高考数学（理）高分计划一轮狂刷练第10章计数原理概率随机变量及其分布109a

[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．已知ξ的分布列为ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则在下列式中：①E(ξ)＝－eq\f(1,3)；②D(ξ)＝eq\f(23,27)；③P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析E(ξ)＝(－1)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正确．D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6答案B解析由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X的分布列为X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)则X的数学期望E(X)＝()A．2B．2或eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1答案C解析因为分布列中概率和为1，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝eq\f(1,2).故选C.4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)答案A解析函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点的条件是Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N(1，σ2)，所以P(ξ>1)＝eq\f(1,2)，即所求事件的概率为eq\f(1,2).故选A.5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175cm范围内的校服大约要定制()A．683套B．954套C．972套D．997套答案B解析P(155<ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？()A．1500B．1700C．4500D．8000答案A解析因为学生的数学成绩X～N(98,100)，所以P(X≥108)＝eq\f(1,2)[1－P(88<X<108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为()A.eq\f(32,3)B.eq\f(28,3)C.eq\f(14,3)D.eq\f(16,3)答案D解析由数学期望的定义可知3a＋2b＝2，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(1,2)(3a＋2b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())6＋eq\f(2,3)＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)＋4))＝eq\f(16,3)，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)即a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时取得等号．故选D.8．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(7,3)C．3D.eq\f(11,3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2.))又∵x1<x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3.故选C.9．(2018·广州调研)已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P(5<x<6)等于()A．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.2718答案B解析由题知x～N(4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P(2<x≤6)＝0.9544，P(3<x≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，其中A，E，F，B的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x＝4对称，可知曲边梯形FBCG的面积为eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359，即P(5<x<6)＝0.1359，故选B.10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案B解析根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p，发球二次的概率P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，结合p的实际意义，可得0<p<eq\f(1,2)，即p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故选B.二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝______.答案eq\f(5,3)解析∵P(X＝0)＝eq\f(1,3)×(1－p)2＝eq\f(1,12)，∴p＝eq\f(1,2).则P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).则E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的eq\f(1,3)，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100解析∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝eq\f(1,3)；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝eq\f(1,3)，∴P(ξ≥120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).∴成绩不低于120分的学生约为600×eq\f(1,6)＝100人．13．(2018·沧州七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案180解析由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E(ξ)－E(η)＝________元．答案3解析ξ的分布列为ξ56789Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝eq\f(1,5)×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)．η的分布列为η2468Peq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)E(η)＝2×eq\f(2,5)＋4×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,5)＋8×eq\f(1,10)＝4(元)，∴E(ξ)－E(η)＝7－4＝3(元)．故答案为3.B级三、解答题15．(2018·湖北八校第二次联考)某卖场对市民进行国产认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组(岁)频数[25,30)x[30,35)y[35,40)35[40,45)30[45,50]10合计100(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．解(1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的eq\f(频率,组距)＝eq\f(0.2,5)＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7.X可取0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,13),C\o\al(2,20))＝eq\f(78,190)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,13)C\o\al(1,7),C\o\al(2,20))＝eq\f(91,190)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,20))＝eq\f(21,190)，故X的分布列为X012Peq\f(78,190)eq\f(91,190)eq\f(21,190)故E(X)＝eq\f(91,190)×1＋eq\f(21,190)×2＝eq\f(133,190).16．新生儿Apgar评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．分数段[0,7)[7,8)[8,9)[9,10]新生儿数1384(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．解(1)设Ai表示所抽取的3名新生儿中有i名的评分不低于9分，“至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A，则由表格中数据可知P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝eq\f(C\o\al(3,12),C\o\al(3,16))＋eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,12),C\o\al(3,16))＝eq\f(121,140).(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,64)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))1＝eq\f(9,64)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64).所以X的分布列为X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(X)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝0.75eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或EX＝3×\f(1,4)＝0.75)).17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的数学期望和方差．解(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A1与A2相互独立，A1eq\o(A,\s\up16(－))2与eq\o(A,\s\up16(－))1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1eq\o(A,\s\up16(－))2＋eq\o(A,\s\up16(－))1A2，C＝B1＋B2.因为P(A1)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(B2)＝P(A1eq\o(A,\s\up16(－))2＋eq\o(A,\s\up16(－))1A2)＝P(A1eq\o(A,\s\up16(－))2)＋P(eq\o(A,\s\up16(－))1A2)＝P(A1)P(eq\o(A,\s\up16(－))2)＋P(eq\o(A,\s\up16(－))1)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,10).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为eq\f(1,5)，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))).故X的数学期望为E(X)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5)，方差为D(X)＝3×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(12,25).18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的