2023-2024学年人教A版必修第二册 6-2-1　向量的加法运算 学案

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算新课程标准解读核心素养借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义数学抽象、直观想象如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.问题（1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？

知识点一向量加法的定义及三角形法则1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.三角形法则已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.提醒运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”.知识点二向量加法的平行四边形法则1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.提醒（1）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同；（2）从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.知识点三向量加法的运算律及模之间的关系1.向量加法的运算律（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.2.｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立.提醒（1）已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和；（2）首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.1.在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的有（填序号）.

①AB＝DC；②AD＋AB＝AC；③AB＝BD＋AD；④BC＋CD＝DB.答案：①②2.如图所示，在矩形ABCD中，AO＋OB＋AD＝.

答案：AC3.化简PB＋OP＋BO＝.

解析：PB＋OP＋BO＝PB＋BO＋OP＝PO＋OP＝0.答案：04.如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.解：如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b；再作OC＝c，以OB，OC为邻边作▱OBDC，则OD＝a＋b＋c.题型一向量的加法运算法则【例1】（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；（2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.解（1）在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，再作向量OB，则OB＝a＋b.如图所示.（2）在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作▱OBCA，则OC＝a＋b.如图所示.通性通法求作和向量的方法（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接；（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.1.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝（）A.OH B.OGC.FO D.EO解析：C以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则OP＋OQ＝OM，由OM和FO的模相等，方向相同，得OM＝FO，即OP＋OQ＝FO.2.菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜AB｜＝1，则｜BC＋CD｜＝.

解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以｜BC＋CD｜＝｜BD｜＝｜AB｜＝1.答案：1题型二向量加法运算律的应用【例2】化简：（1）BC＋AB；（2）DB＋CD＋BC；（3）AB＋DF＋CD＋BC＋FA.解（1）BC＋AB＝AB＋BC＝AC.（2）DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝（BC＋CD）＋DB＝BD＋DB＝0.（3）AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0.通性通法1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.2.多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.3.向量求和的多边形法则：A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，当An1.已知正方形ABCD的边长等于1，则｜AB＋AD＋BC＋DC｜＝.

解析：｜AB＋AD＋BC＋DC｜＝｜AB＋BC＋AD＋DC｜＝｜AC＋AC｜＝2｜AC｜＝22.答案：222.根据图示填空，其中a＝DC，b＝CO，c＝OB，d＝BA.（1）a＋b＋c＝；

（2）b＋d＋c＝.

解析：（1）a＋b＋c＝DC＋CO＋OB＝DB.（2）b＋d＋c＝CO＋BA＋OB＝CO＋OB＋BA＝CB＋BA＝CA.答案：（1）DB（2）CA题型三向量加法的实际应用【例3】在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.解作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中，｜CD｜＝｜AB｜＝｜v水｜＝10m/min，｜AD｜＝｜v船｜＝20m/min，∴cosα＝｜CD｜｜AD｜＝1020＝1故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.1.（变条件，变设问）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河岸的夹角）.解：如图所示，｜AD｜＝｜BC｜＝｜v船｜＝20m/min，｜AB｜＝｜v水｜＝10m/min，则tan∠BAC＝｜BC｜｜AB2.（变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km？解：由题意可知｜AC｜＝32｜AD｜＝32×20＝103（m/min）＝33则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935通性通法应用向量解决实际问题的基本步骤（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题；（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题；（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.解：如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋BC.在Rt△ABD中，｜DB｜＝20km，｜AD｜＝203km.在Rt△ACD中，｜AC｜＝｜AD｜2＋｜DC｜2＝40即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地403km处.1.化简AB＋BC＋CA＝（）A.0B.0C.AE D.EA解析：BAB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0，故选B.2.已知正六边形ABCDEF，则BA＋CD＋FE＝（）A.CF B.ADC.BE D.0解析：C因为ABCDEF为正六边形，所以CD＝AF，所以BA＋CD＋FE＝BA＋AF＋FE＝BE.故选C.3.已知a，b，c是非零向量，则（a＋c）＋b，b＋（a＋c），b＋（c＋a），c＋（a＋b），c＋（b＋a）中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为（）A.5 B.4C.3 D.2解析：A因为向量的加法满足交换律和结合律，所以（a＋c）＋b＝b＋（a＋c）＝b＋（c＋a）＝c＋（a＋b）＝c＋（b＋a）＝a＋b＋c，故选A.4.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：（1）OA＋OC＝