2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-1　平面几何中的向量方法6-4-2　向量在物理中的应用举例 学案

6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例新课程标准解读核心素养1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题数学建模2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用数学运算、逻辑推理在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.问题你能从数学的角度解释上述现象吗？

知识点平面向量的应用1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.2.向量在物理中的应用（1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；（2）向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中；（3）动量mv是向量的数乘运算；（4）功是力F与所产生的位移s的数量积.用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD？提示：证明或计算AB·CD＝0，从而得出AB⊥CD.1.若AB＝3a，CD＝－5a，且｜AD｜＝｜BC｜，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形 D.非等腰梯形解析：C∵AB＝3a，CD＝－5a，∴AB∥CD，｜AB｜≠｜CD｜，∵｜AD｜＝｜BC｜，∴四边形ABCD是等腰梯形.故选C.2.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2（｜v1｜＞｜v2｜），则逆风行驶的速度的大小为（）A.v1－v2 B.v1＋v2C.｜v1｜－｜v2｜ D.v解析：C题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小为｜v1｜－｜v2｜.3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边的中线AD的长为.

解析：BC中点为D（32，6），AD＝（－52，5），∴｜AD｜＝（－5答案：5题型一平面向量在平面几何中的应用角度一：平行或共线问题【例1】如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线.证明∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴AB＝AM＋AC.∴AM＝AB－AC＝CB.同理可证明AN＝AC－AB＝BC.∴AM＝－AN.∴AM，AN共线，又AM与AN有公共点A.∴M，A，N三点共线.通性通法证明A，B，C三点共线的步骤（1）证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线；（2）说明两向量有公共点；（3）下结论，即A，B，C三点共线.角度二：垂直问题【例2】如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD（异于B，D）上的一点，四边形PECF是矩形，用向量证明：PA⊥EF.证明法一设正方形边长为a，由于P是对角线BD上的一点，可设DP＝λDB（0＜λ＜1）.则PA＝DA－DP＝DA－λDB＝DA－λ（DA＋AB）＝（1－λ）DA－λAB.又因为EF＝CF－CE＝（1－λ）CD－λCB，所以PA·EF＝[（1－λ）DA－λAB]·[（1－λ）CD－λCB]＝（1－λ）2DA·CD－（1－λ）λDA·CB－λ（1－λ）AB·CD＋λ2AB·CB＝－λ（1－λ）a2＋λ（1－λ）a2＝0，因此PA⊥EF，故PA⊥EF.法二以D为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设正方形边长为a，由于P是对角线BD上的一点，设DP＝λDB＝2λa（0＜λ＜1），则A（0，a），P（λa，λa），E（a，λa），F（λa，0），于是PA＝（－λa，a－λa），EF＝（λa－a，－λa），因此PA·EF＝－λa（λa－a）－（a－λa）λa＝－λ2a2＋λa2－λa2＋λ2a2＝0，因此PA⊥EF，故PA⊥EF.通性通法向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法（1）①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③证明AB·CD的值为0；④给出几何结论AB⊥CD；（2）建立适当的平面直角坐标系，先求AB，CD的坐标，AB＝（x1，y1），CD＝（x2，y2），再计算AB·CD的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.角度三：长度问题【例3】如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.解设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，而｜BD｜＝｜a－b｜＝a2－2a·b＋b2｜AC｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋4＋2a·b.∵由①得2a·b＝1，∴｜AC｜2＝6，∴｜AC｜＝6，即AC＝6.通性通法利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝（x，y），则｜a｜＝x2角度四：夹角问题【例4】已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°.解如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D（2，3），设P（0，b）（0≤b≤3），则ED＝（1，3），EP＝（－1，b），∴cos∠PED＝EP＝－1+3b10整理得2b2－3b－2＝0，解得b＝2，b＝－12（舍去∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°.通性通法平面几何中夹角问题的求解策略利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方法，一是利用基底法，二是利用坐标运算.在求解过程中，务必注意向量的方向.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且DC＝2BD.求：（1）AD的长；（2）∠DAC的大小.解：（1）设AB＝a，AC＝b，则AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC＝23a＋13b.∴｜AD｜2＝AD2＝（23a＋13b）2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×29×3（2）设∠DAC＝θ，则向量AD与AC的夹角为θ.∵cosθ＝AD·AC＝13b2＋2∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.题型二平面向量在物理中的应用角度一：利用向量解决速度、位移问题【例5】在风速为75（6－2）km/h的西风中，飞机正以150km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向.解设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成三角形（如图所示），∵｜AB｜＝｜va｜＝150，｜CB｜＝｜v0｜＝75（6－2），｜AC｜＝｜vb｜，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°，∴｜CD｜＝｜BE｜＝｜EA｜＝752，∴｜DA｜＝｜DE｜＋｜EA｜＝｜CB｜＋｜EA｜＝75（6－2）＋752＝756，从而tan∠CAD＝｜CD｜｜DA｜∴∠CAD＝30°，｜AC｜＝1502，｜vb｜＝1502，∴没有风时飞机的飞行速度为1502km/h，航向为北偏西60°.角度二：利用向量解决力与做功问题【例6】一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.其中｜F1｜＝2N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.解如图所示，以O为原点，正东方向为x轴的正方向、正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝（1，3），F2＝（23，2），F3＝（－3，33），所以F＝F1＋F2＋F3＝（23－2，2＋43）.因为位移s＝（42，42），所以合力F所做的功W＝F·s＝（23－2，2＋43）·（42，42）＝246（J）.故合力F所做的功为246J.通性通法平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则转化为代数方程来计算.两人提起一个旅行包，旅行包所受的重力为G，两人用力大小都为｜F｜，夹角为θ，若｜F｜＝｜G｜，则θ的值为（）A.30° B.60°C.90° D.120°解析：D设OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，由向量加法法则可得OC＝OA＋OB，当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.故选D.1.如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（）A.s＞｜a｜ B.s＜｜a｜C.s＝｜a｜ D.s与｜a｜不能比大小解析：As＝200＋300＝500（km），｜a｜＝2002+3002＝10013（km），∴s＞｜2.在△ABC中，若（CA＋CB）·（CA－CB）＝0，则△ABC（）A.是正三角形B.是直角三角形C.是等腰三角形D.形状无法确定解析：C（CA＋CB）·（CA－CB）＝CA2－CB2＝0，即｜CA｜＝｜CB｜，∴CA＝CB，则△ABC3.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为（）A.5N B.52NC.53N D.56N解析：D两个力的合力的大小为｜F1＋F2｜＝F12＋F22+24.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝（）A.－725B.725 C.0解析：B如图建立平面直角坐标系，则B（0，