高考数学大一轮复习第八章立体几何5第5讲直线平面垂直的判定与性质新题培优练文含解析新人教A版

第5讲直线、平面垂直的判定与性质[基础题组练]1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形的个数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：选A.由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．2．下列命题中不正确的是()A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：选A.根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行于平面β，也可能在平面β内或与平面β相交．3．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(10),4) B.eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(6),5)解析：选B.如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在直角三角形DNA中，sin∠DAN＝eq\f(DN,AD)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq\f(\r(6),4).4.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．5．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________．解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl＝3πr2，即l＝3r，母线与底面夹角为θ，则cosθ＝eq\f(r,l)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7．如图，在四棱锥E­ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：(1)直线MN∥平面EBC；(2)直线EA⊥平面EBC.证明：(1)取BE的中点F，连接CF，MF.因为M是AE的中点，所以MF綊eq\f(1,2)AB.因为N是矩形ABCD中边CD的中点，所以NC綊eq\f(1,2)AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF.又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC.(2)因为平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，又因为在矩形ABCD中，BC⊥AB，所以BC⊥平面EAB.又因为EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.因为EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.8.如图，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，故CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，则CD⊥AM，而PC⊥平面AMN，有PC⊥AM，又PC∩CD＝C，则AM⊥平面PCD，故AM⊥PD.(2)延长NM，CD交于点E，因为PC⊥平面AMN，所以NE为CE在平面AMN内的射影，故∠CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角，又因为CD⊥PD，EN⊥PN，则有∠CEN＝∠MPN，在Rt△PMN中，sin∠MPN＝eq\f(MN,PM)＝eq\f(\r(3),3)，故CD与平面AMN所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).[综合题组练]1．(应用型)正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则CE与平面ABCD所成角的大小为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,2)解析：选C.作EG⊥底面ABCD于点G，作GH⊥DC于点H，设所求的角为θ，连接EH，CG，则∠ECG＝θ，则CD⊥EH.又得∠ECD＝120°，设AB＝2a，则EH＝eq\r(3)a，GH＝a，所以EG＝eq\r(2)a，sinθ＝eq\f(EG,EC)＝eq\f(\r(2)a,2a)＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝eq\f(π,4).故选C.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得eq\f(1,2)l2＝8，得lRt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故该圆锥的体积V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.答案：8π3．(2019·广州市调研测试)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；(2)若∠ABC＝60°，求三棱锥P­ACE的体积．解：(1)如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OF∥PA，且OF＝eq\f(1,2)PA，因为DE∥PA，且DE＝eq\f(1,2)PA，所以OF∥DE，且OF＝DE，所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.(2)法一：因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC＝2.又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.所以S△PAC＝eq\f(1,2)PA·AC＝2.因为EF⊥平面PAC，所以EF是三棱锥E­PAC的高．易知EF＝DO＝BO＝eq\r(3)，所以三棱锥P­ACE的体积VP­ACE＝VE­PAC＝eq\f(1,3)S△PAC×EF＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).法二：因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ACD为等边三角形．取AD的中点M，连接CM，则CM⊥AD，且CM＝eq\r(3).因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CM，又PA∩AD＝A，所以CM⊥平面PADE，所以CM是三棱锥C­PAE的高．易知S△PAE＝2，所以三棱锥P­ACE的体积VP­ACE＝VC­PAE＝eq\f(1,3)S△PAE×CM＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).4．(综合型)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝eq\r(2).(1)求证：B1C∥平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM.证明：(1)连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.(2)因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM，又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC