2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3　第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 学案

6.4.3第三课时用余弦定理、正弦定理解三角形题型一有关三角形面积的计算【例1】（1）在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为；

（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB＝2sinA，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB＝.

解析（1）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8（舍去）.所以S△ABC＝12acsinB＝12×5×3sin120°＝（2）由sinB＝2sinA，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sinB，得12acsinB＝a2sinB，由sinB≠0，知c＝2a，所以cosB＝a2＋c2答案（1）1534（2通性通法求三角形面积的解题思路在应用三角形面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB求解时1.在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为32，则B＝（A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°解析：D由面积公式S△ABC＝12acsinB＝12×1×2×sinB＝32，解得sinB＝32，所以B＝60°或1202.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sinA＝2sinBcosC，则△ABC的面积为.

解析：依题意sinA＝2sinBcosC，由正弦定理得a＝2bcosC，2＝2×3×cosC，cosC＝13＞0，所以0＜C＜π2，所以sinC＝1－cos2C＝223，所以△ABC的面积为12absinC＝1答案：22题型二求解平面几何问题【例2】如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AB⊥AD，AC⊥CD.（1）若sin∠BAC＝14，求sin∠BCA（2）若AD＝3AC，求AC.解（1）在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠BCA＝BCsin∠BAC，即2sin∠BCA＝（2）设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝AD2－AC2＝22x，sin∠在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝AB2＋又∠BAC＋∠CAD＝π2所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即x2－1整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－13（舍去），即AC＝通性通法正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.如图，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝1（1）求sin∠BAD；（2）求BDAC的值解：（1）在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝4所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－B）＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BAD在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49所以AC＝7，所以BDAC＝3题型三正、余弦定理的综合问题【例3】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.（1）求B的大小；（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.解（1）∵bsinA＝3acosB，∴由正弦定理，得sinBsinA＝3sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝3，∴B＝π3（2）∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3解得a＝3，∴c＝2a＝23.通性通法利用正、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.（1）求B的大小；（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，又0°＜B＜180°，因此B＝45°（2）sinA＝sin（30°＋45°）＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋故由正弦定理，得a＝b·sinAsinB＝1由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，故c＝b·sinCsinB＝2×sin601.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，C＝π6，则△ABC的面积为（A.23 B.3C.13 D.39解析：B由题意可知，a＝3，b＝4，C＝π6，所以S△ABC＝12absinC＝12×3×4×12.在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若A＝π3，则B＝（A.π6 B.π4 C.π3 解析：C因为sin2A＝sinBsinC，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝π3.3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sinB＝（）A.12 B.C.714 D.解析：D由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，即AB＝27，由正弦定理，得ADsinB＝ABsin∠ADB，则sinB＝4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosA（bcosC＋ccosB）＝a＝13，△ABC的面积为33，则A＝，b＋c＝.

解析：由已知及正弦定理可得，2cosA（sinBcosC＋sinCcosB）＝sinA，可得2cosAsin（B＋C）＝sinA，即2