导数及其应用 06 多元问题的处理（含极值点偏移） 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练导数及其应用06（多元问题的处理（含极值点偏移））1．已知函数．（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围．（2）如果对任意、，，有，求实数的取值范围．2．已知函数．（1）当时，求函数在，上的最小值和最大值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，对任意的，，且，都有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．3．已知函数，．（1）设，求的极值：（2）若函数有两个极值点，．求的最小值．4．已知函数．（1）若，证明：当，时，；（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．5．已知，．（1）若在点，（1）处的切线斜率为，求实数的值；（2）若有两个零点，且，求证：．6．已知函数，．（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：．7．已知函数在，（1）处的切线经过点，．（1）若函数（e）恒成立，求的取值范围；（2）若函数的两个极值点分别是，，求证：．8．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，分别为点，的横坐标，求证：．9．已知函数（其中常数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点、，且，求证：．10．已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．11．已知函数．（1）求函数的图象在点，处的切线方程；（2）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．12．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．13．已知函数．（1）当，时，求的单调区间；（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；（3）设，若有两个相异零点，，求证：．14．已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围：（2）在（1）的条件下，有两个不同的根，，求证：．参考答案1．（1）函数的定义域为，；，所以在上单调递增，在上单调递减，则极大值为（1），当时，；当时，，由，得在区间上存在唯一零点，则函数的图象大致如下图所示：在区间上同时存在函数的极值点和零点，，解得，即．（2）由（1）可知，函数在，上单调递减，不妨设，由，得，，令，则函数在，上单调递减，则在，上恒成立，即在，上恒成立，又因为当，时，的最小值为，，故实数的取值范围为，．2．（1）当时，．则，，当时，，当时，，在上是减函数，在上是增函数．当时，取得最小值，其最小值为（2）．又，，（e）（1）．（2）的定义域为，，①当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．②当时，在上是增函数．③当时，则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．（3）假设存在实数，对任意的，，且，都有恒成立，不妨设，若，即，令只要在为增函数要使在恒成立，只需，，故存在满足题意．3．（1），定义域是，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，故，（1）；（2）函数，，，，是函数的极值点，，是方程的两不等正根，则△，，，故，，即，，，且，，，令，则，，，，当，上递减，当上递增，故（1），故的最小值为．4．（1）证明：当，时，，故当吋，，所以只需证即可．因为，所以在上单调递减，而（1），所以当，肘，有，即当，时，成立．（2）的定义域为，，所以当时，有两个正根，，即存在两个极值点，由于的两个极值点，满足方程，所以，，则有，由，解得，，令，，所以，当时，，所以在，上是增函数，所以的最大值为，即的最大值为．5．（1），，由（1），得．（2）有两个零点，即有两个不等根，，即，即．令，则．记，则．记，则，所以（3），即，即在上单调递增，即（3），所以，所以．6．（1）由题意得，令，则，①当△，即时，在上恒成立，即的递增区间是，②当△，即时，或，即在，，递增，综上：当时，的递增区间是，当时，的递增区间是，，；（2），有2个极值点，，，是方程的两个不相等的正实数根，从而△，，解得：，由，解得：，，且，令，且，则，故当时，，故单调递增，当时，，单调递增，故，要证，只要证，只要证明，，只要证明，令，则，，，即在，递增，故（1），即，故，．7．（1）由题意可得，（1），，所以（1），所以函数在点，（1）处的切线方程为，所以，解得，因为（e），所以．（2）证明：令，则，显然，所以，为方程的两个根，所以，，，不妨令，要证，则只需证明，即，又，所以，所以，只需证，令，则只需证，令函数，，则，所以函数在上单调递增，所以（1），所以，所以，8．（1）的定义域为，且．当时，，则在上单调递增．当时，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减．综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）当时，，，所以，所以．要证，即证．因为，所以，即证．令，则，即证．令，则，所以在上单调递减，所以（1），即，．①令，则，所以在上单调递增，则（1），即．②综合①②得，所以．9．（1），则，，令，，△，①当△，即时，，故，所以在上单调递增；②当△，即当时，有两个实数根，，又，（1），且对称轴为，故，，所以当或时，，则，故单调递增；当时，，则，故单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在，单调递减；（2）因为有两个极值点、，且，所以为的极大值点，由（1）可知，，，所以，，令，则对于恒成立，故在上单调递增，所以，故．10．（1）时，，定义域是，，当时，，递减，时，，递增，故当时函数有极小值（1），无极大值；（2）的定义域是，，①当时，，则，在递增，②当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；综上：时，在递增，时，在递减，在递增；（3），定义域是，有2个极值点，，即，则有2个不相等实根，，△，，解得：，且，从而，由不等式恒成立，得恒成立，令，当时，恒成立，故函数在上单调递减，，故实数的取值范围是，．11．（1）函数，则，则，又，则切点为，切线的斜率为1，所以的图象在点，处的切线方程为，即；（2）证明：令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得极大值，即为极大值点，不妨设，由题意可知，，令，则，因为，所以，则单调递减，又，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，所以，因为，，又在上单调递增，所以，故．12．（1）当时，，则，所以（1），又（1），所以切线方程为，即．（2）由题意得，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，，令，则，①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得，当，时，，故函数在，上单调递减；当，时，，故函数在，上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以，，令，则，所以函数在上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在，上单调递减，所以，即，又，所以，因此．13．（1）当，时，，，，令，则或，令，则，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由题可得，函数有两个不同的极值点，，方程有两个不相等的正实数根，于是有解得．不等式有解，．．设（a），（a），故（a）在上单调递增，故（a），．故实数的取值范围为．（3），设的两个相异零点为，，设，欲证，需证．，，，，，．要证，即证，即，即，设上式转化为，设，，在上单调递增，（1），，，．14．（1），则，，当时，恒成立，在定义域上单调递增，当时