高等数学测试题及解答

高等数学测试题及解答(分章「O'」嗷~~)

第一单元函数与极限

一、填空题

1、已知f(sinx

2)1cosx,则f(cosx)o

2

2、lim(43x)

2xx(lx)o

3、x0时，tanxsinx是x的阶无穷小。

4、limxksinxOlx0成立的k为。

5、limearctanxxx

ex1,6>f(x)

xb,xOx0在x0处连续，则bo

7^limln(3x1)

6xo

x08、设f(x)的定义域是[0,1],则f(lnx)的定义域是o

9、函数y1ln(x2)的反函数为。

10、设a是非零常数，则lim(

xxaxa

1)Xo

11、已知当x0时，(1ax2)31与cosx1是等价无穷小，则常数a

12、函数f(x)arcsin

13、lim

no3x1x2的定义域是ox2

x2a

xax2x2o14、设lim(x)8,则ao

15、lim(nnn1)(n2n)=。

二、选择题

1、设£&)*6)是[1,1]上的偶函数，11(分是[1,1]上的奇函数，则中所给的函数

必为奇函数。

(A)f(x)g(x)；(B)f(x)h(x)；(C)f(x)[g(x)h(x)]；(D)

f(x)g(x)h(x)o第1页2、(x)1x

1x,(x)13x,则当x1时有。

(A)是比高阶的无穷小；(B)是比低阶的无穷小；

(O与是同阶无穷小；(D)、o

x1,3、函数f(x)3x1kx0(x1)x0在x0处连续，贝lj

ko(A)3

2；(B)2

3；(C)1；(D)0o

4^数列极限limn[ln(n1)Inn]o

n

(A)1；(B)1；(C)；(D)不存在但非。

sinxxx5>f(x)0

IxcosxxOxOx0,贝ljx0是f(x)的。

(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)振荡间断点。

6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是()

(A)f(x)Igx,g(x)21gx；(B)f(x)x,g(x)

(C)f(x)7、limsinx

|x|22x；(D)f(x)1,g(x)secxx,g(x)x3x1；432xtan2xo=()

x0

(A)1；(B)-1；(C)0；(D)不存在。

1

8、lim(lx)x()x0

1(A)1；(B)-1；(C)e；(D)eo

9^f(x)在xO的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的()xx0

(A)充分必要条件；(B)充分条件；(C)必要条件；(D)既不充分也不必要条

件.第2页10、limx(x1x)()

x

2

(A)1；(B)2；(C)

12

；(D)0o

11>设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn,则必有()

n

n

n

(A)anbn对任意n成立；(B)bncn对任意n成立；(C)极限limancn不存

在；(D)极限limbncn不存在。

n

n

12、当x1时，函数

Xlx1

2

1

ex1的极限()

(A)等于2；(B)等于0；(C)为；(D)不存在但不为。三、计算解

答1、计算下列极限(1)lim2sin

n

n

x2

n1

；(2)lim

cscxcotx

X

3x

x0

2x1

(3)limx(ex1)；(4)lim

xx2x1

1

(5)lim

X

8cosx2cosx12cosxcosx1

2

2

3

；(6)lim

xsinx

xtanx

33

cosx

X0

1llln(l

(7)lim；(8)limn12x223n(n1)arctan

2x)4x

2

o

x211

axb3、试确定a,b之值，使lim2。xx1

4、利用极限存在准则求极限

1

1213

1213

In

InloIn

(1)lim

n

1

(2)设xla0,且xn1

nnnn

xx

axn(n1,2,),证明limxn存在,并求此极限值。

n

xx

5^讨论函数f(x)lim

n

的连续性，若有间断点，指出其类型。

第3页

6、设f(x)在［a,b］上连续，且af(x)b,证明在(a,b)内至少有一点,使

f()o第4页第一单元函数与极限测试题详细解答

一、填空题1、2sin

2

xof(sin

x2

)1(12sin

2

x2

2

)22sin

2

x2

2

f(x)22xf(cosx)22cos

x2sin

2

Xo

2、0。lim

(43x)

2

2

x

x(lx)

lim

9x24x16

XX

lim

3

2

x

Oo

3、高阶。lim

tanxsinx

x

tanx(1cosx)

x

xOx0

1im(lcosx)0,

x0

tanxsinx是x的高阶无穷小。

4、k0。

sin

lx

为有界函数，所以要使limxsin

x0

k

lx

0,只要limx0,即kOo

x0

k

x

5、0olimearctanx0(lime0,arctanx(

x

2

xx

2

x

))o

6、b2olimf(x)lim(xb)b,limf(x)lim(e1)2,

x0

x0

x0

x0

f(0)b,b2o

12

ln(3x1)

6x

3x6x

12

7、lim

x0

lim

x0

a

8、1xe根据题意要求0Inx1,所以1xeo9、ye

x1

2y1ln(x2),(y1)ln(x2),x2e

y1

xe

y1

2,y1ln(x2)的反函数为ye2axa

1

xa

x2a2axa

x1

2o

10、e

2a

原式二lim(l

x

)e

2a

o

11、a

32

由(1ax)3P

2

13

ax与cosx1〜

2

12

x,以及

2第5页

1

1

limx0

lim

(1ax)Icosx1

32

2

3

ax12

2

x0

X

2

23

a1,

可得a

14

12

o

12、x由反三角函数的定义域要求可得

3x11111x1

解不等式组可得，的定义域为。Xf(x)1x42

42x11x0

13、0lim

n

x2

2

x2lim

2

(x2

2

x2)(x2x2

2

22

x2)

2

n

x2

2

lim

x2(x2)x2

2

22

n

x2

2

Oo

14、ln2lim(

x

x2axa

)lim(l

x

x

3axa

)

xa3ax

3axa

e

3a

8

3aln8a

13

ln8

ln23

3

ln2o

15、2lim(n

n

n1)(n2n)lim

(nn1)2

n)

n

(n2

2(1

lim

n

2n

In

)2。

1

二、选择题

1、选(D)令F(x)f(x)g(x)h(x),由£&),86)是［1,1］上的偶函数,h(x)是

1,1］上的奇函数，F(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)。

2、选(C)lim

(x)(x)

x1

1im

1x(lx)(1

x1

x)

lim

1x

(1x)［l

x1

(1x)］第6页

lim

1x(lx)

13(1x)

x1

32

1

Ox02xlxOlx

4、选(B)limn[ln(n1)Inn]limln(l)n

xn

3、选(A)limf(x)

5、选(C)f(0)1,f(O)0,f(0)0

6、选(C)在(A)中f(x)lnx2的定义域为x0,而g(x)21nx的定义域为

x0,

f(x)g(x)故不正确

在(B)f(x)x的值域为(，),g(x)2

x的值域为x0,故错

在(C)中f(x)1的定义域为R,g(x)sec2xtanx的定义域为

{xR,xk

f(x)g(x),故错

7、选(D)lim

x0

sinx

|x|

lim

x0

sinxx

1,lim

x0

sinx|x|

lim

x0

sinxx

1

lim

sinx|x|

x0

不存在

11

8、选(D)lim(lx)

x0

x

lim[l(x)]

x0

X

(1)

e

1

>

9、选(C)由函数极限的局部有界性定理知，limf(x)存在，则必有xO的某一去心

xxO

邻域使f(x)有界，而f(x)在xO的某一去心邻域有界不一定有limf(x)存在，例如

xxO

limsin

x0

lx

,函数1sin

lx

1有界，但在X0点极限不存在

10、选(C)

(limx(x1x)limx

x

x

2

(x1x)(x1x)

X1X

第7页

22

lim

xx1x

2x

liml

11

x2x112

11、选(D)(A)、(B)显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列

“当n

充分大时”的情况，不可能得出“对任意n成立”的性质。

(C)也明显不对，因为“无穷小•无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。

12、选(D)lim

xlx1211x1

lex1lim(xl)ex1200x11

xHimxlx12ex1lim(x1)ex1x1

当x1时函数没有极限，也不是。

三、计算解答

1、计算下列极限：

(1)解：lim2sinnnx2n1lim2nnx2n12xo

1

(2)解：limcscxcotx

x

lx0limsinxx0cosxx2sinxlimlcosxlim1。2xOx0xxxsinx2

(3)解：limx(ex1)limxxxlx1。

(4)解：lim(x2x12xl)3xlim(lx22x1)3xlim[(1xlx1

2)llx22]o3

[limlxlx1

2

2)x12][limlx31x121)2]e33

(5)解：lim

x8cosx2cosx12cosxcosx123limx(2cosx1)(4cosx1)(2cosx1)(c

osx1)

3

lim

x4cosxlcosx141

2112o31第8页

(6)解:lim

xsinx

xtanx

cosx

x0

lim

1xsinxcosxxtanx(xsinx

lim

1cosx2x

2

x0

cosx)

1434

lim

xsinx1cosx

2x

2

x0

lim

xsinx2x

2

xOx0

12

o

(7)解：lim[

x

112

12

123

12

13

ln(n1)

In

]

1

lim[(1

x

)0(

n1

)]

lim(l

x

In1

)lo

33

(8)解：lim

ln(larctan

2

2x)4x

2

3

x2

lim

2x4x

2

x232

lim(

x2

12x

1

)3

14

o

3、解：lim(

x

Xlx1

2

axb)lim

x1ax(ab)xb

x1

12

2

x

lim

(1a)x(ab)x(1b)

x1

X

1aOa1

13o

(ab)b22

1

121312

InIni11213

1

1

loIn

In11

In1

4、(1).1

1

而lim

In1

1

11lim

x

x

1

(2)先证有界(数学归纳法)

n1时，x2

axl

aaa

axk

a

2

设nk时，xka,则xk1数列｛xn｝有下界,

a第9页

再证｛xn｝单调减,

xn1

xnaxnxnaxn1且xn0

xn1xn即｛xn｝单调减,limxn存在,设limxnA,nn则有

AaAA0(舍)或Aa,limxnan5、解：先求极限得f(x)limn

n2x2xn1101lxOx0x0

而limf(x)1limf(x)1f(0)0

x0x0

f(x)的连续区间为(,0)(0,)x0为跳跃间断点.。

6、解:令F(x)f(x)x,则F(x)在［a,b］上连续

而F(a)f(a)a0

F(b)f(b)b0

由零点定理,(a,b)使F()。即f()0,亦即f()

第10页

第二单元导数与微分

一、填空题

1、已知f(3)2,则limf(3h)f(3)

2h

f(x)

xx0=o=oh02.f(0)存在，有f(0)0,则lim

3^yxxarctan1

，则yx1=o

4、f(x)二阶可导，yf(1sinx),则y=；y=。

5、曲线yex在点处切线与连接曲线上两点(0,1),(l,e)的弦平行。6、

yIn[arctan(1x)],则dy二。

7、ysin2x4,则dydxdx

12tx8>若f(t)limt(1),则f(t)=o

xx二，dy2二o

9、曲线yx21于点处的切线斜率为2。

10、设yxex,则y(0)。

11、设函数yy(x)由方程exycos(xy)0确定，则

2x1t2dy12、设则2dxycostdydx

二、单项选择

1、设曲线y1

x和yx在它们交点处两切线的夹角为，则tan=()。2

(A)1；(B)1；(C)2；(D)3o

ktanx3、函数f(x)e,且f()e,则k()。4

(A)1；(B)1；(C)

4、已知f(x)为可导的偶函数，且lim

处切线的方程是。12；(D)2o2,则曲线y£&)在(1,2)

f(1x)f(l)2xx0

(A)y4x6；(B)y4x2；(C)yx3；(D)yx1。第11页5、

设f(x)可导，则limf(xx)f(x)

x22=o

xOCA)0；(B)2f(x)；(C)2f(x)；(D)2f(x)f(x)。

6、函数f(x)有任意阶导数，且f(x)[f(x)]2,则f(n)(x)=o(A)

n[f(x)]n1；(B)n![f(x)]n1；(C)(n1)[f(x)]n1；(D)(n1)![f(x)]2«

7、若f(x)x2,则limf(x02x)f(xO)

x=()

x0

(A)2x0；(B)x0；(C)4x0；(D)4x»

8、设函数f(x)在点xO处存在f(xO)和f(xO),则f(xO)f(xO)是导

数f(xO)存在的()

(A)必要非充分条件；(B)充分非必要条件；

(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。

9、设f(x)x(x1)(x2)(x99)则f(0)()

(A)99；(B)99；(C)99!；(D)99!。

10、若f(u)可导，且yf(x2),则有dy()

(A)xf(x)dx；(B)2xf(x)dx；(C)2f(x)dx；(D)

2xf(x)dxo

11、设函数f(x)连续，且f'(0)0,则存在0,使得()

(A)《)在(0,)内单调增加；(B)f(x)S(,0)内单调减少；

(C)对任意的x(0,)有£&)f(0)；(D)对任意的x,0)有血)f(0)»

12xsinl2>设f(x)xaxb2222xOx0在x0处可导，则()

(A)al,b0；(B)a0,b为任意常数；

(C)a0,b0；(C)al,b为任意常数。

三、计算解答第12页

1、计算下列各题(1)ye

sin

2

lx

2

xIntdy

,求dy；(2)，求2

3

ytdx

t1

(3)xarctanyy,

xlx

x

dydx

2

2

；(4)ysinxcosx,求y(50)；

(5)y(),求y；

(6)f(x)x(x1)(x2)(x2005),求f(0)；

(7)f(x)(xa)(x),(x)在xa处有连续的一阶导数，求f(a)、f(a)；

(8)设f(x)在x1处有连续的一阶导数，且f(1)2,求lim

x1

d

dx

f(cosx1)o

b(1sinx)a2

2、试确定常数a,b之值，使函数f(x)ax

e1

xOx0

处处可导。

3、证明曲线x2y2a与xyb(a,b为常数)在交点处切线相互垂直。

4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上

升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数f(x)对任意实数

xl,x2有f(xlx2)f(xl)f(x2),且f(0)1,证明

f(x)f(x)O

6、求曲线yx3x5上过点(1,3)处的切线方程和法线方程。

32第13页

第二单元导数与微分测试题详细解答

一、填空题1、1lim

f(3h)f(3)

2hf(x)x

lim

x0

h0

lim

f(3h)f(3)

hf(0)

h0

(

12

)

12

f(3)1

2、f(0)lim

f(x)f(0)

x0

x0

3、Inxyxlnx1y|x1Inx

4、f(1sinx)cosx,f(1sinx)cos2xf(1sinx)sinx

2

yf(1sinx)cosx,yf(1sinx)cosxf(1sinx)sinx

5、(ln(el),e1)弦的斜率k

x

x

e110

e1

y(e)ee1xln(e1),当xln(e1)时，yelo

6、

dx

arctan(1x)[1(1x)]

1arctan(1x)

dx

2

dyd[arctan(1x)]

1

arctan(1x)1(1x)

1

2

d(lx)

arctan(1x)[1(1x)]

4

2

4

2

dydx

4

7、4xsin2x,2xsin2x

dydx

2

3

2sinxcosx4x4xsin2x

44334

dy2xdx

2xsin2x

lx)

2tx

2

8、e

2t

2te

2t

f(t)limt(1

x

te

2t

2t2t

f(t)e2te

2

9、(1,2)y2x,由2x02xO1,yO112

yx1在点(1,2)处的切线斜率为2

2

10^2yexe,yeexe

00

y(0)ee2

xxxxx第14页

11、

ee

xyxy

ysin(xy)xsin(xy)

方程两边对x求导得exy(1y')sin(xy)(yxy，)0

解得y'

ee

xyxy

ysin(xy)xsin(xy)

o

12、

sinttcost

4t

3

由参数式求导公式得

dydx

yt，xt'

sint2t

f

再对X求导，由复合函数求导法得

dydx

22

ddx

(yx，)

(yx')t'xt'

ltcostsint2

t

2

12t

sinttcost

4t

3

二、选择题

1

1y2

k()|x11,k2(x)|x121、选(D)由交点为，

x2

yx

tan；tan(21);|

k2kllklk2

x

I3

3、选(C)f(x)etan

由f(

4

k

ktan

k1

xsecx

2

)e得ek2ek

f(lx)f(l)

12

f(1x)f(1)

4^选(A)由lim

2x2x

f(1x)f(1)11

lim()f(1)()2f(1)4x0x22

x0

x0

lim

切线方程为：y24(x1)即y4x6

5、选(D)lim

f(xx)f(x)

x

2

22

x0

2

[f(x)]2f(x)f(x)

6、选(B)f(x){[f(x)]}2f(x)f(x)2f(x)

324

f(x)[2f(x)]23f(x)f(x)23f(x)

3

设f

(n)

(x)n!f

n1

(x),则f

(n1)

n

(x)(nl)!f(x)f(x)(nl)!f

n2

(x)第15页

f

(n)

(x)n!f

n1

(x)

lim2

x0

7^选(C)lim

f(xO2x)f(xO)

x

f(xO2x)f(xO)

2x

x0

2f(xO)

又f(x)(x2)2x,2f(xO)4x0

8、选(C)f(x)在xO处可导的充分必要条件是f(x)在xO点的左导数f(xO)

右导数f(xO)都存在且相等。9、选(D)

f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)

x(x1)(x2)(x98)

99

f(0)(01)(02)(099)(1)99!99!

另解：由定义，f(0)lim

(1)

99

f(x)f(0)

x0

x0

lim(x1)(x2)(x99)

x0

99!99!

10、选(B)[f(x2)]f(x2)(x2)2f(x2)

2

dy2xf(x)dx

11、由导数定义知

f'(0)lim

f(x)f(0)

x

x0

0,

f(x)f(0)

x

0,

再由极限的保号性知0,当x()时

从而当x(,0)(X(0,))时，f(x)f(0)0(0),因此C成立，应选C。

12、由函数f(x)在x0处可导，知函数在x0处连续

1imf(x)limxsin

x0

2

lx

x0

0,limf(x)lim(axb)b,所以b

x0

x0

又f(0)lim

f(x)f(0)

xsin

lim

0

2

1

0

x0

0,f(0)limf(x)f(0)axa,

xOxxOx

所以aOo应选C。

第16页

三、计算解答1、计算下列各题(1)dye

sin

2

lx

d(sin

2

lx

)e

sin

2

lx

2sin

lx

cos

lx

lx

2

)dx

lx

2

sin

2x

e

sin

2

lx

dx

(2)

dydx

3tlt

2

3t,

3

dydx

2

2

9tdy39t,|92t1

Idxt

22

(3)两边对x求导：1

11y

2

yyyy

2

1

y2y

3

32

y2y(y1)

2y

3

(

ly

2

1)

(4)ysinxcosx

12

sin2x

cos2xsin(2x

2

)y2cos(2x)

2

)2sin(2x2

2

)

设y则y

y

(n)

2

n1

sin(2xn

2

(n1)

2cos(2xn

49

n

2

)2sin(2x(n1))2

49

n

2

)

(50)

2sin(2x50

2

sin2x

(5)两边取对数：Inyx[lnxln(lx)]

ly

x

两边求导：

xlX

yInxln(lx)1

xlx

xlx

]

y()[Inxln(lx)1

(6)利用定义：

f(0)lim

f(x)f(0)

X

X0

lim(x1)(x2)(x3)(x2005)2005!

x0

(7)f(x)(x)(xa)(x)f(a)(a)

又f(a)lim

f(x)f(a)

xa

lim

(x)(xa)(x)(a)

xa

xaxa第17页

lim[

xa

(x)(a)

xa

(x)](a)(a)2(a)

[注：因(x)在xa处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]

d

(8)lim

x1

dx

f(cos

x1)lim[f(cos

x1

x1)(sinx1)

12x1

]

limf(cos

x1

x1)lim

x1

sinx1

2x1

f(1)(

12

)1

2、易知当x0时，f(x)均可导，要使f(x)在x0处可导

则f(0)f(0),且f(x)在x0处连续。即limf(x)limf(x)f(0)

x0

x0

limf(x)ba2而ab20limf(x)0x0

x0

又f(0)lim

e

f(x)f(0)

x0

x0

lim

x0

(1sinx)a2ba2

x

b

ax

f(0)lim

x0

1ba2

x

lim

x0

e

ax

lx

lim

x0

axx

a

aba1

由

ab2Ob1

22

3、证明：设交点坐标为(xO,yO),则xOyOaxOyOb

对xya两边求导：2x2yy0y

22

xy

曲线xya在(xO,yO)处切线斜率kly|xxO

bx

y

bx

2

22

xOyO

又由xyby

bx

20

曲线xyb在(xO,yO)处切线斜率k2yixxO第18页

又klk2

xOyO

b

xO

)2

bxOyO

1

两切线相互垂直。

4、设t分钟后气球上升了x米，则tan

两边对t求导：sec2

ddt

725

cos

2

x500

140500

725

ddt

1500

dxdt

当x500m时,当x500m时,

ddt

4

72512750

(弧度/分)

f(x)f(h)f(x0)h

f(h)f(0)

h

5、证明：f(x)lim

lim

f(xh)f(x)

h

f(x)f(h)f(x)f(0)

h0

lim

h0

h0

h

limf(x)

h0

f(x)f(0)f(x)

6、解：由于y3x26x,于是所求切线斜率为

kl3x6xx13,

2

从而所求切线方程为y33(x1),即3xy60

lkl

1313

又法线斜率为k2

所以所求法线方程为y3

(x1),即3yx80第19页

第三单元微分中值定理与导数应用

一、填空题

1、limxlnx_

x0

2、函数fx2xcosx在区间单调增。

3、函数fx48x33x4的极大值是。

4、曲线yx46x23x在区间一一是凸的。

5^函数fxcosx在x0处的2m1阶泰勒多项式是

6、曲线yxe3x的拐点坐标是

7、若fx在含xO的a,b(其中ab)内恒有二阶负的导数，且，则

fxO是fx在a,b上的最大值。

8、yx32x1在，内有个零点。9、

limcotx(x0)sinxx

11)10>lim(2xOxxtanx

21loo11、曲线yex的上凸区间是

12、函数yex1的单调增区间是o

二、单项选择

1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0)O.f(0)l,f(0)2,则lim(A)不存

在；(B)0；(0-1；(D)-2o

2、设f(x)(x1)(2xl),x(,),则在(,1)内曲线f(x)()

21f(x)xx2x()x0

(A)单调增凹的；(B)单调减凹的；(C)单调增凸的；(D)单调减凸的。

3、f(x)在(a,b)内连续，xO(a,b),f(xO)f(xO)0,则f(x)在xxO处()

(A)取得极大值；(B)取得极小值；第20页(C)一定有拐点(xO,f(xO))；

(D)可能取得极值，也可能有拐点。

4、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，贝UI：在(a,b)内f(x)0与II：在

(a,b)±f(x)f(a)之间关系是()

(A)i是n的充分但非必要条件；(B)I是n的必要但非充分条件；

(oI是n的充分必要条件；(D)I不是n的充分条件，也不是必要条件。

5、设f(x)、g(x)在a,b连续可导,f(x)g(x)0,且f(x)g(x)f(x)g(x),则

当axb时，则有()

(A)f(x)g(x)f(a)g(a)；(B)f(x)g(x)f(b)g(b)；f(x)

g(x)f(a)g(a)g(x)f(x)g(a)f(a)(C)；(D)»

6、方程x33x10在区间(，)内()

(A)无实根；(B)有唯一实根；

(C)有两个实根；(D)有三个实根。

7、已知f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)0,lim

处f(x)()

(A)不可导；(B)可导，且F(0)0；

(C)取得极大值；(D)取得极小值。

8、设f(x)有二阶连续导数，且f'(0)0,limf"(x)

|x|1,则()f(x)lcosxx02,则在点x0

X0

(A)f(0)是f(x)的极大值；(B)f(0)是f(x)的极小值；(C)(0,f(0))是曲线

yf(x)的拐点；(D)f(0)不是f(x)的极值点。

9、设a,b为方程f(x)0的二根，£6)在心,目上连续，在(a,b)内可导，则f'(x)在

(a,b)内()

(A)只有一实根；(B)至少有一实根；(C)没有实根；(D)至少有2个实根。

第21页10、在区间［1,1］上满足罗尔定理条件的函数是()(A)f(x)

lx

2

;(B)f(x)|x1；

(C)f(x)1x2；(D)f(x)x22x1。

11、函数f(函在区间(a,b)内可导,则在(a,b)内f'(x)0是函数f(x)在(a,b)内单调

增加的()

(A)必要但非充分条件；(B)充分但非必要条件；(C)充分必要条件；(C)无

关条件。12、设yf(x)是满足微分方程y"y'esin

且f'(x0)0,则f(x)在()0的解，

(A)x0的某个邻域单调增加；(B)x0的某个邻域单调减少；(C)xO处取得极小

值；(D)x0处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限(l)lim

x1

arccosxx1

；(2)lim

x0

Incotx

Inx

>

(3)lim

x0

；(4)lim21n(lx)；2

xOxxln(lx)x

；(6)lim

x0

ee

xsinx

11

⑸lim

xarctanx

x

3

Intan(ax)

x0

Intan(bx)

2、证明以下不等式

ba

⑴、设bae,证明ab。

(2)、当0x

3

2

时，有不等式tanx2sinx3x„

(6)

3、已知yxsinx,利用泰勒公式求y(0)。

33n

4、试确定常数a与n的一组数，使得当x0时，ax与In(1x)x为等价无穷小。

5、设f(x)在a.b上可导，试证存在(ab),使第22页

lb3a3

baf(a)f(b)23f()f().,

6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该

体积最小值。

7、若f(x)在［0,1］上有三阶导数，且f(0)f(l)0,设F(x)x3f(x),试证：在(0,1)

内至少存在一个，使F"'()0。

第23页

第三单元微分中值定理与导数应用测试题详细解答

一、填空题

1

Inxlx

1im(x)0

xOlx

2

1、0limxlnxlim

x0

x0

lim

x0

2、(,)f(x)2sinx0£«)在(，)上单调增3、20

f(x)24x212x312x2(x2)

令f(x)0xl0,x22

当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0

极大值为f(2)20

4、(1,1)y4x312x3,y12x21212(x1)(x1)

当x1时，y0.当x(1,1)时，y0；当x(1,)时，y0

曲线在(1,1)上是凸的

5、1

12!

2

14!

x(1)

4m

l(2m)!

x

2m

6、(,

2233

e

2

3x3x3x

)ye3xee(13x),

y3e

3x

(13x)3e

23

3x

e23

3x

(9x6)9e

3x

(x23

23

)

令y0x而当x

23

，当X

23e

2

时，y0；当x时y0

时，y

222

拐点为(,e)

33

7、f(x0)0,f〃(xO)lim

f(x)f(xO)

xxO

xxO

lim

f(x)xxO

xxO

0

f(x)xxO

0

当xxO时、f(xO)0,f(x)单调增加；当xxO时，fO,f(x)单调减少第24

页

8、1y3x220,丫在(,)上单调增加

又limylimy.在(，)内有1个零点。

x

X

9、

16

原式lim

cosx(xsinx)

xsin

2

x0

x

limcosxlim

x0

xsinxx

3

x0

lim

1cosx3x

2

x0

16

10、

13

原式二lim

tanxxxtanx

2

x0

lim

tanxxx

3

x0

lim

secx13x

2

2

x0

2

13

lim

tanx

22

x

x0

13

2

11、(

22

»

222

x2x

令y〃0x)y'2xe,y”[2(2x)]e

2

222

，当

x(

2

22

上凸,其它区间y"0,上凹，故应填入（）时，y"0,,

22

)。

12、(|）函数yexx1的定义区间为（，）,在定义区间内连续、可

导，且yex1,因为在（0,）内丫'0,所以函数yexx1在（0,）上单调

增加。选择题1、选（C）lim

f(x)xxl2

2

x0

lim

f(x)12x

x0

lim

f(x)2

x0

1

14

)0x(

12,1)

2、选(B)当x(,1)时，，f(x)0,又f(x)4x14(x

1

f(x)在(，1)上单调减且为凹的。

2

34

x0是f(x)x3的拐点；3、选(D)f(x)x,则f'(0)f〃(0)0,设f(x)x,

4

则f'(0)f〃(0)0,而x0是f(x)x的极值点。

4、选(C)由f(x)在(a,b)内f(x)0的充分必要条件是在(a,b)内f(x)C(C为

常数)，又因为f(x)在［a,b］内连续,所以Cf(a),即在(a,b)±f(x)f(a)o5、选

(C)由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0

f(x)g(x)

f(x)g(x)

[]0单调减少，x(a,b)第25页

f(x)

g(x)f(a)

f(b).

6、选（D）令f（x）x33x1,则f(x)3x233(x1)(x1)；

当x1时，f（x）0,f（x）单调增加,

当x1,1)时,f(x)0,f(x)单调减少

当x(1,)时,f(x)0,f(x)单调增加.

而£(1)3,f(l)1

limf(x)，limf(x)

xx

乳乂）在（，1）上有一实根，在［1,1］上有一实根，在（1,）上有一实根。

7、选（D）利用极限的保号性可以判定f（x）的正负号:

limf(x)

1cosx20f（x）

1cosx0（在乂0的某空心邻域）；

x0

由1cosx0,有f（x）0f（0）,即f（x）在x0取极小值。

8、选（B）由极限的保号性：

limf”(x)

Ixi1or(x)

|x|x0；由此f”（x）0（在0（在x0的某空心邻域）

x0的某空心邻域），f'（x）单调增，又由f'（0）0,『6）在*0由负变正，由极值

第一充分条件，x0是f（x）的极小点。

9、选（B）由罗尔定理保证至少存在一点（&1））使『（）0o

10、选(C),A选项f(x)在X0不连续，B选项f(x)在X0处不可导，D选项

f(l)f(Do

11、选(B),如y*在(,)单增，但f'(0)0,故非必要条件。3第26页

12、选(C),由f'(x0)0有y〃(x0)esin

取得极小值。三、计算解答1、计算极限(1)解：lim

x1

x0

y，(x0)e

sinxO

0,所以f(x)在xO处

arccosxx1

1

lim

x1

2arccosx

1

11x

2

lim

x1

larccosx

1x

12

2x1

1

(2)解：lim

x0

Incotxlnx

limx0

(cscx)lx

lim

x0

2

xsinxcosxsin

2

x

lo

⑶解：lim

ee

2x

sinx

x0

xln(lx)

lim

e

sinx

(e

xsinx

1)

x0

x

3

lim

xsinxx

3

x0

lim

1cosx3x

2

x0

16

(4)解：lim[

x0

lx

lx

2

ln(lx)]lim

xln(lx)

xl23x

22

1lim

x0

1

11lim[]

x02x2(1x)2

x0

(5)解：lim

xarctanx

x

3

1lim

x0

x0

lim

x

2

2

2

x0

3x(1x)

13

o

1

tan(ax)

1im(6)解：1im

xOlntan(bx)x01

tan(bx)

bxsec(ax)aaxsec(bx)b

b

a

Intan(ax)

sec(ax)asec(bx)b

2

2

lim

x0

tan(bx)sec(ax)atan(ax)sec(bx)b

2

2

2

lim

x0

2

1

2^(1)证明：abblnaalnb第27页

令f(x)xlnaalnx,则f(x)在［a,b］上连续

f(x)Ina

ax

0x［a,b］

f(x)在［a,b］上单调增加，f(b)f(a)

得blnaalnbalnaalna0,即abba(2)令f(x)tanx2sinx3x在x(0,

lcosx

2

2

)时

2

f(x)secx2cosx3

cosxcosx331cosx

2

cosxcosx30

f(x)0,£&)在［0,

X(0,

2

)上单调增

2

)f(x)f(0)即tanx2sinx3x

3、解：泰勒公式f(x)f(0)f(0)x

f(0)2!x

x

2

f

(n)

(0)

n!

2m

xo(x)

nn

而sinxx

x

3

3!

x

52m1

5!

(1)

m1

(2m1)!

o(x)

yxsinxx

34

x

6

3!f

(6)

x

8

5!

对比x的导数有:

6

(0)

6!

13!

f

(6)

(0)

6!3!

120

4、解：lim

ax

n3

3

x0

ln(lx)x

lim

anx3x1x

23

n1

x0

lim[3x

2

x0

an3

X

n6

(1x)]1

3

n6,

3

an3

3

1a

12

5、即证：

bf(h)af(a)

ba

3

[3f()f()]

2

令F(x)xf(x),则F(x)在[a,b]上满足拉氏定理的条件第28页

(a,b),使

3

3

F(b)F(a)

ba

F)

即

bf(h)af(a)

ba

23

3f()f()

即

lb

3

a

3

baf(a)f(b)

：3f()f()]

2

6、解：设圆锥的高为h,底面圆半径为R,则有比例关系

hrhR

2

2

rh

R

2

hr

2

h2r

2

2

V

13

Rh

2

13

hr

h2r

(h2r)

1

dVdh

13

2hr(h2r)hr

(h2r)

2

222

hr(2h4rh)

(h2r)

2

2

令

dVdh