2023-2024学年人教A版必修第二册 第八章　与球有关的“切”“接”问题 学案

与球有关的“切”“接”问题空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量之间建立关系.题型一外接球【例1】（1）设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，且底面△ABC的面积为23，则此直三棱柱外接球的表面积是（）A.16πB.4010π3 （2）已知三棱锥A-BCD的侧棱长为25，底面是边长为23的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为.

解析（1）设AB＝AC＝AA1＝m，因为∠BAC＝120°，所以12×m×m×sin120°＝23，m＝22，而∠ACB＝30°，所以22sin30°＝2r（r是△ABC外接圆的半径），r＝22，如图，设M，N分别是△ABC和△A1B1C1的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN的中点O是三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心，OM＝12MN＝12AA1＝2，所以外接球半径R＝OA＝AM2＋OM2＝（22）2＋（2（2）如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O'在线段AO上，O'为外接球球心，令O'A＝O'D＝R，OD＝23DE＝23×23×32＝2，AD＝25，∴AO＝AD2－OD2＝4，∴OO'＝4－R，又OO'2＋OD2＝O'D2，∴（4－R）2＋4＝R2，解得R＝52，∴答案（1）C（2）1256通性通法常见几何体外接球问题的求解策略（1）正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.（2）棱锥的外接球：以下四种类型的三棱锥可以补型为长方体求解.（3）圆柱、圆锥的外接球：作轴截面，将空间问题转化为平面问题.（4）圆台的外接球：设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径.1.据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，则三棱锥外接球表面积为（）A.10πB.12πC.14π D.16π 解析：B如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径R＝PC2＝AP2＋AB2＋BC22＝4+4+42＝32.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（）A.55π6B.82π3解析：B如图，O为外接球球心，母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝OO22＋O2B2＝2，∴外接球体积V＝43π题型二内切球【例2】（1）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是（A.963 B.163C.243 D.483（2）若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（）A.4π（r＋R）2 B.4πr2R2C.4πRr D.π（R＋r）2解析（1）设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R＝13×32a＝36a，正三棱柱的高为33a.又V球＝43πR3＝4π3×（3）633a3＝32π3.∴a＝43.∴V柱＝34（2）如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝4πRr.答案（1）D（2）C通性通法常见几何体内切球问题的求解策略（1）正方体的内切球：正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设边长为a的正方体，其内切球半径为R＝a2（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝rhr提醒棱锥的内切球：用等积法求解，设棱锥的体积为V，表面积为S，R＝3V1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（）A.3 B.33C.3 D.1解析：C设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝3，所以R＝32，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝12，所以Rr＝3，正方体的外接球与内切球的表面积之比为4π2.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A.6 B.5C.92 D.解析：D