2019年陕西省中考数学复习专题训练 第七章 图形的变化第三节 图形的对称、平移、旋转与位似

——第七章图形的变化第三节图形的对称、平移、旋转与位似基础过关1.(2018绵阳)下列图形是中心对称图形的是()2.(2018重庆A卷)下列图形中一定是轴对称图形的是()3.(2018广州)如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有()A.1条B.3条C.5条D.无数条第3题图第4题图4.(2018济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A、C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2.将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是()A.(2，2)B.(1，2)C.(－1，2)D.(2，－1)5.(2018天津)如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是()A.AD＝BDB.AE＝ACC.ED＋EB＝DBD.AE＋CB＝AB6.(2018抚顺)已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)，将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(－2，1)．则点B的对应点的坐标为()A.(5，3)B.(－1，－2)C.(－1，－1)D.(0，－1)7.(2018西工大附中模拟)在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为eq\f(1,2)，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A.(－2，1)B.(－2，1)或(2，－1)C.(－8，4)D.(－8，4)或(8，－4)8.(2018丽水)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是()A.55°B.60°C.65°D.70°第8题图第9题图第10题图9.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于()A.112°B.110°C.108°D.106°10.(2018内江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B、C的坐标分别为(2，1)、(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为()A.(－4，－5)B.(－5，－4)C.(－3，－4)D.(－4，－3)11.(2018甘肃省卷)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为()A.5B.eq\r(23)C.7D.eq\r(29)第11题图第12题图第13题图第14题图12.(2018山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为()A.12B.6C.6eq\r(2)D.6eq\r(3)13.(2018西安交大附中模拟)在边长为2eq\r(2)的菱形ABCD中，∠C＝45°，DE为BC边上的高，将△DCE沿DE所在的直线翻折得△DC′E，C′D与AB边相交于点F，则C′F的长为()A.2eq\r(2)B.2eq\r(2)－2C.4－2eq\r(2)D.2－eq\r(2)14.(2018宜宾)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于()A.2B.3C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)15.(2018青海省卷)如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且eq\f(OE,EA)＝eq\f(4,3)，则eq\f(FG,BC)＝________.16.如图，已知△AOB中，OA在y轴上，OB在x轴上，且OA＝2，OB＝4，将△AOB沿着某直线CD折叠后点B与点A重合，折痕CD与x轴交于点C，则点C的坐标是________．第15题图第16题图第17题图第18题图17.(2018江西)如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为________．18.(2018西安高新一中模拟)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BC＝6，AD＝3，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的面积为________．19.如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是________．第19题图第20题图20.如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm，1cm，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为________cm.21.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，1)，C(5，1)．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1(4，5)，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B2C2.22.(2018阜新)如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(－4，4)，B(－2，5)，C(－2，1)．(1)平移△ABC，使点C移到点C1(－2，－4)，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；(2)将△ABC绕点(0，3)旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；(3)求(2)中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长(结果保留π)．满分冲关(2018西工大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点E在AD上，且AE＝4，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则tan∠DEC等于()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)第1题图第2题图第3题图第4题图2.(2018随州)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为________．3.(2018潍坊)如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则点M的坐标为________．4.如图，矩形OABC的顶点坐标为A(6，0)、C(0，4)，点D为OC的中点，点E、F在OA上，且点E在点F的左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，点F的坐标为________．5.(2018齐齐哈尔)综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观．折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D.第5题图解决问题(1)在图①中，①B′D和AC的位置关系为________________；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是__________；(2)若图①中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图②所示，结论①和结论②是否成立？若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形．则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为______________________；拓展应用(4)在图②中，若∠B＝30°，AB＝4eq\r(3)，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为______________．参考答案及解析第七章图形的变化第三节图形的对称、平移、旋转与位似基础过关1.D【解析】选项逐项分析正误A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形×B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形×C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形×D不是轴对称图形，但是中心对称图形√2.D【解析】A.40°的直角三角形不是对称图形；B.两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形；C.平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；D.矩形是轴对称图形，有两条对称轴．3.C【解析】五角星的对称轴是过中心和每个顶角的直线，共5条．故选C.4.A【解析】∵AC＝2，点C的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到A′的坐标为(－1，2)，再将Rt△ABC向右平移3个单位可得A″的坐标为(2，2)，故选A.5.D【解析】∵BD为折痕，点C的对应点为点E，∴BE＝CB，∵点E在边AB上，∴AE＋BE＝AB，∴AE＋CB＝AB.6.C【解析】由题意可知，点A到其对应点的变化为横坐标向左平移了3个单位，纵坐标向下平移了2个单位，∴点B对应点的变化与其相同，即(－1，－1)．故选C.7.B8.C【解析】∵点A、D、E在同一条直线上，且旋转角是90°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝EC，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠E＝∠EAC＝45°，由旋转性质可得∠DCE＝∠ACB＝20°，∴∠ADC＝∠DCE＋∠E＝20°＋45°＝65°.9.D【解析】∵∠AGE＝32°，∴∠EGD＝180°－32°＝148°，由折叠性质可知，∠EGH＝∠HGD＝74°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GHC＝180°－∠HGD＝180°－74°＝106°.10.A【解析】如解图，过点A作AM⊥y轴，过点A′作A′N⊥y轴，∵△ABC是等腰直角三角形，且点B(2，1)，C(6，1)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，3))，∴直线AB的解析式为y＝x－1，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，由于△ABC与△A′B′C′关于点P对称，∴PN＝PM＝4，A′N＝AM＝4，∴A′(－4，－5)．第10题解图11.D【解析】由旋转性质可知△ABF≌△ADE，∴S正方形ABCD＝S四边形AECF＝25，解得AD＝5，∵DE＝2，由勾股定理得AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(52＋22)＝eq\r(29).12.D【解析】如解图，连接BB′，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，∴BC＝AC·tanA＝6×eq\r(3)＝6eq\r(3)，由旋转性质知，AC＝A′C，BC＝B′C，∴△AA′C是等边三角形，则旋转角∠BCB′＝∠ACA′＝60°，∴△BCB′是等边三角形，则点B与点B′之间的距离等于BC的长，即为6eq\r(3).第12题解图13.B【解析】∵在边长为2eq\r(2)的菱形ABCD中，∠C＝45°，DE为BC边上的高，∴DE＝EC＝2，由折叠易得△DCC′为等腰直角三角形，∴C′B＝2CE－BC＝4－2eq\r(2)，∵AD∥CB，∴∠FBC′＝∠A＝45°，又由折叠的性质知，∠C′＝∠C＝45°，∴△C′FB为等腰直角三角形，∴C′F＝2eq\r(2)－2.14.A【解析】如解图，设A′B′、A′C′分别交BC于点E、F，∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的，∴A′B′∥AB,A′C′∥AC，∴△A′ED∽△ABD，△A′FD∽△ACD，∴eq\f(ED,BD)＝eq\f(A′D,AD)，eq\f(DF,DC)＝eq\f(A′D,AD)，∴eq\f(ED,BD)＝eq\f(DF,DC)，∵BD＝DC，∴ED＝DF，∴A′D是△A′EF边EF的中线．易证△A′EF∽△ABC，∴eq\f(S△ABC,S△A′EF)＝(eq\f(AD,A′D))2.设A′D＝x，则AD＝A′D＋AA′＝x＋1.∴eq\f(9,4)＝(eq\f(x＋1,x))2，∵x>0，∴eq\f(x＋1,x)＝eq\f(3,2)，解得x＝2.第14题解图15.eq\f(4,7)【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，且点O是位似中心，eq\f(OE,EA)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(OE,OE＋EA)＝eq\f(4,4＋3)，即eq\f(OE,OA)＝eq\f(4,7)，∵EF∥AB，△OEF与△OAB是位似图形，eq\f(OF,OB)＝eq\f(OE,OA)＝eq\f(4,7)，又∵FG∥BC，∴△OFG与△OBC是位似图形，∴eq\f(FG,BC)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(4,7).16.(eq\f(3,2)，0)【解析】设C(a，0)，∴OC＝a，∵OA＝2，OB＝4，∴AC＝BC＝4－a，在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2，∴(4－a)2＝a2＋22，解得a＝eq\f(3,2)，∴点C的坐标为(eq\f(3,2)，0)．17.3eq\r(2)【解析】∵AD＝EF＝DE＝3，∠D＝90°，∴AE2＝AD2＋DE2＝18，∴AB＝AE＝eq\r(18)＝3eq\r(2).18.6【解析】∵AD⊥BC，BC＝6，AD＝3，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位，∴BB′＝2，∴B′C＝BC－BB′＝6－2＝4，△ABC的高AD＝△A′B′C′的高＝△A′B′C的高＝3，∴S△A′B′C＝eq\f(1,2)×4×3＝6.19.6【解析】根据正方形的性质可知点D和点B关于对角线AC对称，则BP＝DP，如解图，连接DE交AC于点P，此时△PBE的周长最小，∵CD＝4，CE＝4－1＝3，∴DE＝5，则△PBE周长的最小值为BP＋PE＋BE＝DE＋BE＝6.第19题解图20.3eq\r(2)【解析】当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF＝AC－AF；当点F不在正方形的对角线上时，由点A、C、F构成的三角形的三边关系可知AC－AF＜CF＜AC＋AF.∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，∵正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，∴AC＝4eq\r(2)cm，AF＝eq\r(2)cm，∴CF最小＝AC－AF＝4eq\r(2)－eq\r(2)＝3eq\r(2)cm.21.解：(1)画出△A1B1C1如解图；(2)画出△A1B2C2如解图．第21题解图22.解：(1)如解图所示，则△A1B1C1即为所求作的三角形，A1(－4，－1)，B1(－2，0)；(2)如解图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形．第22题解图(3)∵点C经过的路径长即为以点(0，3)为圆心，2eq\r(2)为半径的半圆弧长，∴点C经过的路径长为eq\f(1,2)×2πr＝2eq\r(2)π.满分冲关1.A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠DEC＝∠A′CB，由折叠的性质，得A′B＝AB＝8，AE＝A′E＝4，∠BA′E＝∠A＝90°，∴A′B＝CD，∠BA′C＝∠D＝90°，在△A′BC和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A′CB＝∠DEC,∠BA′C＝∠D,A′B＝CD))，∴△A′BC≌△DCE(AAS)，∴A′C＝DE，设A′C＝DE＝x，则BC＝AD＝DE＋AE＝x＋4，在Rt△A′BC中，A′B2＋A′C2＝BC2，即82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，∴A′C＝DE＝6，∴tan∠DEC＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(8,6)＝eq\f(4,3).2.(eq\r(6)，－eq\r(6))【解析】如解图，连接OB，OB′，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵四边形ABCO是菱形，∠AOC＝60°，OC＝BC＝2，∴∠BOD＝30°，∴∠BCE＝60°，则CE＝1，BE＝eq\r(3)，∴OE＝3，根据勾股定理可得OB＝eq\r(OE2＋BE2)＝2eq\r(3)，由旋转的性质得OB′＝OB＝2eq\r(3)，∠BOB′＝75°，∴∠COB′＝∠BOB′－∠BOE＝45°，∴OD＝B′D，在Rt△ODB′中，根据勾股定理得OD2＋B′D2＝OB′2，即2OD2＝12，解得OD＝eq\r(6)，即B′D＝eq\r(6)，∵点B′在第四象限，∴点B′的坐标为(eq\r(6)，－eq\r(6))．第2题解图3.(－1，eq\f(\r(3),3))【解析】如解图，过点B′作B′E⊥AB于点E，连接AM，设点M坐标为(－1，m)，∵正方形AB′C′D′是由正方形ABCD逆时针旋转30°得到的，∴AB′＝AD，AM＝AM，∠ADM＝∠AB′M，∴△AB′M≌△ADM，∴∠B′AM＝∠MAD＝∠DAD′＝30°，则B′C′所在直线的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，设B′C′所在直线解析式为y＝eq\f(\r(3),3)x＋b，∵正方形ABCD的边长为1，∴B′(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，将(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))代入直线解析式，可得B′C′所在直线解析式为y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(2\r(3),3)，∴当x＝－1时，y＝eq\f(\r(3),3)，即m＝eq\f(\r(3),3)，故点M的坐标为(－1，eq\f(\r(3),3))．第3题解图4.(eq\f(10,3)，0)【解析】如解图，将点B向左平移2个单位长度得到B′(4，4)，作点D关于x轴的对称点D′(0，－2)，连接B′D′，与x轴的交点为E，此时四边形BDEF的周长最小，∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值，∴当BF＋DE最小时，四边形BDEF的周长最小，∵BF＋ED＝B′E＋ED′＝B′D′，设直线B′D′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B′(4，4)、D′(0，－2)分别代入B′D′的解析式中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝4,b＝－2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,2),b＝－2))，∴直线B′D′的解析式为y＝eq\f(3,2)x－2，令y＝0，得x＝eq\f(4,3)，∴OE＝eq\f(4,3)，∵EF＝2，∴OF＝OE＋EF＝eq\f(4,3)＋2＝eq\f(10,3)，∴点F的坐标为(eq\f(10,3)，0)．第4题解图5.解：(1)①B′D∥AC(或相互平行)；【解法提示】由折叠得∠B′CA＝∠BCA，由矩形ABCD知AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠B′CA，即∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，又由题知AD＝BC＝B′C，∴AD－AE＝B′C－CE,即DE＝B′E，∵∠B′ED＝∠AEC，∴∠EB′D＝∠EDB′＝∠EAC＝∠ECA，∴B′D∥AC.②菱形；【解法提示】由(1)知AE＝CE，即△AEC是等腰三角形，∴剪开后得到四条边相等的四边形即菱形．(2)结论仍成立．若选择结论①，证明：∵B′C＝AD，AE＝CE，∴B′E＝DE，∴∠CB′D＝∠ADB′，∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD，∴∠ADB′＝∠DAC，∴B′D∥AC；第5题解图①若选择结论②，证明：如解图①所示，设点E的对应点为点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥AE，∴∠DAC＝∠ACF，由折叠可得∠ACE＝∠ACF，∴∠DAC＝∠