2020年高考模拟试卷山东新高考高考数学模拟测试试卷（二）含解析

2020年高考模拟试卷新高考高考数学模拟试卷（二）

一、选择题

1.设集合A={X|'42X<8}，B=(x|y=ln(2-x)),则AD5=()

A.[-3,2)B.(2,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

2.复数z=(a2-l)+(a+1)i(aGR)为纯虚数，则。的取值是)

A.3B.-2C.-1D.1

3.曲线y=x4比x+1在点（1,2）处的切线方程为（）

A.3x-y-1=0B.4x-y-2=0C.4x+j-6=0D.3x+y-5=0

)的展开式中的系数是(

4.(_|x2T6F)

5

A.-5B.--C.5D

2-i

5.已知函数/（x）是定义在R上的偶函数，并且满足/（2+x）=/（2-x）当20W3

时，/(x)=x2-x,则/(2019)=()

A.0B.2C.6D.20

6.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区.槟榔是重要的中

药材，其果实被部分少数民族制作成为一种咀嚼嗜好品，但它也被世界卫生组织国际癌

症研究机构列为致癌物清单I类致癌物.云南某民族中学为了解A,B两个少数民族班

的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每

周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表

示个住数字）.现在从A班不超过19的样本数据中随机抽取个数据记为“，从8班不超

过21的样本数据中随机抽取一个数据记为6,则的概率是（）

7.已知三棱锥A-8CQ中，底面是边长为2愿的正三角形，侧面A8OJ•底面

且43=A0=2,则该几何体的外接球的表面积为（）

A.12nB.167rC.20TlD.24K

8.已知点尸是双曲线¥-X^l（a〉O,b>0）右支上一点，尸卜尸2分别是双曲线的左、

右焦点，/为△尸尸1尸2的内心，若S/kipFjSaiPFzVSaiFiF?成立，则双曲线的离

心率为（）

A.3B.,1y3C.710D.—

4

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）

9.某位教师2018年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图1折线图所示；2019

年收入的各种用途占比统计如图2条形图所示，已知2019年的就医费用比2018年增加

了4750元，则下列关于该教师家庭收支的说法正确的是（）

图1图2

A.该教师2018年的家庭就医支出显著减少

B.该教师2019年的家庭就医总支出为1275（）元

C.该教师2019年的家庭旅行支出占比显著增加

D.该教师2019年的家庭总收入为85000元

10.给出下列不等关系，其中正确的是（）

A・logzo172018Vlog2oi82019

B.Iog2oi72018>log2oi82019

D.1.2018嚼1

・2a2a

11.已知a,0都是锐角，且皂^—耳与一=2,则角a+0的值可能是（）

cosBsinB

12.如图，有一块半圆形广场，计划规划出一个等腰梯形ABC。的形状的活动场地，它的

下底AB是。。的直径为2R,上底的端点在圆周上，其他几个弓形区域将进行盆景

装饰.为研究这个梯形周长的变化情况，提出以下两种方案:

方案一：设腰长AZ)=x,周长为L;方案二：设N8A£>=0,周长为Z/(0),

则()

A.当x,e在定义域内增大时，L先增大后减小，L'(0)先减小后增大

B.当x,0在定义域内增大时，L先增大后减小，L'(0)先增大后减小

C.当X,0在定义域内增大时，L先减小后增大，L'(6)先减小后增大

D.梯形45C。的周长有最大值为5R

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分.

13.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为明b,c,若\QcosC(acosB+bcosA)+c=(,

则角C的大小为

JT

14.已知△ABC的一内角A=—,AB=10,AC=6,0为△ABC所在平面上一点，设

3

AO=mAB+nAC-若满足1。4|=1。3=|0。1，则m+3〃的值为若OA+OB+0C=0,

则m的值为

15.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该

作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝极不停晃动，粒粒枣子摇落满地,

有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、

乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、

捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,

则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有种.

n

16.已知正项数列｛斯｝中，若存在正实数p,使得对数列｛%｝中的任意一项必，上■也是数列

ak

｛斯｝中的一项，称数列｛%｝为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”，若等比数列｛斯｝的

项数是机，数列｛%｝所有项之积是7,则7=(用和p表示).

四、解答题：解答题(共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

==

17.已知数列｛%｝和｛瓦｝满足ai=l,b\l,2/.+1=3。"+瓦+4,2bn+i3bll+an~4.

(1)证明：｛%+瓦,｝是等比数列，

(2)求数列｛〃(%+4,)｝的前〃项和S,”

18.已知函数f(x)=sin(兀+3x)"sin-—3x)-H/3cos23x(3〉0J的最小正周期

当兀

为T

(1)求函数f(x)的对称轴；

TT

(2)若函数g(x)=f(x)+”?在区间［0,4-］上有两个零点，求实数，”的取值范围.

19.如图，在直三棱柱ABC-A/iG中，AB=BC,D、E分别为笈协、AG的中点.

(1)证明：EO为异面直线与AG的公垂线；

(2)设AAi=AC=&43,求二面角A-AO-G的余弦值.

20.伴随着科技的发展，人们的生活节奏也越来越快.听书，逐渐成为了爱阅读的人们的

一种喜好，付费阅读也成为追求更高价值的途径之一.某网络公司组织统计了近五年来

该公司参与付费听书的人数y;(单位：人)与时间，(单位：年)的数据，列表如下：

2345

y,2427416479

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与1的关系，请计算相关系数

并加以说明（计算结果精确到0.01）・（若|r|>0.75,则线性相关程度很高，可用线性回

归模型拟合）

n__n

££tiyi-nty

附：相关系数公式I-Jn1=1］一/n1rl

［凡方『（"）2也—2也（22

参考数据45695275.47

（2））若节日期间营销部拟对平台商品进行新--轮更新调整.针对某地拟购买该商品

的消费群体进行了一个抽样调查，获得一个容量为200的样本，其中青年人有150人，

中老年人有50人.在这些消费群体中，付费阅读的青年人有100人，中老年人有24人.

填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关？

青年人中老年人合计

付费阅读10024

不付费阅读

合计200

2

附：K=7------、吗、,----其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（猿2》脑）0.100.050.0250.0100.0050.001

kq2.7063.8415.0246.6357.87910.828

Xy

21.已知离心率为亭的椭圆C:2»2=l（a>*>0）过点（亚，与），其短轴的端

点分别为A,B,且直线AM,BM分别与椭圆C交于E,尸两点，其中点M（m,，•）满

足，〃米0,且山：#土

（1）求椭圆C的方程；

（2）若面积是尸面积的5倍，求机的值.

［选修4-4:极坐标与参数方程］（共1小题，满分10分）

乙—Q

22.已知函数f(x)=&q2.

e

(1)求函数/(x)的极值；

,12

(2)若关于x的方程[/(X)]2+(f(x)--=0(/GR)有机个不同的实数解，试求机

e

的所有可能的值.

参考答案

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={X|'42X<8},B={x|y=ln(2-x)),则4n8=()

A.[-3,2)B.(2,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

【分析】求出集合4,B,由此能求出AD5.

解：•.•集合A={x|/42X<8},B={x|y=ln(2-x)},

，A={x|-1WXW3},B={xlr<2},

.*.AnB={x|-Kx<2}=[-1,2).

故选：C.

2.复数z=(a2-l)+(a+1)i(aGR)为纯虚数，则a的取值是()

A.3B.-2

【分析】实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数，由此定义建立关系式，不难得到

本题的答案.

解：•1=(a2-l)+(a+1)i是纯虚数

'.a-1=()JLa+l#：0,解之得a=l

故选：D.

3.曲线y=x''+/"x+l在点(1,2)处的切线方程为()

A.3x-y-1=0B.4x-y-2=0C.4x+j-6=0D.3x+y-5=0

【分析】对曲线y=i+/〃x+i求导，得到在(1,2)处切线的斜率，然后求出切线方程

即可.

解：y=xi+lnx+l,得y'=3x

X

，曲线在(1,2)处的斜率A=yL=i=4,

工曲线在点(1,2)处的切线方程为y-2=4(x-1),

即4x-y-2=0.

故选：B.

4.(/x2—)6的展开式中*3的系数是()

55

A.-5B.--C.5D.—

22

【分析】利用通项公式即可得出.

解：通项公式公+尸中右2严(-)k=J)”；(,)6-勺12个

令12-3A=3,解得A=3.

...展开式中d的系数=-20X工=-2

82

故选：B.

5.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，并且满足/(2+x)=/(2-x),当24xW3

时，f(x)=x2-x,则/(2019)=()

A.0B.2C.6D.20

【分析】根据题意，由/(2+x)=/(2-x)变形可得/(-x)=/(4+x),进而分析可

得/(x+4)=/(x),即/(x)是周期为4的周期函数，据此可得/(2019)=/(3),

结合函数的解析式分析可得答案.

解：根据题意，函数/(外满足f(2+x)=f(2-x),则有/(-x)=f(4+x),

又由/(x)为偶函数，则/(-*)=/(*),

则有/(x+4)=f(x),即/(x)是周期为4的周期函数，

故/(2019)=/(3+4X504)=/(3)=32-3=6;

故选：C.

6.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区.槟榔是重要的中

药材，其果实被部分少数民族制作成为一种咀嚼嗜好品，但它也被世界卫生组织国际癌

症研究机构列为致癌物清单I类致癌物.云南某民族中学为了解A,B两个少数民族班

的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每

周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表

示个位数字).现在从A班不超过19的样本数据中随机抽取个数据记为明从8班不超

过21的样本数据中随机抽取一个数据记为。，则的概率是()

2

5

【分析】由茎叶图得A班不超过19的样本数据有9,11,14,共3个，B班不超过21

的样本数据有11,12,21,共3个，从而基本事件(a,b)的总数"=3X3=9,a》b

包含的基本事件(a,b)有3个，由此能求出adb的概率.

解：由茎叶图得：

4班不超过19的样本数据有9,11,14,共3个，

〃班不超过21的样本数据有11,12,21,共3个，

现在从A班不超过19的样本数据中随机抽取个数据记为a,

从8班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b,

基本事件(a,b)的总数"=3X3=9,

包含的基本事件(a,b)有：

(11,11),(14,11),(14,12)，共3个，

则a》b的概率是。=卷=/.

故选：B.

7.已知三棱锥A-8C。中，底面是边长为2愿的正三角形，侧面A8OJ•底面8。,

且A3=AO=2,则该几何体的外接球的表面积为()

A.121TB.16nC.20nD.24TT

【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的球心，求解三角形得到外接球的半径,

代入球的表面积公式得答案.

解：如图，设底面正三角形的外心为G,侧面三角形480的外心为H,

B层&\口

c

过G作底面垂线，过〃作侧面ABO的垂线，相交于。，则。为三棱锥A-BCD的外接

球的球心，

0nZABD=422-（帆）2=],

设三角形480的外接圆的半径为r,

2~2

则工=21，即「=2.

7

在RtABHO中，可得BH2=O*BH2=5,

...该几何体的外接球的表面积为4皿*=20皿.

故选：C.

8.已知点P是双曲线¥-%^l(a>0,b>0)右支上一点，为、尸2分别是双曲线的左、

右焦点，/为△尸尸1尸2的内心，若S4IPF=SAIPF^SAIFF,成立，则双曲线的离

12o12

心率为()

A.3B.如C.^10D.

4

【分析】设△PFtF2的内切圆的半径为r.利用I为XPFtF2的内心，由

SAIPF=SAIPF4-SAIF孔成立，可得1叫1=1吗*X2以再利用双曲线的定义

12012o

\PFt\-\PF2\=2a,即可得出a,c的关系，利用离心率计算公式即可.

解：设△为]尸2的内切圆的半径为r.

,/为△PFI「2的内心，由S/kiPFi=$4邛％[SaiF/z成立，

可得r=-l|pF2|.r+gxgx2c・r.

2232

:.又IPFil-IP尸2l=2a,.•.2a=，・2o

o

故选：A.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得()分.)

9.某位教师2018年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图1折线图所示；2019

年收入的各种用途占比统计如图2条形图所示，已知2019年的就医费用比2018年增加

了4750元，则下列关于该教师家庭收支的说法正确的是()

A.该教师2018年的家庭就医支出显著减少

B.该教师2019年的家庭就医总支出为1275()元

C.该教师2019年的家庭旅行支出占比显著增加

D.该教师2019年的家庭总收入为85000元

【分析】设该教师家庭2019年收入为x元，则15%・x=80000X10%+4750,解得x,

即可判断出正误.

解：设该教师家庭2019年收入为x元，则15%•x=80000X10%+4750,解得x=85000.

可得：该教师2018年的家庭就医支出显著减少，该教师2019年的家庭就医总支出为

8000+4750=12750元，

该教师2019年的家庭旅行支出占比没有变化，该教师2019年的家庭总收入为85000元.

可得：48。正确.

故选：ABD.

10.给出下列不等关系，其中正确的是()

A.log20172018<log2o182019

B.Iog2oi72018>log2»is2019

仁(勰

D-1吟。"2018》勰

【分析】令/(%)=1］卜+1)G>e),令4()=lnx-(x+1)In(x-1)(x>e),

lnxxx

利用导数研究函数的单调性即可得出.

■，、lnG+1')，、，，，、xlnx-(x+l)In(x+1)一一

解：令/G)=,吁D(x>e),则,(x)=-------；一~：一一o---------<0,因此函

lnxx(x+l)lnzx

数/(x)在(e,+8)上单调递减.

因此函数y=logr(x+1)在(1,+°°)上单调递减.

/.Iog20172018>log20182019.

Y0

令g(x)=xlnx-(x+1)In(x-1)(x>e),g'(x)=ln----------------<0.

x-lx-l

，函数g(x)在(e,+8)上单调递减.

A，Og20,72018>2018--

故选：BD.

11.已知a,0都是锐角，且单110+co%a=2,则角a+0的值可能是()

cosBsinB

KG冗3兀5兀

A.B.—D.

72~T~12

,sin2acos2a

［分析］对--------+----T—=2,得《0§20=§加20或者cos2a=sin20,再求出判断即可.

cosBsinB

初由sin2acos2a坦sin2asi+c。s?acos?6_与

畔：田9二乙得5o-29

cosBsinBcosBsinB

cos2acos2p+sin2asin2p=2sin2pcos2p,

即cos2acos2p-sin2pcos2p=sin2pcos2p-sin2asin2p,

化简得cos^B(cos2a-sin2p)=sin2p(cos2a-sin2p),

故cos2p=sin2p或者cos2a=sin2p,

ITJTQTTJT

=9

已知a,p都是锐角，所以B='j,a+B£(z~9―--),或者a+8~~2~

故选：BD.

12.如图，有一块半圆形广场，计划规划出一个等腰梯形ABC。的形状的活动场地，它的

下底A8是。。的直径为2R,上底CZ)的端点在圆周上，其他几个弓形区域将进行盆景

装饰.为研究这个梯形周长的变化情况，提出以下两种方案：

方案一：设腰长AO=x,周长为L(x);方案二：设N8AO=。，周长为Z/(9),

则()

L

X()B

A.当x,0在定义域内增大时，L(x)先增大后减小，Lf(0)先减小后增大

B.当x,6在定义域内增大时，L(x)先增大后减小，L'(0)先增大后减小

C.当x,。在定义域内增大时，L(x)先减小后增大，L'(9)先减小后增大

D.梯形A5C。的周长有最大值为5K

【分析】方案一：连接。。，OC,OC=OD=OA=OB=R,在△Q4O中，设NAOD=。,

AD=x,由余弦定理，得cos。，6G(0,90°),x€(0,衣).在△OC。中，ZCOD

=180°-20,同理可得OC.进而得出周长与单调性.

TT

方案二：连接30,可得NADB=90°,AD=BC=2RcosG.06(0,—).DEJ-AB

于E,CM_LA〃于利用直角三角形的边角关系、三角函数的单调性二次函数的单调

性即可得出.

解：方案一：如图所示，连接OC,OC=OD=OA=OB=R,

在△OAO中，设NAOD=。，AD=x,

22

由余弦定理，x=2R2-2R2*cosG,06(0,90°),Acos9=2R--■,xe(0,.

2R2

在△0C£)中，ZCOD=180°-26,

同理。COS(180°-20)=2R2(l+cos20)=2R2*2cos20=4/?2«cos20,

?R2_22

:・DC=2R・cos6=2/?»:=2R-J

2R2R

22i

梯形的周长：y=2R+2x+(2R-D=-2L-+2x+4R=-—(x-R)2+5R,

RRR

则函数y在(0,R)上单调递增.在(R,上单调递减.

梯形ABC。的周长有最大值为5R.

方案二：连接BD,则NAO3=90°

JT

：.AD=BC=2RcosQ.0e(0,—).

作DEA.AB于E,CMA.AB于M,得AE=8M=AOcosO=2Rcos2。，

：.DC=AB-2AE=2R-41?cos20,

△ABC的周长L'(0)=AB+2AD+DC=2R+4Rcos6+2R-4Z?cos26=4R(-

COS20+COS0+1)==2Z?[-(COS0-^-)2+点.

TTTTTT

可得z/(e)在(o,g)内单调递减，在(/丁，—)内单调递增.

OO

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在△A3C中，内角A、B、。的对边分别为明b,c,若J^cosC(acosB+bcosA)+c=(,

则角C的大小为—.

-4-

【分析】根据题意，运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，&cosC

(acosB+AcosA)+c=0可以变形为J^cosCsinC=-sinC,变形可得cosC,由。的范围

分析可得答案.

解：根据题意，(〃cosb+bcosA)+c=0,

由正弦定理可得：J^cosC(sinAcosB+sinBcosA)=-sinC,

即：J^cosCsin(A+B)=J^cosCsinC=-sinC,

由sinOO,

可得cosC=-返，

2

则C=斗.

4

故答案为：—.

4

TT

14.已知△A6C的一内角A=—,A6=10,AC=6,O为△46C所在平面上一点，设

3

AO=mABtnAC-若满足1。4|=1。m=|0。|，则胆+3”的值为一言_•若丞+而+无=0,

D

则m的值为—.

-3-

(_____ITRI2

庆0"杷=吗1=50

【分析】根据|"4|=|O8|=|OC|可得。是△ABC的外心，所以｛_,

记而上彩18

L乙

进而可得，明〃的值；条件可转化为(1-m-//)A0=wQg+nQC，结合同=6萨沃,

m

=m

则可得《,解得即可.

n

=n

1-m-n

解：因为|04|=|08|=|0C|,所以点。是△A6C的外心,

100m+30n=50

30m+36n=18'1

9

4

所以m+3n=—;

5

因为菽i=mmtn正="?（的碗+〃（丽"京）=（"?+"）菽而+"前，

则（1-，"-"）记=加瓦+”灰，

+

又因为水+而+羽=0，gpAO=OBOC«

所以＜,解得机=〃=石,

O

故答案为：多；

53

15.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该

作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝柱不停晃动，粒粒枣子摇落满地，

有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、

乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、

捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，

则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有14种.

宋人扑枣图轴

【分析】分甲模仿“扶”，以及甲模仿“捡”或“顶”分别求解即可.

解：设事件4表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，

①若甲模仿“扶”，则A包含1XA1=6个基本事件；

②若甲模仿“捡”或“顶”则4包含2X2XA：=8个基本事件，

综上A包含6+8=14个基本事件，

故答案为：14

16.已知正项数列｛为｝中，若存在正实数p,使得对数列｛%｝中的任意一项像，旦也是数列

ak

｛斯｝中的一项，称数列｛%｝为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”，若等比数列佃“｝的

项数是机，数列｛%｝所有项之积是T,则7=_后心(用，”和p表示).

【分析】由数列｛%｝是项数为机项的有穷正项等比数列，取p=a/«„,>(),由“倒置数

列”的定义可知，数列｛斯｝是“倒置数列”，再由等比数列的性质即可求得数列｛%｝所有

项之积是T.

解：•.•数列｛斯｝是项数为机的有穷正项等比数列，取〃=四・a,„>0,

Palamaiajrd-l-i

对数列｛%｝中的任意一项a(IWWWI)=amH-i也是数列｛%｝

aiaiai

中的一项，

由“倒置数列”的定义可知，数列｛斯｝是“倒置数列”.

又•••数列｛%｝所有项之积是T,

2=m=Ik

I—(“1。2…(%&-1…%)(a।am)p,

贝寸T=V^.

故答案为：不.

四、解答题：解答题(共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.已知数列｛%｝和｛瓦｝满足供=1,61=1,2%+1=3飙+瓦+4,2bn+i=3b„+an-4.

(1)证明：｛%+九｝是等比数列，

(2)求数列｛〃(%+4,)｝的前〃项和S,,.

【分析】(1)将已知等式相加，结合等比数列的定义，即可得证；

(2)由等比数列的通项公式可得“(.aM="•2",再由数列的错位相减法求和，结

合等比数列的求和公式，可得所求和.

解：(1)证明：.=1,bi=l,2an+i=3an+b„+4,2bn+i=3bn+an-4,

可得2(%+i+¥+i)=4(即+及)，即%+i+2+1=2(«„+/>„),

贝义斯+瓦｝是首项和公比均为2的等比数列；

(2)an+bn=2!',n(a„+Z>„)=n*2",

前“项和S“=l・2+2•4+3•8+…+〃•2",

2S„=1«4+2«8+3・16+--+«•2"+',

两式相减可得-S.=2+4+8+…+2"-〃•2"+,

=2(1-2n)2?

1-2

化简可得S“=2+(n-1)•2"+1.

18.已知函数f(x)=sin(兀+3x),sin滔|二-3x)+V^cos23x(3〉0)的最小正周期

*兀

F

(1)求函数/(X)的对称轴；

(2)若函数g(x)=/(x)+机在区间［0,子］上有两个零点，求实数m的取值范围.

【分析】(1)利用三角函数的诱导公式以及辅助角公式进行化简，结合周期公式求出3

的值，利用对称性进行求解即可.

(2)利用函数与方程的关系进行转化，利用换元法，求出角的范围，结合三角函数的图

象进行求解即可.

l+cos23x=4n23x+返:。s23x+返

解：⑴f(x)=sin3xcos3x+J§・

2222

=sin(2o)x+-^-)+^~,

32

OTTK

则周期得

2323=2,

jr

即f(x)=sin(4x+-r-)

3

由公+三=后+三得L/

itez,

32

即函数/(x)的对称轴方程为*=乂三+工，AGZ.

424

(2)由g(x)=0,得-m=f(x),

当OWxW三时，0W4XWTT,等，

4333

设f=4x+M-,则W，作出函数y=/(x)=g(/)nsiiW+q^的图象如图

3332

当2-WfW2兀且任二-时，函数y=sin/+YN与y=-m有两个不同的交点，

3322

此时sin工I•返Wsin什返Vsin工F返，即J§WyVl+返，

322222

即萼，

得-（1+亨）＜，"W-愿.

19.如图，在直三棱柱ABC-Ai&G中，AB=BC,。、E分别为88|、AG的中点.

（1）证明：为异面直线与AG的公垂线;

（2）设AAi=AC=J548,求二面角4-AO-G的余弦值.

【分析】（1）取44|中点F,连结OF,EF,DF//AB,EF//AC,推导出平面4BC

〃平面DEF,88|JL平面DEF,EDJ-BBt,推导出DCX=DA,EDA.AClt由此能证明

即为异面直线BBi与ACX的公垂线.

（2）以5为原点，5c为x轴，BA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向

量法能求出二面角41-AO-G的余弦值.

解：（1）证明：取44|中点F,连结。尸，EF,

则DF//AB,EF//AC,

•：EFC\DF=F,ACHAB=A,平面ABC〃平面OEF,

:在直三棱柱ABC-AiBiG中，3B|J■平面ABC,DEF,

■:EOu平面DEF,：.ED±BBX,

•在直三棱柱A3C-A|8iG中，AB=BC,D、E分别为88卜4G的中点.

：.DCt=DA,：.ED±AClt

.♦.E。为异面直线BBi与ACi的公垂线.

（2）解：'：AAI=AC=-/2AB,：.AB2+BCZ=AC2,：.ABLBC,

以8为原点，8c为x轴，8A为y轴，8修为z轴，建立空间直角坐标系，

设AAi=AC=y[2^B=2,

则A（0,&,0）,A,（0,近,2）,D（0,0,1）,Ci（&,0,2）,

平面441。的法向量7=（1,0,0）,

DA=（（）,方T）,DCj=（我,0,1）,

设平面AZ）G的法向量^=（x,y,z）,

n,DA=V2y-z=0

则《取》=&，则^=（祀，-&，）

―♦'•.-9-2,

n・DC[=&x+z=0

设二面角Ai-AO-G的平面角为0,

则c°sO==*=1

・•・二面角Ai-AD-G的余弦值为

z

A

X<

y

20.伴随着科技的发展，人们的生活节奏也越来越快,听书，逐渐成为了爱阅读的人们的

一种喜好，付费阅读也成为追求更高价值的途径之一.某网络公司组织统计了近五年来

该公司参与付费听书的人数y;（单位：人）与时间£（单位：年）的数据，列表如下：

12345

2427416479

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与f的关系，请计算相关系数

并加以说明（计算结果精确到0.01）.（若|r|>0.75,则线性相关程度很高，可用线性回

归模型拟合）

n__n

£（t「t）（y「y）£tiyi-nty

i=l

附：相关系数公式r=ii

r(y-7)2

叔丁嚏J…2i=lVi=l

参考数据45695=75.47

（2））若节日期间营销部拟对平台商品进行新--轮更新调整.针对某地拟购买该商品

的消费群体进行了一个抽样调查，获得一个容量为200的样本，其中青年人有150人,

中老年人有50人.在这些消费群体中，付费阅读的青年人有100人，中老年人有24人.

填写下面