江苏省镇江市属学校2023-2024学年八年级上学期阶段性学习评价I数学试题

2023-2024学年第一学期阶段性学习评价Ⅰ八年级数学试卷本试卷共6页，共26题，全卷满分120分，考试时间100分钟一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）1.如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是___________．【答案】三角形具有稳定性【解析】【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．【详解】解：三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了形状对结构的影响，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．2.如图，点B在AE上，∠C=∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：_______（写一个即可）．【答案】∠ABC=∠ABD【解析】【分析】根据AB=AB，然后根据“AAS”的判定方法添加条件即可．【详解】解：可添加∠ABC=∠ABD．理由如下：在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（AAS），故答案为：∠ABC=∠ABD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一．3.如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________．【答案】4【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；【详解】解：如图，∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，∴CDAB，∵CD＝2，∴AB＝4，故答案为4．【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4.若等腰三角形的两边长分别为，则它的第三条边长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论后利用三角形的三边关系检验是解题关键．【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为4、2、2，∵，不能构成三角形，不符合题意；若等腰三角形的两边长分别为4、4、2，此时能构成三角形故第三条边长为4故答案为：45.如图，，，图中全等三角形共有______对【答案】4【解析】【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵AD∥BC，∴∠ADC=∠CBD．∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴AB=CD．∵∠AOB=∠COD，∠ABO=∠CDO，∴△AOB≌△COD（AAS）．同理可证：△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB．故图中的全等三角形共有4对．故答案为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，ASA等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．6.如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为_________．【答案】【解析】【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，由的周长为得到，即可得到答案．【详解】解：∵垂直平分，∴，∵的周长，∴，∵，∴．故答案为：．7.如图，AB⊥AC，点D在BC延长线上，且AB=AC=CD，则∠ADB=__________．【答案】22.5°【解析】【分析】由已知可得到∠B=∠ACB=45°，∠CAD=∠CDA，再根据三角形外角的性质可得到∠ACB与∠ADB之间的关系即可解答．【详解】解：∵AB=AC=CD，AB⊥AC，∴∠B=∠ACB=45°，∠CAD=∠CDA∵∠ACB=∠CAD+∠CDA=2∠ADB=45°∴∠ADB=22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角的性质，熟练掌握是解题的关键．8.一直角边长为5，斜边长为13的直角三角形斜边上的高为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形面积的计算，根据面积法求斜边的高是解题的关键．利用勾股定理先求出直角三角形的另一条直角边的长，根据三角形面积的不同方法计算可以求得斜边的高的长度．【详解】解：直角三角形的另一条直角边长为：，斜边上的高线长，故答案为：．9.如图，的面积是15，分别平分和于D，且，则的周长是______．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握利用角分线的性质求三角形的面积是解题的关键．连接，将分割成3个三角形．过点O作于点E，于点F，根据点O为的内心，即可得出．根据三角形的面积公式列式即可求解．【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F，分别平分和，点O为的内心，．，，，，的周长是10，故答案为：10．10.如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．【答案】或【解析】【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图∵，，∴∴∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴∵∴∴②当点P在CB的延长线上时，如图由①得，∵AC=PC∴∴故答案为：或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．11.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．【答案】32【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．【详解】解：如图，由题意得，，是直角三角形，则大正方形面积，面积，阴影部分的面积，故答案为：3212.如图，动手操作：在长方形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边上移动，若点在边上可移动的最大距离是5，则长为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．根据翻折的性质结合点在边上可移动的最大距离是5，可得与的关系，根据勾股定理，可得答案．【详解】解：如图，当P与B重合时，，点在边上可移动的最大距离是5，当Q与D重合时，如图，，此时，，由折叠的性质，得，，，，故答案为：．二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）13.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项B、C、D中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项A中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：A．14.下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A.2，3，4 B.5，13，15 C.7，24，25 D.9，16，25【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足，则三角形是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．【详解】解：A、，三角形不是直角三角形，不符合题意；B、，三角形不是直角三角形，不符合题意；C、，三角形是直角三角形，符合题意；D、，三角形不是直角三角形，不符合题意．故选：C．15.如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，涂法共有（）A.4种 B.5种 C.6种 D.7种【答案】B【解析】【分析】此题利用格点图，考查学生轴对称性认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有5种画法．根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：如图所示，有5个位置使之成为轴对称图形．故选：B16.如图，点D为边AB的中点，将沿经过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上的点F处，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．【详解】解：∵沿经过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上的点F处，∴AD＝DF，∵D是AB边的中点，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝44°，∴∠BDF＝180°−∠B−∠BFD＝180°−44°−44°＝92°．故选：D．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟知折叠的性质是解答此题的关键．17.如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：（甲）作AB中垂线，交BC于P点，则P即为所求；（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求．对于两人的作法，下列判断何者正确？（）A.两人皆正确 B.两人皆错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确【答案】C【解析】【分析】根据甲乙两人作图的作法：甲：利用垂直平分线的性质得到AP=PB，得到∠PAB=∠PBA，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可求出结果.乙：根据作图的要求，AB=BP，得到∠BAP=∠APB，进一步证明即可发现∠APC≠2∠ABC，此方法不正确.【详解】解：如图1，由甲的作图知PQ垂直平分AB，则PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，又∠APC=∠PAB+∠PBA，∴∠APC=2∠ABC，故甲的作图正确；如图2，∵AB=BP，∴∠BAP=∠APB，∵∠APC=∠BAP+∠ABC，∴∠APC≠2∠ABC，∴乙错误；故选C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．18.如图，在等边中，是高，点G是边上的动点，若，则的最小值等于（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，作点F关于的对称点，连接交于点G，连接，则，当、G、三点共线时，的值最小，求出，利用勾股定理求出即可．【详解】作点F关于的对称点，连接交于点G，连接，则，∴，当、G、三点共线时，值最小，∵是等边三角形，是高，∴，由对称可知，，∴，∴，∴的最小值等于5．故选：B．三、解答题（本大题共8小题，共计78分）19.如图，点A、D、C、F在同一直线上，．（1）若，求的度数．（2）若，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键．（1）根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理求出的度数；（2）根据全等三角形对应边相等可得，然后直接计算即可．【小问1详解】解：∵，∴，在中，；【小问2详解】∵，∴，∴，∴，，∴20.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）．（1）在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）；（2）的面积=；（3）在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使．【答案】（1）见解析（2）18（3）见解析【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、轴对称的作图、网格中求面积等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．（1）作出点A、B、C的对应点、、，顺次连接即可；（2）利用网格特点画出的垂直平分线，交点即为所求．【小问1详解】解：如图，即为所求，【小问2详解】的面积故答案为：18【小问3详解】如图，点O即所求，21.如图，，垂足分别是D、E．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．（1）利用证明即可；（2）由全等三角形的性质得到，证明，则，即可证明结论．【小问1详解】证明∵，∴，∴在和中，∵，∴；【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，即．22.如图，．（1）求证：；（2）连接，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）由，得到根据推出全等即可；（2）根据全等三角形的性质得出，进而推出，，由，得到，根据平行线的判定得出即可．【小问1详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴；【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴∴，∴，，∵，∴，∴23.如图，中，，的垂直平分线分别交于点D、E，（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，由垂直平分线的性质得到，在中，由勾股定理得到，即可得到结论；（2）根据角平分线的判定得到，再根据等边对等角得到，进一步得到，即可得到的度数．【小问1详解】连接，∵的垂直平分线分别交于点D、E，∴∵∴在中，∴【小问2详解】∵∴平分，∴，∵的垂直平分线分别交于点D、E，∴∴∴∵∴∴【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，连接是解题的关键．24.（1）如图，是的外角，现有如下3个事项：①平分，②，③．请从以上3个事项中任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，并完成证明．已知：求证：（填序号）证明：（2）小明通过对（1）的再研究发现了一种新的过直线外一点做已知直线平行线的方法，请聪明的你利用上图用尺规作图完成（保留作图痕迹，不要求写画法）．【答案】（1）①③，②（答案不唯一），证明见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）选①③当条件，②当结论，根据等腰三角形的性质得到，继而得到，由平分，推出，即可证明结论；（2）①在直线l上任取一点B（与l不垂直），以点P为圆心，为半径作圆，与直线l交于点C．②连接，延长到点D；③以点P为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相于一点，连接点P到这一点并延长，作射线即为所求（如图）．【详解】（1）解：选①③当条件，②当结论，（答案不唯一）；以条件：①②，结论：③为例证明：证明：由三角形的外角性质得，，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：①③，②（答案不唯一）；（2）解：如图所示，直线为所求．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．25.阅读：如图，在中，，，点D是直线上的一个动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接．（1）小明通过观察发现，点D在边上运动时总有，全等的依据是．若，则的最小值为．（2）小军通过观察发现，点D在边上运动时总有,请在的基础上完成剩下的证明．（3）点D在直线上运动．若，则的面积为．【答案】（1），5（2）完成剩下的证明见解析（3）2或32【解析】【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，准确推理和分类讨论是解题的关键．（1）利用旋转的性质得到，则，又由，即可证明，作于点，则当点D运动到时，根据垂线段最短，有最小值，即为，利用等腰直角三角形的性质求出，即可得到的最小值；（2）由等腰直角三角形性质得到，由全等的性质得到，则，即可证明结论；（3）分两种情况：点D在线段上和点D在的延长线上，分别进行解答即可．【小问1详解】证明：∵将绕点A逆时针旋转到，∴，∴，∵，∴，∴点D在