2024高考数学数列解题技巧-教师用书

2024高考数学数列解题技巧——教师用书

目录

i.等差数列与等比数列.........................................................1

1.1.核心知识回顾............................................................1

1.2.热点考向探究............................................................3

1.3.真题押题................................................................10

1.3.1.『真题检验』.......................................................10

1.3.2.『金版押题』.......................................................13

2.数列求和问题................................................................25

2.1.核心知识回顾...........................................................25

2.2.热点考向探究...........................................................25

2.3.真题押题................................................................32

2.3.1.『真题检验』.......................................................32

2.3.2.『金版押题』.......................................................34

3.数列的综合问题..............................................................45

3.1.核心知识回顾...........................................................45

3.2.热点考向探究...........................................................46

3.3.真题押题................................................................51

3.3.1.『真题检验』.......................................................51

3.3.2.『金版押题』.......................................................53

1.等差数列与等比数列

「考情研析」1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算

和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明.2.从高考特点上，难

度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题.

1.1.核心知识回顾

1.等差数列

第1页共67页

⑴通项公式：叵Da”=勾+(〃-1)d=+一m)d.

(2)等差中项公式：画2小=e,二।+也i(〃€N*,〃22).

⑶前〃项和公式：|03|s“_=---2--三吆1土---2----

2.等比数列

⑴等比数列的通项公式：而。〃=0。"7=。M"式

(2)等比中项公式：两品=小二卜。3(〃€N*,〃22).

(3)等比数列的前〃项和公式：

〃ai(q=1),

画区=空二£咀aid_q"),口，、

卫

3.等差数列的性质(〃，m,I,k,〃均为正整数)

(1)若加+〃=/+女，则画即+a==cu+a履反之不一定成立)；特别地，当m+

“=2p时，有1021a,”+=2ap.

⑵若｛a〃｝,®｝是等差数列，贝列J”+也｝优,f是非零常数)是画笠差数列.

(3)等差数列“依次〃2项的和“即S”,画曲仁&,画53—2,”,…仍是等

差数列.

(4)等差数列｛m｝,当项数为2〃时，S偶-5奇=画闻，影=画廿；项数

J偶纶土1

为2〃一1时，S奇一5偶=画史生=画出,金=回口7.(其中S偶表示所有的偶

3偶n-1

数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)

4.等比数列的性质(%m,I,k,p均为正整数)

(1)若加+〃=/+&,则画la“。”=araM反之不一定成立)；特别地，当m+〃=

2P时，有瓯Clm，Cln=端.

(2)当〃为偶数时，m=画式公比为切.(其中S偶表示所有的偶数项之和,

第2页共67页

S奇表示所有的奇数项之和)

(3)等比数列“依次〃，项的和“，即S,”，画题二品,画泡匚如，…(S"#0)

成等比数列.

1.2.热点考向探究

考向1等差数列、等比数列的运算

例1(1)(2020•山东省青岛市模拟)已知等差数列｛斯｝的公差为2,若3,43,

加成等比数列，S”是｛&”｝的前〃项和，则S9等于()

A.-8B.-6

C.10D.0

答案D

解析,“3,。4成等比数列，「.a*=。1。4,「.(ai+2X2)2=ar(ai+3X2),

9X8

即2a1=-16,解得g=-8贝JS9=—8X9+3-X2=0,故选D.

(2)(2020.山东省泰安市肥城一中模拟)公比不为1的等比数列｛斯｝的前〃项

和为S”,若0,«3,s成等差数列，，”S2,S3,S4成等比数列，则m=()

7八8

AA-8B-5

9

C.1D.5

答案D

解析设伍”｝的公比为以q#0且4/1),

根据ai,。3,改成等差数列,

得2a3=出'+。2,即2ai/=。］+。同，

因为air0,所以2/-1-4=0,即0-1)(24+。=。.

因为疗1,所以4=-;，

贝

US2=1-q-4]-/

第3页共67页

ai(l-沙9ai

53=\-q=?7^'

_ai(l-/)_15m

、=l—q=!?』，

因为加S2,S3,S4成等比数列，所以总=，WS2S,

f9_«i_Y_30150

an队81-q)-/?7'41-^116']-q'

因为aiWO,所以所以俣＞="2x(x1|,

9

得〃?=彳故选D.

方法指导

利用等差数列、等比数列的通项公式、前〃项和公式，能够在已知三个元素

的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公

比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量.

1.(多选)(2020•山东省青岛市模拟)已知等差数列｛z｝的前〃项和为&(〃€

N"),公差dWO,S6=90,m是g与。9的等比中项，则下列选项正确的是()

A.a\—22

B.d=-2

c.当〃=10或〃=11时，S,取得最大值

D.当防＞0时，〃的最大值为20

答案BCD

解析等差数列｛&｝的前〃项和为S”，公差4W0,

由§6=90,可得6ai+15d=90,即2ai+5d=30,①

由47是43与。9的等比中项，可得名二〃3〃9,即(。1+6d)2=(6Z1+2rf)(〃l+8d),

化为Gi+10d=0,②

由①②解得20,d=-2,

则m=20-2(〃-1)=22-2〃，Sn=1/i(20+22-2«)=21n-n2,

第4页共67页

由S”=一［〃一可2+工，可得〃=10或〃=11时，S”取得最大值110.

由S”>0,可得0v〃<21,即〃的最大值为20.故选BCD.

Cln2Cln1.

2.定义：在数列｛m｝中，若满足——+-丁+=d(〃WN*,。为常数)，称｛为｝为

“等差比数列”.已知在“等差比数列”｛z｝中，m=z=l,G=3,则器=

()

A.4X20202-1B.4X20192-1

C.4X20222-1D.4X20192

答案A

解析’.•01=02=1,43=3,•,氏-崇=2,.,.性』是以1为首项，2为公差

Cl11dnJ

a1

的等差数列，，丁n+=2〃-1,

Un

..£^=£^2^1X2021_1)X(2X2020-1)=4X20202_I.故选A.

Q20204202142020'''7

考向2等差数列、等比数列的判定与证明

例2⑴设数列｛&｝满足s=l,«n+i=^-(n€N*).求证：数列丁三是

等差数列.

、…411114-

证明[=3；,7-7=-7—7=77-

4—Cln+1-2Cln-24dn-2-4

―Z

4-an

12-ClnJ

为常数,又"I’

111

一^=-1,•..数歹UR是以-1为首项，-弓为公差的等差数列.

n-1

⑵数列｛m｝的前n项和为Sn,且满足Sn+an=加+1)+1)〃=1,2,3,…，

设包=以+拓%，求证：数列｛瓦｝是等比数列.

第5页共67页

n-1

证明S“=l-a”+诉亍,

_____n_____

3〃+1—1~cin^.\+T777ZT，

(〃+l)(〃+2)

t1A.171〃-1

当"=1时，易知s=I，.-.^+i=S„+1-S„=(/；+1)(/i+2)-a„+i-^—+

〃+2-2n-\1211

-----------------+-------

(几+1)(〃+2)n(n+1)+“"一〃+1(n+1)(〃+2)n+1n(n+1)

+Cln,

111

2产+1+(〃+1)(〃+2)J=""+，

bn=an+^TV)'

则/I"2+(〃+1)1(〃+2),

上式可化为2bM=bn,

数列｛仇｝是以4=1为首项，J为公比的等比数列，劣=(｝

方法指导

(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或

证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是〃的

一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列.

(2)证明数列｛雨｝为等比数列时，不能仅仅证明a”+i=w”，还要说明aiWO,

才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列｛Z｝为等比数列.

(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式.

■对点精练

1.(多选)(2020・日照一中摸底考试汜知数列｛小｝满足:0=3,当〃22时,

4=(1+则关于数列｛&”｝,下列说法正确的是()

A.及=8B.数列｛z｝为递增数列

C.数列｛&〃｝为周期数列D.an=n2+2n

第6页共67页

答案ABD

解析由Qn=(7a”_i+1+I)--1得a”+1=(7a”_i+1+1)^,:.'a”+1=

4。」+1+1,即数歹八匹门｝是首项为gTT=2,公差为1的等差数列，

:'a”+1=2+(〃-1)X1=〃+1.「.4"=〃2+2〃.所以易知A,B,D正确.

2.已知正项数列｛如｝满足居+i-6晶=a”+ia“，若ai=2,则数列｛a“｝的前〃

项和为.

答案3"-1

—

解析Gn+1_6tZ/i=Un+iCln,(<?«+13dn)(fln+1+2dn)=0,Cln+1

=3a”，」.｛z｝为等比数列，且首项为2,公比为3,.•5,=3"-1.

考向3数列中a〃与S”的关系问题

例3(1)(2020•河南省高三阶段性测试)设正项数列｛a“｝的前〃项和为S”，且

4S"=(1+。")2(〃cN*),贝1J45+。6+。7+。8=()

A.24B.48

C.64D.72

答案B

,(1+ai)2

解析当及=1时，由Si=ai=4，得山=1,

4S"=(1+ciii)~,

当心2时,得4tZ«=(1+a”)，—(1+tZ/i_l)-,-fln_l

45,i_1=(1

—-2.Cln-1=0,

1)(。“—1—2)=0.an—cin-1=2,「•｛〃”｝是等差数列，.二

。〃二2〃-1,

•=Q5+Q6+Q7+48=2(。6+47)=48.

(2)(2020.山东省德州市二模)给出以下三个条件：

①数列｛。，｝是首项为2,满足①+1=46+2的数列;

②数列却〃｝是首项为2,满足3s=22"i+如€R)的数列；

③数列｛z｝是首项为2,满足=a〃+i-2的数列.

请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.

第7页共67页

设数列｛z｝的前〃项和为S",an与Sn满足.

7

n+n4

记数列A"=log2G+log2a2+…+log2。"，G,=~~求数列｛<:”｝的前〃项和

解选①，由已知S”+1=4S,+2,(*)

当〃22时，S=4S"/+2,(**)

(*)一(**),得出+1=4(S"-Sn-1)=4。”,

即Cln+1=4<7n.

当〃=1时，S=4Si+2,即2+z=4X2+2,所以或=8,满足Q2=4G,

故｛“，｝是以2为首项，4为公比的等比数列，

所以a”=22"T.

bn=log2al+log2a2+…+log2«»=1+3+…+(2n-1)=n2,

n2+nn(n+1)]]1

C22--

"~bnbn+\~M(»+I)n｛n+1)«n+V

所以Tn=C\+C2+-+=0-2)+(2-3)++=1-dn-=

〃+「

选②，由已知3sn=22"+J%,(*)

当〃22时，3S„_i=22«-'+A,(**)

(*)-(**),得3即=22n+1-22,,_|=3-22"-',

即a,""?

当〃=1时，m=2满足a〃=22"T,所以a“=22"T,

下同选①.

选③，由已知3sa=。"+1-2,(*)

贝1J〃22时，38」=。"一2,(**)

(*)-(**),t#3an=an+i-an,即即+1=4斯.

当〃=1时，3al=。2-2,而ai=2,得=8,满足“2=4ai,

故｛z｝是以2为首项，4为公比的等比数列，

第8页共67页

所以小=22〃T,

下同选①.

方法指导由。，与的的关系求通项公式的注意点

(1)应重视分类讨论思想的应用，分〃=1和〃22两种情况讨论，特别注意

an=Sn-Sn.\成立的前提是“22.

(2)由=z推得z,当〃=1时,ai也适合，则需统一表示(“合写”).

⑶由推得z,当〃=1时，s不适合，则数列的通项公式应分

Si(〃=1),

段表示(“分写”),

Sn—S"_

「对点精练

已知数列｛&｝中，«1=1,其前〃项的和为S”,且满足小:五2―r(〃22,

—1

N*).

⑴求证：数列尚是等差数列；

⑵证明：gsi+聂+；S3+…+[S<,

2。11

证明(1)当〃32时，Sn-Sn_\=T^-,Sn.i-Sn=2Sn-Sn.l,不一「=2,

23”-1on_1

所以数列|上|是以1为首项，2为公差的等差数列.

(2)由⑴可知，^=^4-(/7-1)-2=2/7-1,

所以S=11

Zn—1

IsI+752+*3+…+~1~Sn

JJ/2n+1

1111

-------+--------++…+------------------------

1X33X55X7--------(2〃-1)(2〃+1)

1r,1111111、

2Xl1-3+3-5+5-7+-+^T-^7Tj

第9页共67页

罚1-肃温

1.3.真题押题

1.3.1.［真题检验』

1.（2020•全国卷I）设｛〃〃｝是等比数歹|J,且。1+。2+。3=1,。2+。3+。4=2,

贝lj。6+。7+。8=()

A.12B.24

C.30D.32

答案D

解析设等比数列｛&”｝的公比为q,则a\+<72+fl3=ai(l+q+q2)=1,s+g

+04=a\q+a\q2+«1<73=a\q(\+q+q2)=q=2,因此，ae+ai+as=a\q5+a\c^+

a\qJ=a\q5(l+q+q2)=q5=32.故选D.

2.(2020•全国卷II)记S为等比数列｛m｝的前〃项和.若公-。3=12,a6-

如=24,则称=()

A.2n-1B.2-2'-«

C.2-2''-'D.2~-1

答案B

解析设等比数列｛小｝的公比为q,由05-柒=12,«6-«4=24可得

aiq4-a\q2=12,(<7=2,ai(l-qn)1-2n

53M解得,所以-=。q"7=2"[5”=1〃=「不

0/一。同、=24,[a\=l,11-z

S2n-1

=2"-1.因此岌=行"=2-21?故选8.

3.（2020•新高考卷I）将数列｛2〃-1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到

数列｛&｝,贝么。〃｝的前〃项和为.

答案3/一2〃

解析因为数列｛2〃-1｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列［3〃

第10页共67页

-2｝是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成

的新数列优〃｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以｛雨｝的前〃项和为n-l

4.(2020.全国卷II)记S”为等差数列｛&｝的前〃项和.若出=-2,42+06=

2,贝1JSio=.

答案25

解析设等差数列仅"｝的公差为4由0=-2,02+46=2,可得0+1+0

10X(10-1)

+5d=2,即—2+d+(—2)+5d=2,解得d=1.所以Sio=10X(-2)+---------

X1=-20+45=25.

5.(2020.江苏高考)设他”｝是公差为d的等差数列，(仇｝是公比为q的等比

数列.已知数列｛出+d｝的前〃项和S,=〃2-〃+2"-l(〃6N*),则d+q的值是

答案4

n(n-1)d、(d\

解析等差数列｛&”｝的前n项和公式为Pn=na\+―—d=^r+\a\~2)n，

Z?i(l-q")b\hi

等比数列｛为｝的前n项和公式为。"=1-----=---q"+~一,依题意S=

1-q1-qi-q

2

2

a即1

++-1=2一2+(ai-通过对比系数可知

厂d

-

2=

6F1—2=-1,

q=2,

bi

1,

J一4

第11页共67页

Z=2,

=0,

得彳c故a+4=4.

q=2,

<b\=\,

6.（2020.新高考卷I）已知公比大于1的等比数列｛a〃｝满足。2+。4=20,g

=8.

（1）求｛z｝的通项公式；

（2）记册为｛a〃｝在区间（0,〃水加WN*）中的项的个数，求数列｛弧｝的前100项

和5100.

解（1）设等比数列｛。〃｝的首项为m,公比为以

a\q+ai/=20,

依题意有,

a\q2=8,

解得ai=2,4=2或0=32,4=；(舍去)，

所以a”=2",所以数列｛a〃｝的通项公式为an=2".

(2)由于2i=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,

从对应的区间为(0,1],则从=0；

历,。3对应的区间分别为(0,2],(0,3],则从=加=1,即有2个1;

b4,b5,b6,历对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],

贝1J。4=85=/%=。7=2,即有22个2；

加,加，…,如对应的区间分别为(0,8],(0,9],(0,15],

贝IJ匕8=力9=…=/?15=3,即有23个3；

66,67,…，对应的区间分别为(0,16],(0,17],(0,31],

贝ljbi6=bi7=…=岳1=4,即有24个4;

如，加3,…,灰3对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],

贝I]。32=。33=…=。63=5,即有2,个5；

瓦4,加5,…,从00对应的区间分别为(0,64],(0,65],(0,100],

贝。64=。65=…=bioo=6,即有37个6.

第12页共67页

2345

所以5100=lX2+2X2+3X2+4X2+5X2+6X37=480.

7.(2020•全国卷III)设等比数列(以｝满足ai+/=4,4-01=8.

⑴求■”｝的通项公式;

(2)记Sn为数列｛log34"｝的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.

解(1)设等比数列｛z｝的公比为4,根据题意，有

a\+。1夕=4,=1,

，解得2

[aiq-a\=8,9=3,

所以蜘二3〃1

(2)令bn=log3Q〃=log33"—=〃-1,

n(0+71-1)n(n-1)

贝|JSn=2=25

根据Sm+Sm+1=Sm+3,可得

m(m-1)m(m+1)(m+2)(777+3)

―2-+-2=2'

整理得〃?2-5加一6=0,因为〃?>0,所以m=6.

1.3.2.『金版押题』

nan-28

8.已知数列｛〃“｝满足=n-l(n€N*),。1+。2+。3=75,iESn=axaiaz

Cln+1

+a2a3a4+4a5+…+anan+\-an+2,则ai=，使得Sn取得最大值的n的

值为.

答案2510

ncin-28

解析由------二〃-可取九二1,即e-28=0,可得m=28,

Cln+I

2。2-28

取九二2,可彳导~=1,即。3=2。2—28,又+。2+。3=75,

ncin-28Cln+1Cln

可得G=25,43=22,当时，由=n-1可得:二-7=-

28

〃(〃-1),

第13页共67页

Cln+1an

可令C"=〒，则。，」=口（心2）,

由Cn=C]+(C2-C1)+…+(c〃一品_1)=C1+281+3-2+***+厂〃_]

可得C"=a+288-1)=Z+280-1),

贝lj。〃+1=ncn=nai+28(1-z?)=28+n｛ai-28),

故an+\=28-3〃(〃22),所以。〃=31-3〃(〃三3),

又“1=28,。2=25,也符合上式，所以。〃=31-3〃.

令bn=anan+\a,i+2=(31-3九)(28-3n)(25-3h),

由bn2O,可得(31-3〃)(28-3〃)(25-3〃)20,

解得1<〃W8(〃€N*)或〃=10,

又〃9=-8,ftio=10,所以〃=10时，S〃取得最大值.

9.记数列｛如｝的前〃项和为S〃，已知2a?+i+〃=4S〃+2p,a3=la\=7.

⑴求P，S4的值；

(2)若瓦i求证：数列｛为｝是等比数列.

解(1)由03=7〃1=7矢口，43=7,<71=1.

3

当〃=1时，由2a〃+i+〃=4S〃+2p,得。2=/+p,

当儿=2时，由2a〃+i+〃=4S?+2p,得。3=4+3p=7,所以p=l,

当〃=3时，由2。〃+i4-/i=4S〃+2p,得2。4+3=4s3+2,

解得以骂.

541

所以S4=1+]+7+E=31.

(2)证明：由⑴可得斯+1=2S”-5+1,

则an+2=2Sn+\-1(»+1)+1.

第14页共67页

两式作差得an+2-an+\=2m+i-王

即afJ+2=3an+1-€N").

由⑴导。2—2»所以。2—3al-21

所以+1=3如-：对n€N”恒成立,

由上式变形可得a«+i-1=sL-J

13

--

而44

所以是首项为公比为3的等比数列，

133〃

所以柒*=?3"-|=彳，

1/n3,,+|3”3”

所以氏=z+1_an=a”+1-a-（斯一Wj=4~~4=~2,

,3"+1bn+\、

所以bn+1=-2->b”=3.

33

又历="所以数列｛儿｝是首项为公比为3的等比数列.

专题作业

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

as+ai

L（2020•山东德州高三下学期联考）在等比数列数〃｝中,m=l,~—=8,

Q2+Q4

则。6的值为（）

A.4B.8

C.16D.32

答案D

as+。7

解析设等比数列设Q的公比为q,-.^1=1,--=8,

C12+«4

第15页共67页

a\(q4+q6)

'+/)=8，解得4=2，贝U。6=25=32.故选D.

2.(2019•全国卷I)记S,为等差数列｛&｝的前n项和.已知8=0,磁=5,

则()

A.an=2n-5B.an=3??-10

C.Sn=2rr-8/?D.Sn=-2n

答案A

解析设等差数列｛斯｝的首项为3，公差为d.由S4=0,如=5可得

czi+4J=5,a\=-3,

解得彳，c所以a〃=-3+2(〃-1)=2〃-5,S”=〃X(-3)

4ai+6d=0,<7=2.

n(n-1)、

+2X2=n2-4〃.故选A.

3.等差数列｛4,｝的公差为乩若0+1,。2+1,如+1成以d为公比的等比

数列，则”=()

A.2B.3

C.4D.5

答案A

解析将ai+1,+1,。4+1转化为0,d的形式为ai+1,a\+\+d,a\

a\+\+dai+l+3d

+l+3d,由于这三个数成以d为公比的等比数列，故一-T—=J,

a\+1<7i+1+a

=a\+\+d2d

化简得m+1=4,代入一①+1-="，得=2=d,故选A.

4.(2020.河北省张家口市二模)已知正项等比数列｛“〃｝的公比为q,若切=

qWl,且加=aia2a3…aio,贝卜〃=()

A.19B.45

C.55D.100

答案c

解析.•・正项等比数列｛如｝的公比为g,

第16页共67页

n1n,n

：.an=q-q~=q,'.'am=ma2a3…aio,.'.q=夕/./.…./o=/+2+3+…+io=

q55.m=55.故选C.

5.（2020.河北省保定市一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学

名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几

何？”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使

甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱？”

请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为（）

A.暴B.海

C.暴D.|钱

答案D

解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为。-2乩a-d,a,a+

d,a+2d,又有a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得。二-6d,,/a-2d+a-d+

12、

。+。+d+a+2d=5。=5,=1,贝ljd=-4,「.Q+2d=Q.故选D.

6.（2020・广州模拟）正项等比数列｛a〃｝满足023=15=13,则其公比是（）

A.1B.g

C.|D.（

答案C

解析设■"｝的公比为q,因为4204=1,且a2a4=*，所以«3=1,易知q>0,

所以43=1.由§3=1+｝+*=13,得13/=1+4+/,即12才一4一1=0,解得

q=g.故选C.

7.已知S”为等比数列｛&｝的前〃项和，若S3,S9,负成等差数列，贝lj（）

A.Se=-2s3B.S（>=-»3

C.Se=；S3D.Se=2s3

第17页共67页

答案C

解析设等比数列｛外｝的公比为式4/1),则S6=(l+q3)S3,S9=(l+/+

乃邑，因为S3,S9,S6成等差数列，所以2(l+/+g6)S3=S3+(l+q3)S3,易知

S3W0,解得八故S6=；S3.

8.已知函数y=/(x+l)的图象关于)，轴对称，且函数«r)在(1,+8)上单

调，若数列｛m｝是公差不为0的等差数列,且加4)=加8),则｛斯｝的前21项和

为()

A.0B.苧

C.21D.42

答案C

解析函数y=Ax+l)的图象关于〉轴对称，平移可得y=/U)的图象关于直

线尤=1对称，且函数/U)在(1,+8)上单调，由数列①”｝是公差不为o的等差

数列，且夕a4)=式。18),可得04+418=2,所以a\+ai\=04+018=2,可得数列｛z｝

21(<zi+an)

的前21项和S2i=---2—^21.故选C.

二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知无穷数列｛z｝的前〃项和S=a〃2+加+g其中凡b,c为实数，

则()

A.｛&〃｝可能为等差数列

B.｛&,｝可能为等比数列

C.｛z｝中一定存在连续的三项构成等差数列

D.｛&〃｝中一定存在连续的三项构成等比数列

答案ABC

解析解法一：因为S*=a/+加+c,所以।+双〃一])+

c(〃22),所以a〃=S“-S"」=2〃a-a+0(〃22),若数列｛a“｝为等差数列，则s=

a+b+c=a+h,c=0,验证知，当c=0时，伍”｝为等差数歹IJ,所以A正确；在

a”=2〃a—a+励，2)中,当a=0,b#0时,a”=b(〃22),若数列｛汝｝为等比数

第18页共67页

列，贝Ij0=h+c=b,c=Q,验证知，当a=c=O,bWO时，｛小｝为等比数列，

所以B正确；由以=2〃。-。+伏〃22)可知，｛以｝中一定存在连续的三项构成等

差数列，所以C正确；假设以,ak+i,以+2(42,且立N*)成等比数列,则[2(左

+1)a-a+b]2=(2ka-a+b)-\2｛k+2)a-a+b],整理得(Z+l)2=Z(Z+2),即1=

。(不成立)，所以｛m｝中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误.故选ABC.

解法二：当c=0,时，数列｛&“｝为等差数列，所以A正确；当a=c=

0,bWO时，数列｛小｝为常数列，也是等比数列，所以B正确；当〃22时，an=

Sn-Sn.\=2na-a+b,则｛z｝中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C正

确;假设明四+1,诙+2(无22,且IWN*)成等比数列,则[2(%+l)a-a+创2=(2履

-a+b)-[2(k+2)a-a+b],整理得(4+1>=%(&+2),即1=0(不成立),所以｛小｝

中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误.故选ABC.

10.(2020•海南省海口市模拟)已知正项等比数列｛&｝满足。=2,04=2.2+

。3,若设其公比为4，前〃项和为S”,贝女)

A.q=2B.=2"

C.Sio=2047D.a”++1vctn+2

答案ABD

解析根据题意，对于A,正项等比数列｛m｝满足％3=4q+2/,变形可得

q2-q-2=G,解得q=2或夕=-1,又｛斓为正项等比数列，则4=2,故A正

,2X(1—2”)

确；对于B,a”=2X2"T=2",B正确；对于C,S=---r—=2fl+,-2,所

„1—Z

nn+n

以Sio=2O46,C错误；对于D,a„+an+i=2+2'=3X2=3a„,而a”+2=2"

2=4X2"=4z>3m,D正确.故选ABD.

11.等差数列｛z｝的前〃项和记为S”，若m>0,Sio=S2O,则()

A.公差d<0B.出6<0

C.S“WSi5D.当且仅当S“<0时〃》32

答案ABC

解析因为等差数列中，5IO=S2O,所以an+内2+…+09+。20=5伍15+ai6)

=0,又ai>0,所以ai5>0,ai6<0,所以d<0,S1WS15,故A,B,C正确；因为

第19页共67页

31(01+6Z3I)

S31=---------2―=31«16<0,故D错误.故选ABC.

12.设正项等差数列｛&”｝满足3+00)2=24249+20,贝|J()

A.。2。9的最大值为10

B.a2+49的最大值为24m

的最大值为,

D.+房的最小值为200

答案ABD

解析因为正项等差数列｛痴｝满足⑷+00)2=2。2a9+20,所以(42+。9)2=

cc。之+cA20I—

2a2a9+20,即N+Q3=2O,则~~=5=10,当且仅当。2=〃9=40时

(02+(A+。2+。9I—

等号成立，故A正确；由于二10,所以/+

a9W2y®当且仅当磁=。9=/时等号成立，故B正确；*+法=左左二不关

V€yC,LV<-V/C-vV

2浪£\=母=(当且仅当。2=49=①时等号成立，所以5+'的最小值为

I2)

I，故C错误；ai+a^=(ai+-2ai-(A=400-2^-a^400-2X102=200,当

且仅当能=。9=J正时等号成立，故D正确.故选ABD.

三、填空题

13.已知数列｛而｝的前〃项和为S”，a\=\2Sn=a,l+\,贝l]S”=.

答案3"T

,-Sn+\

解析由2S〃=a〃+i得2S〃=a〃+i=S〃+i-S”，所以3sA=S〃+i,即~~^丁=3,

所以数列｛*｝是以Si=ai=l为首项，夕=3为公比的等比数列，所以S"=3"1

14.(2020•山东省聊城市三模)已知数列｛词中,0=1,an+\=an+n,则-

答案16

第20页共67页

解析由题意，得。2=〃1+1=2,03=02+2=4,。4=〃3+3=7,a5=04+4

=11,。6=。5+5=16.

15.各项均为正数的数列｛〃〃｝和｛d｝满足：Z,bn,z+l成等差数列，hn,an

+1,仇+1成等比数列，且0=1,02=3,则数列｛〃〃｝的通项公式为.

解析由题设可得田+1=7bnbn+1,〃〃=，〃也_1,得2瓦=0?+°?+1=2"?=

yjbnbn.1+yjbnbn+],即2y[bri=7b〃_i+yj+1，又QI=1,。2=3=>2Z?i=4=>Z?i=2,

贝H倔｝是首项为啦的等差数列.由已知得历=胃=5,则数歹IJ｛的｝的公差d=

!—1—3、历L、伤/—L\l2A/2(72+1)I—〃+1

近一倔二毛-一啦二与所以访=也+(〃-1)-2=---2---5即访=-^~・

当〃=1时，y[b]=A/2,当〃22时，y力?」则a〃=y]。也〃_i