第五册数学答案1-145

§19.1椭圆的标准方程和性质(第一课时)

课前预习单

【任务要求】

1.略

2.(1).②③是椭圆的标准方程

(2).A

(4).

29o2

方程上+匕=1龙一+y-1

9449

焦点位置X轴上y轴上

a33

b22

c亚V5

焦点坐标(75,0),(-75,0)(0,75),(0,-V5)

到两焦点

66

的距离和

课堂探析单

【探析活动】

活动一.

任务1：想一想：不变的是：两个定点和细线的长度，或者说动点到两个定点的距离之和.

变化的是动点的位置.

任务2：椭圆的定义:平面内与两个定点E，B的距离之和等于常数(大于I6居I)的点的

轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

符号语言:一尸£+尸8=2a(2a>,F,|)

活动二.

任务1:又•••|=J(x+C)2+y2，,J(x+c)2+y2+J(x-c)2+y2=2a,

1

化简，得(a2-c2)x2+a2y2-a2(a2-c2),由定义2a>2c,a?-c?>0

22

令.“2—02=82代入，得从/+。2);2=/62,两边同除//72得0+^=1

ab

思考：(l)a,b,c；(2)a2=c2+h2

22

任务2：(1)焦点在x轴上时：0+4=1(。>人>0)

ab

22

(2)焦点在y轴上时：二+二=1(。>〃>())

a~b~

活动三.

任务1：(1)17；(2)y,10.6.8,(0,8)(0,-8),16；(3)①焦点在x轴上二+匕=1

169

②焦点在y轴上匕+二=1；（4）以M,N为焦点的椭圆，以M,N为端点的线段，轨迹不存

254

在.

22222222

任务2：(1)—+—=1；(2)—y/I—1；(3)二+二=1或"+二=1

16720425162516

课堂检测单

9-

1.—vm<25；

2

22

2.椭圆的标准方程三•+±=1,=25,4=5

259

点心与焦点弱的距离是6

3.解：设椭圆的标准方程』+「=1（。>8〉0）

ab

因为：椭圆的焦点坐标为（0,—2右）和（0,26），且经过点（一庭,君）

2

a=〃+122=20

所以:56,解得I",

---1---=1b-

a1b2=8

椭圆的标准方程上+上=1

208

2

4.解：椭圆方程可化为：x2+=1

k

•..焦点（0,2）在y轴上，.'.a2=-,b2=l,

k

Xc2=cz2—Z>2=4,仁1

课后巩固单

1.D2.D3.C4.C

5.解：•.•储=9,加=3,^79^2=77,

闺国=2旧,又|尸耳|=4,|/狎+忸&=勿=6,

22+42-（2V7）2

：.\PF2\^2,又由余弦定理，得cosN^PK

2x2x42

6尸鸟=120°,故应填2,120°.

2

6.解：①椭圆的标准方程：二+一

16

②设椭圆的标准方程「+「=1(。＞。＞0)

ab~

因为：两个焦点分别是£(-2,0),£(2,0),且过点

a2=b2+4

259a2=10

所以:解得《

b-=6

,4a2+4b-=i

椭圆的标准方程二+上=1

106

③由椭圆的几何性质可知，尸.0分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,

--+--

5=2.又因为长轴在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为94

3

22111

7.解：由椭圆方程v一+r1=1,得：一>(),一>一，女的取值范围0<%<4.

21kk4

I4

8.解：由题意可知AF；+B耳=2a,A6+36=2。，

/.CMBF=AF]+BF[+AF2+BF2=4a

又a=4即的周长等于16.

§19.1椭圆的标准方程和性质(第二课时)

课前预习单

【任务要求】

1.略

2.(1).B(2).解：①e=2,②e=2,所以①更接近于圆

52

3.解：实数k的取值范围：0<女<1

4.瑞+%，

课堂探析单

【探析活动】

活动二.

22

任务1:解：把已知方程化成标准方程0+5=1

5242

所以，q=5,b=4,c=,52-42=3,

因此，(1)椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=10,27j=8,离心率e=f=3,两个焦

a5

点分别为片(—3,0),工(3,0),椭圆的四个顶点是A(-5,0),A2(5,0),B(0,-4),与(0,4).(2)

求焦点与相应顶点间距离a-c=2

任务2：

解：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，

4

a=3,—=——,/.c=V6.从而Z>2=a2—c2=9—6=3,

a3

2

.•.椭圆的方程为/二+"v=1.

93

当椭圆的焦点在y轴上时，•.♦/)=3,£=巫

a3

22

•••椭圆的方程为W+二=1.

927

2221

...所求椭圆的方程为!+2=1或最+J=l.

92793

a+b=522

C=2A/5所求椭圆的方程为5L+4/=1或生+4V=1

(2)《

，心28181

a--b~+c

oo11

(3)设所求椭圆的方程为+町2=1,代入A,B两点，得到根=§,〃=]

22

所求椭圆的方程为二+2-=1

93

2

Yyb=c

(4)设所求椭圆的方程为一+二1，V=痴-6..•所求椭圆的方程为

aa—c

1+>2-1

105

活动三.

任务1：解：•••椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，，a=2c,-=

a2

任务2：.解：①的周长20.

|产/联+归用2_忻「2『」

②由余弦定理得：cos/£Pg

2|*|P段2

202-2|Pf；||P^|-122

4不|+|"『=2()2得:]_

2|P6||P段2

△;铲用的面积S=jp耳帜用sin600=笥8

课堂检测单

5

14

1.B；2.B；3.4或一;4.—

45

5.解：由于：2a=16,得:a=8；

C1C

由于:—=—=一

a28

得：c=4;

又因为：a2^b2+c2,

Z?2=a2-c2=64-16=48；

22

y厂1

所以:

6448

课后巩固单

1.A解:由题知2a=200,2b=160,...a=100,b=80,c=60..•.椭圆上的点到焦点的距离范

围是[100-60,100+60],即[40,160].

2222

2.D解：•门陌圆上+与=1的长轴长为10,焦点在x轴上，椭圆二+0=1的短轴长为6,

2516219

〃2=25,/=9.

3.D

5c5

4.C解：由cosOFA=一，知A是短轴的端点.二•长轴长是26,|FA|=13即a=13./.一=一,

131313

r22y2r2

c=5,b2=132-52=122=144.，椭圆的方程为一4--v=1或2一+——=1.

169144169144

222

广工

5.1-y-21或,^t---y---1--%=1

9819

6.(0,-2),(0,2)

8.解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程

X2y2

为：士一+X_=1（长轴顶点除外）；

2516

若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程

6

22

为：—+^=1（长轴顶点除外）.

1625

§19.1椭圆的标准方程和性质（第三课时）

课前预习单

【任务要求】

1.略

2

v-2

（2）.解：⑴方程V+4y2=4可化为—+/=1,是焦点在x轴上且。=2,。=1,

。=6的椭圆.所以此椭圆的准线方程为x=+4==±-

V33

⑵方程二+2-=1是焦点在y轴上且a=9,b=4,c=而的椭圆.所以此椭圆的

1681

准线方程为丁=±黑=±肛叵.

V6565

(3).解:由“=16A/T,q=,得]=16,8=4.椭圆的标准方程：—I---=1

c3c2164

课堂探析单

【探析活动】

活动一.16.6.（V7,0）（-V7.0）.—

4

活动二：椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）

内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是

离心率.

7

思考问题：答案:对于「+5=1,相对于左焦点片（―c,0）对应着左准线6：尤=-二；

abc

222

相对于右焦点B（c,O）对应着右准线右：x=±•对于j=l，相对于下焦点

cab

22

耳（0,-。）对应着下准线人-.y=-—；相对于上焦点居。C）对应着上准线4：y=2.

CC

2222，

准线的位置关系：国Wa<幺焦点到准线的距离〃—cJ-c-上（焦参数）

CCCC

活动三.

,273

y=±---?5

任务1：（1）解：①准线方程3，②准线方程x=±—

4

（2）解：由竺一（一。）=2叵，竺=迪得苫2=4,炉=1.椭圆的方程：立+/=1

c3c34

X~y24

任务2：.解：（1）解：椭圆——+乙=1的离心率为e=一，根据椭圆的第二定义得，点P

100365

到椭圆的左焦点距离为l（）e=8.再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为

20—8=12.

（2）由椭圆标准方程可知。=10,b=6,c=8,e=-.

由于|产局+|朋|=20，飓|=3四I.

，陶|=5，飓1=15

设产到左准线与右准线的距离分别为出与^2,根据椭圆的第二定义，有

M=M=4;>25175.

&d2544

2575

即产到左准线的距离为一，到右准线的距离为一.

44

任务3:由椭圆方程可知a=4,b=2V3,则c=2,e=-,椭圆的右准线方程为x=8过点Q作

2

\QF\

QQ_L/于点Q,过点P作PP，/于点P,则据椭圆的第二定义知，［J=e

I。。|

8

・•.iQ-k^QQ],|。­|+；|P。|=g(^QQ]+|PQ|)易知当P.Q.Q,在同一条线上时，即当Q

与P点重合时，[QQ]+|P0才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9,此时点Q的纵坐标为

-3,代入椭圆方程得％=±2.

因此,当Q点运动到(2,-3)处时，|QF|+取最小值9.

课堂检测单

1.D2.A3,溶=1

22[~c

4.答:椭圆二+二=1,求(1)焦点坐标(0,±2行)(2)离心率.(3)准线方程

16363

185/5

y=±

5

(4)焦点到相应准线的距离为二二(5)焦点与相应顶点间距离为6-2后

22

5.椭圆的标准方程.+工=1

98

课后巩固单

x,y一1

—+—=14

3.264.士

答案：1.D2.C5.-<m<1

~5-3

2222

xy.yx.Xx'yt

—+—=1—4--=1—+—=1

6.259或2597.1612,轨迹为椭圆.

8.解：设"在右准线’上的射影为舷1.

由椭圆方程可知a=2,b=^3c=l,2.

9

M_=li

根据椭圆的第二定义,有两=5即网=利阂.

...网+2|网=网+吵1|

显然，当产.M.%三点共线时，阳+M/J有最小值.

过尸作准线的垂线，=一1.

3X2+4/=12,/2761

由方程组〔，=一1解得I3）

T"5-1

即及f的坐标为I°＞.

§19.1椭圆的标准方程和性质（第四课时）

课前预习单

【任务要求】

1.略

2.(1).3(2).(3).-72(4).土毡

4434

课堂探析单

【探析活动】

活动一.

y=京+3

任务1：解：由，//可得（4/+1*2+2g+20=0.•.△=16（1&2_5）

1164

A=16（16A:2一5）＞0即Z＞坦或女〈一些时，直线点一y+3=0与椭圆占+二=1相

44164

10

交

A=16(16J12-5)=0即2=45或&=一立时，直线依一y+3=0与椭圆占+二=1相

44164

切

△=16(16%2-5)<0即一正<%<45时，直线近一丁+3=0与椭圆二+匚=1相离

44164

任务2：解法一：

y=京+1

222

由1尤22可得(5A：+m)x+1(Xx+5-5m=0,:.\=m-5k-l>0即

.5m

m>5k2+1>1

/.m>1且mw5

解法二：直线恒过一定点(0,1)

当“<5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长人=而，要使直线与椭圆恒有交点则JR21即

\<m<5

当〃2>5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a=后可保证直线与椭圆恒有交点即，〃〉5

综述：21且mw5

解法三：直线恒过一定点(0,1)

02I2

要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆内部一+一<1即机21

5m

/.m>1且根w5

活动二.

任务1：解：a=3,b=l,c=2,则F(-2V2,0).

由题意知：/:y=J-(x+2拒)与二+/=1联立消去y得：41+12缶+15=0.

V39

设A(X],y).B(x2,y2),则x”/是上面方程的二实根，由违达定理，+x2=-3匹,

11

x,-x2=—,xM=巳上=—逑又因为A.B.F都是直线/上的点,

4M22

所以IABI=4-—,|Xj—|=—r=,1（X]+x））〜—4X]X>——^=Jl8-15=2

任务2：解法一：由题可知：直线/样方程为2x+y+2=0

y--2x-2

由1彳2J/可得9y2+4y_4=0,

I21

E-%|=同+%）2-4必必SA=3恒周|必一力|=^^

解法二：工到直线AB的距离〃=竽

y=-2%-2-------1（\F）

由彳《+可得9/+16%+6=0,又|A同=Jl+向玉一引=-^-

晨=?型=耳^

活动三.

任务1：解：（1）（法一）当直线斜率不存在时，A点不可能上弦的中点，故可设直线方程

为y+1=Z（x-2）,

它与椭圆的交点分别为M（内,y）,N（x2,y2）,

y+l=k（x-2）

则《%2y2,消去y得（81+5）/—16%（2攵+1）%+8[（2左+1）2—5]=0,

[85

16人（2左+1）

%+x

28A2+5

又•••A（2,—l）为弦MN的中点，...与+占=4,即I，呼+D4,

8公+5

k=-,从而直线方程为5x—4y—14=0.

4

12

（法二）当直线斜率不存在时，4点不可能上弦的中点，故可设直线方程为y+l=k（x-2）,

它与椭圆的交点分别为N（x2,y2）,

则网+82⑴，

22

[5X2+8>>2=40⑵

（2）-（1）得5（巧2一%2）+8（%2_y2）=0,

A（2,-l）为MN中点，Xj+x2=4,y}+y2=-2f

.•.互/=至=3,即z=2,

马一百1644

所以，直线方程为5x—4y-14=0

22

（2）设所求的椭圆方程为「+』=1（。>人80）,

CT

由4（0,同）得

。2-*=50①

把直线方程丁=3矛-2代入桶圆方程，整理得

任+泌2卜2一]2/工+/,一/）=0

设弦的两个端点为工（孙必），,（电，y2）,则由根与系数关系得

⑵2

再+电=不同.

2

又力3中点的横坐标为5.

再+叼_6b2_1

・・.2-/+的-5,得，=3层②

解①，②得>=75,b2=25.

22

故所求椭圆的方程为匕+二=1.

7525

13

任务2：.解：设平行弦与椭圆的交点为4（为，必）,5（%2，%），平行线中点为（龙,丁），即

[4元+素=4丫_斗+尤2、,_必+》2

[芯+%2=422

两式相减得互二强■=-小王+々）=2,/.y=-2x,代入椭圆方程得％=±—,

玉一*2y+%2

..平行弦的中点的轨迹方程y=-c2%（--a-<x<《V2-）

课堂检测单

（NV6

1.D2.m6（一-—）

24

3.椭圆方程为一一+—V=1

33

课后巩固单

1.6；

2.解：设幺.B的坐标分别为（孙乃），卜2,乃）

♦.•点上.B都在椭圆上

22

^

-+Z4L

9=1①

2

君

乃

+一

-4

9=1②

野（…）+丐"为）=0

①一②得94

,/AB的中点为M（U）再+亦2=2,必+乃=2

当一为—=_—-44

再一町9,即直线的斜率为9.

14

y———（x-1）+1,10c

.•.所求直线方程为9即4Ax+9Ay_l3=0

22

3.—

105

4.弦的中点的轨迹方程为：x2+2y2-2x-2y^0(椭圆内部)

5.解：易求得居（5，0）,设直线48方程为芯=%，代入椭圆方程得:

20（可1+45/=900即（20雨2+45）y2-900=0

...5=*%MW=j2o：20+45

150

,_：=20m=±l

由J20M2+45得-4,

直线的方程为X-±即4x±3y=0

§19.2双曲线及其标准方程(第一课时)

课前预习单

【任务要求】

1.(1)两定点，之差，绝对值，大于o且小于两定点间的距离，双曲线，双曲线焦点.

2222

rVvr

(2)--------=1>(a>0,b>0)；-------=1,(a>0,b〉0)

a-trab

(3)c2=tz2+Z?2,(a>0,b>0,c>0)

2.①是，a=2,h=V2,c—V6；②是，a—V2,Z?=V2,c=2；③是，

a—V2,b=2,c=V6；④是，a=3^b=2^c=V13;⑤不是

课堂探析单

15

活动一：

任务1：1.双曲线；2.(1)长度不变；(2)拉链长度大于两定点距离

3.双曲线，两条射线，不存在，双曲线的一支

任务2：(2)是；是；不是

v2f

活动二：任务1：(1)—3--——1(a>b>0,a~+b2=c~焦点在y轴上)

a~b~

(2)双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即一项的系数是正的，那么焦

点在X轴上；V项的系数是正的，那么焦点在y轴上.

22

任务2：(1)；焦点在y轴上设双曲线的标准方程为：=-3=1

ab"

X2y2

因为。=4力=3,所以方程为：-匚=1

169

2

y2x

(2)丫焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为：=---=1

a'h"

因为a=2若，经过点(2,-5),代入双曲线方程得：从=16

22

所以双曲线方程为：--—―=1

2016

课堂检测单

1.(1)焦点在x轴上，焦点为(5,0),(-5,0)

(2)焦点在y轴上，焦点为(0,5),(0,-5)

(3)焦点在x轴上，焦点为(5,0),(-5,0)

22

2.解：；焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为：4一==1

a"b~

由题意得c=6,所以/+匕2=36

又因为过点(2,-5),所以乌一冬=1解得：/=20力2=16

a~b~

22

所以双曲线方程为上一—-=1

2016

16

课后巩固单

1.解：b=3,c=5,Q?=c?—人？=16

2222

双曲线的标准方程为--竺=1或工一——=1

169169

2.双曲线中。=4力=3,则c=5

因为|P用-|PB|=2a，|15-|PF2||=8,则仍用=7或23

3.m<1或加>2；m>2；m<\.

§19.2双曲线及其标准方程(第二课时)

课前预习单

【任务要求】

1.①或y£R②关于x轴，关于y轴，关于原点都对称

③(一a,0),(a,0)@e=—(e>l)⑤y-+—x⑥x=+—

aac

2.(1)双曲线焦点在x轴上，a=l,b=2,则。2=/+〃=5

顶点坐标为(1,0),(—1,0)、焦点坐标为行,0),(-75,0),

V5

实半轴长为a=l、虚半轴长b=2渐近线方程为y=±2x,准线方程为*=±方~

y2X2

(2)v焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为：4-9=1

ah

因为焦距为16,所以c=4

因为e=g=&所以。=3,b2=c2-a2=7

a3

v22

所以双曲线方程为：2-——=1

97

课堂探析单

17

活动一：

任务1:

名称椭圆双曲线

y

y/

/

__-

图象0X

\

丫\

||PF,|-|PF||=2a(a<)

定义\PF\+\PF^=2a(a>c)2c

2222

焦点在X辄hJ+与•=1焦点在X轴上5-4=1

a2b2ao

2222

程在yftlht+0=l焦点在y轴上：。一占=1

a~bab~

常数

a,b,c

a2=b2+c2(a>0,b>0,c>0)c2=/+力2(a>0,b>0,c>0)

的关

系

任务2：

Y99222

(1)由双曲线的标准方程W-y=1知：==1+421,所以即a

aa2b2a2

(2)在标准方程=-4=1中，将x换成-x,或将y换成-y,或将x,y分别换成-x,-y,方

a'b'

程都不变，说明双曲线关于x轴，关于y轴，关于原点都对称

(3)顶点2个,是(—a,0),(a。)，实轴为2a,虚轴为2b

b

(4)x轴，y轴，y-±—x

a

(5)e=£(e>l)离心率越大，双曲线开口越大，离心率越小，双曲线开口越小

a

(6)一动点到顶点的距离与到定直线的距离的比是一个大于1的常数的点的轨迹.

2

定直线就是双曲线的准线为：x^±—

C

活动二

18

任务1:

x2y222

标准方程--f=l(tz>0,b>0)%=l(a〉0,b>0)

ab~T

yT士,

vwL

图

形

。>x

范围N之a,y£RH><7,XGR

对称轴X轴，y轴

顶点坐标(a,0),(—a,0)(0,a),(0,-a)

焦点坐标(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)

C/I、

离心率e=—(e>I)

a

,b,a

渐近线y=±—xy=±—x

ab

a2a2

准线方程x=±——y=±-

cc

任务2：(1)双曲线的标准方程为2--—=1,

169

实半轴长为a=4,虚半轴长为b=3,顶点为(0,4),