

15

解：第1年投入800万元，第2年投入800X（1—工）万元……，~

第〃年投入800X（l-1）i万元

5

114

所以总投入a=800+800（1—£）+……+800X（1—3）1=4000[1-（-）〃]

同理：第1年收入400万元，第2年收入400X（1+"）万元，……，

第〃年收入400X（1+]）i万元

115

瓦,=400+400乂（1+彳）+...+400X（1+"）""'=1600X[（：）"-11

54

（2）：.b-a„>0,1600E（7）"-1]-4000X[1-（T）"]>0

40

45

化简得，5X（-）/?+2X（7）〃-7>0

54

4242

设x=（三5f—7x+2>0,x>l（舍）即（三）/?<7,"25.

5555

说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知

识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道

命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关

系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一

数学模型，得出符合实际意义的解答。

例6.某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已

达30册从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与

此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。

（1）设全县面积为1,2001年底绿化面积为a尸而，经过n年绿化总面积为3田

44

求证an+l=^+gan

（2）至少需要多少年（年取整数，lg2=0.3010）的努力，才能使全县的绿化率达到60%?

⑴证明:由已知可得an确定后,an+i表示如下：an+j=an（l—4%）+（1—an）16%

44

即a+i=80%a+16%=ra+-

nn□nzo

44

（2）解：由a«i=Ta+就可得：

+0Jo

12

7(a„--)=(5)(an-l-7)=•・飞/①飞)

1443144314

-r+---^-^

故有an+i=24552020

两边同时取对数可得一lg22(n—1)(21g2—lg5)=(n—1)(5-31g25-—1)

故n4号$+1>4,故使得上式成立的最小nGN+为5,

1—31g2

故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.

三、归纳、猜想与证明

例7.已知数列｛aj满足Sn+an=；(nL，+3n—2),数列｛bj满足bi=a1,

且bn=a„—an-i—1(n^2).

(1)试猜想数列｛a｝的通项公式，并证明你的结论；

2

解：(1)VSI.+an='|(n+3n—2),Si=ai,/.2ai=^(1+3X1—2)=1,

2

ai=|=1—1.当n=2时，有J+2a2=1(2+3X2—2)=4,a2=2=2一J

猜想，得数列｛a。｝的通项公式为a,,=n—/

⑵若a=bi+b2T----卜bn,求lime”的值.

n—>oo

17231

当n=3时，有J+7+3a=8,/.a=v=3—.73

Z433oZ

用数学归纳法证明如下:

①当n=l时，ai=l—,等式成立.

②假设n=k时，等式ak=k—/成立，那么

22

(k+l)+3(k+l)-21rk+3k-2,

n=k+l时，ak+i=Sk+i—S=['-a+iJ-L----g----一仇」,

k2k

..,.2ak+i=k+2+ak,2ak+i=k+2+(k—/),

品,即当n=k+l时，等式也成立.

ak-ri=(k+1)

对一切自然数n都有an=n—"成立.

综上①、②知,

(2)Vbi=ai=11]-1=，.

,b=a—a-i—1=[n—]—[(n—1)

nnn2,1-1

.•.Cn=bi+b2H---l-bn=l—(])n,/.=lim[1—(1)"]=1.

乙W—>00"TOO乙

例8.已知数列｛aj满足a=2,对于任意的〃eN,都有a.>0,且(n+1)a:

+a„a„+i—na0+:=0.又知数列｛bj满足：b„=2"-'+l..

(I)求数列｛a„｝的通项a„以及它的前n项和Sn；

(II)求数列®｝的前〃项和Tn；

(III)猜想S0和T”的大小关系，并说明理由.

解:(n+1)aj+a0a^+i—nan+;=O.是关于a0和a“+i的二次齐次式，故可利

用求根公式得到%与a田的更为明显的关系式，从而求出a,,.

22

(I)Va„>0(nGN)，且(n+1)an+a„a„+i—nan+l=0,

/.(ZJ+1)(~^-)2+(乌~)—n=0.

an+ian4-in+1

.a,n

an>0(n《N)，

'-an+in+1

.3n8,—i8.-2a?3.2rin1n232

^n,n•-n--•--n-•♦♦♦・・・•—•——,•----•----•・・・・一•—

aiari-ian-2an-3a2ain-1n—2n—321

n.

又ai=2,所以，a„=2n.

Sn=ai+a2+a3+...+a„=2(l+2+3....+n)=n"+n.

n-I

(II)Vbn=2+l,

...1,=5+昆+也+...+b,=20+2'+22+....+2-+n=2"+n—l

(III)T„-S„=2n-n2-l.

当〃=1时，T-S,=0,.,.T,=S1；

当〃=2时，T2-S2=-l,,-.T2<S2；

当〃=3时，T3-S3=-2,；.T3Vs3；

当A=4时,T4-S4=-b；.T4Vs4

>

当〃=5时，T5-S5=6,..T5>S5；

当〃=6时，T6-S6=27,，.\T6>S6；

猜想:当n25时，T“>Sn.即.下用数学归纳法证明:

1°当〃=5时，前面已验证成立；

2°假设n=k(k»5)时命题成立，即2k>F+l.成立，

那么当n=k+1时，

2k+l=2•2k>2(k2+l)=k2+k2+2>k2+5k+2>k2+2k+2=(k+l)2+l.

即〃=4+l(425)时命题也成立.

由以上1°、2°可知，当时，有T”>S”.；

综上可知：当〃=1时，Ti=Sv当2Wn<5时，Tn<Sh.,当〃25时，有T”

>S„..

说明：注意到2n的增长速度大于!?+1的增长速度，所以，在观察与归纳的

过程中，不能因为从n=l到n=4都有TWS*就得出TWS”•的结论,而应该坚

信：必存在〃，使得2">/+1,从而使得观察的过程继续下去.

例9.已知函数f(x)=我六一3,(xW-3)

(1)求求x)的反函数L(x);

(2)记a尸1,叱=-fT(a“一l)(n》2),请写出a2,a%a”的值并猜测想a0的表达式.再用数

学归纳法证明.

解：(1)设y=f(x)=山2—3,(x<一十),由y2=x2—3(x<—3),x=—\/y2+3

即ft(x)=—\/x"+3(x>0).

2

⑵由ai=l且a"=-f'Yan-i)(n22的整数)，a2——f'(ai)——(—yjai+3—y[4,

ai—yfi+A—yfl,aa=y/3+7=\fib.

依不完全归纳可以猜想到：a“=d3n_2(n自然数)

下面用数学归纳法予以证明：

当n=l时,ai—y/3X1—2=1命题成立

假设n=k(lWkWn)时，命题成立：即ak=#3k_2

那么当n=k+l时,ak+尸一厂⑸)

=、aJ+3=y/(3k-2)+3=弋3(k+1)—2

综上所述,可知对一切自然数n均有为=何三成立.

例10.已知数列｛aj中，a7=4,为+1=筌±^

7-an

(I)是否存在自然数m,使得当n》m时，a„<2；当nVm时,a„>2?

(II)是否存在自然数p,使得当nep时，总有a，—；a■才<为？

解：(I)首先考虑能否化简已知条件ae=萼M，但事实上这一条路走不通，于是,

7-an

我们转而考虑通过计算一些血的值来寻找规律.不难得到：

1644

a8=&，@9=12,aio=—8,an=—T,ai2=0,843=5，

001

可以看出：a8,ag均大于2,从aio到a13均小于2,但能否由此断定当n>13时，也有

an<2?这就引导我们去思考这样一个问题：若anV2,能否得出土+1<2?

为此，我们考查须+i—2与也一2的关系，易得

小3a+4「5(an—2)

="n

Hn+l-2z--2=".

7an/-a„

可以看出：当a“<2时，必有a"+】<2.于是，我们可以确定：当nN10时，必有a“<2.

为了解决问题(I),我们还需验证当n=l,2,……，9时，是否均有a„>2.

方法之一是一一验证.即通过已知条件解出：a..=7an+'-4.由此，我们可以从土出发,

a„+i+3

计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论.

另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若an+1>2,能否得出a.>2”？

74

由an-2^--~~—2=5S廿二2)不难得知：上述结论是正确的.

an+l+3Hn+1+J

所以，存在m=10,使得当时，a„<2；当n<m时，a„>2.

(II)问题等价于：是否存在自然数p,使得当n》p时，总有a”一—a0+i—2a„<0.

,,、一,口-2(a„+i—2)1

由(1)可得：a„-i—a„+i—2a„=—)(3+a)'

我们已经知道：当n210时,a11V2,于是(即<2”<0,(7-a„)<0,所以，我们只需

考虑：是否存在不小于10的自然数P，使得当n》p时，总有a”>-3?

观察前面计算的结果，可以看出：a,o<-3,an,a12,均大于一3,可以猜想：p=

11即可满足条件.

这样的猜想是否正确？我们只需考查a,+.+3与a„+3的关系：

Q+425

由++|+3=泮a1+3=#一可知：上述结论正确.

7—a„7—a„

另外，如果我们注意到从a”到ag,数列的项呈递增的趋势,则也可以考虑a.+La..

由a+i—a”产1一a"二(『)->0,从而得出结论.

/-Hn/-Hn

说明：(1)归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非

无源之水、无本之木.(2)上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简

洁，但同时也掩盖了思维的过程.

四、由递推公式探求数列问题

例11.设A.为数列瓜｝的前n项的和，A..=-(a„-l),数列｛bj的通项公式为b“=4n+3。

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)把数列｛a„｝与｛b,,｝的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列｛4｝,证明数列

｛&｝的通项公式为5=3?田；

(3)设数列｛&｝的第n项是数列｛b“｝中的第r项，B,为数列｛bn｝的前r项的和，D“为数

列｛5｝的前n项和，T„=B,—D„,求lim；?。

M—>00

33

解：(1)由An=5(a„—1),可知An+】=5(a„+i—1)

/.An+1-A„=-1(an+1—a„)=an+L即=3

3

而ai=Ai=](ai-1)f得a1=3

所以数列区}是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{aj的通项公式为an=3%

(2)V32n+l=3-32n=3•(4—l)2n

2n-12n-12n

=3X•4(-l)+-+C2„•4•(-l)+(-l))

=4m+3

.,.32"+1G{bn}

而数3*=(4-1)2n

2,2n-12n

=4'+C2„'-4•(-1)+…+CL•4•(-l)+(-l)

=(4k+l)

；.3嗅{bj

而数列{&}={32n+,}U{32n}

:.d„=32n+1

(3)由32“+I=4•r+3,可知r=

4

r(7+4r+3)32n+,-332n+,+7

VB=-=r(2r+5)=

r242

97

27•(1—9")=£(9-1)

D尸口o

92n+1+4•32m-2197

ATn=B-Dn=—百(9J)

r8

_9・3T.32"+1

=8

又•••(a")4=3”

...工_2

••lim4—Q

/i->oo3nO

例12.已知函数f(x)=x+y/x2—a2(a>0)

(1)求f(x)的反函数ff(x)及其定义域;

(2)数列｛a.｝满足产

〔au+i—f⑸)

OO7

设卜=七-，数列®｝的前n项和为S”试比较S“与6的大小，并证明你的结论。

a”十a8

解：(1)给y-x=q?二装两边平方，整理得XMEU

..y2+a2y2—a2(y+a)(y—a)

•y-x=y—k=—而一2°

.•.y2a或一aWy〈O

故f-'(x)=卷至,其定域为[—a,0)U[a,+8)

(2)•.2+尸L(a0)=

2an

.•.b»=%F="=(T)'b：(可两边取对数求解)

an+i十aan十a

ai—a3a—a1

又ai=3a,b=^—=丁匚=9

ta]+a3a+a2

**•bn=(bn-1)~=(bn-2)'=(bn-3)

=..=(E)2'i=七尸

；・Sn=b1+b2+…+bn

11,1iId1

=5+(p)2+(7)2+[(9)2,+)2,H----1-(5)2"']-----：—=1—(5)"

乙乙乙乙乙乙1乙

1--

2

777

由此可知，当nV3时，Sn<-，当n=3时，Sn=-，当n>3时，5„>­.

OOO

又,.,2n7=(l+l)nf=l+C，—1+C,—1+。—1+...+C^—|

n-1

则当n24时,2>l+cJ_1+c2_1

(n—1)(n—2)

=1+(n-1)4->n+l

2

(1)2",<(1)

ASn=1+(1)2+(1)2+[(1)2+(1)2,H----F(1)2"1]如一针］

7

由此可知，当n24时，Sn>Q.

O

当n=3时,S„=|+(1)2+(1)2-=|+|<?•

乙乙乙Z4loloo

,.7

故知当nW3时，Sn<Q.

O

说明：本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出fT(x)及其定义域。搞清

定义域是解题成功的一半。根据函数f(x)解析式的特点，也可以利用三角代换X=asec9,

9G[0,5)U[n,号)，求函数f(x)的值域，即f-'(x)的定义域。

4an—2Ban+C

例13.已知数列｛aj中，ai=4,an+i—,是否存在这样的数列｛bj,bn=-

an+1ar,+A'

其中A、B、C为实常数，使得｛b』是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求｛&J的

取值范围。

解：假设这样的｛bj存在，则应有

4a„—24B+C.C-2B

+C

Ba„+i+CB°4+ra-

atl+1'4+A

bn+i=A-2-

an+i+A4an—2

+Aan4-I+A

a(i+1

Ban+C

又b“=R

存在q#0,q#l,q为常数，使bn+i=qbn,对n£N都成立，于是比较两边的分子和分

母，有

<A-2

--=A

4+A⑴

4B+C

<"ir—q⑵

C-2B

[7T?=Cq⑶

由(1)可解得A=-1或一2,由(2)、(3)可解得B=—C或C=-2B。

A=-1

1°若__代入(2)知q=l(B、C不能为0