广东省惠州市大亚湾2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

2023-2024学年度第一学期期末教学质量监测考试九年级数学试卷说明：1.全卷共6页，满分150分，考试用时为120分钟．2.答卷前，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写相应的信息，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．3.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．无理数的大小在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．已知，则的值为（

）A． B． C． D．5．下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等6．下列说法正确的是（

）A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3C．若甲、乙两组数的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”7．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，点E在上，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．8．准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（

）A．1m B．m C．2m D．m9．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则面积为（

）A． B． C． D．10．小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．计算：．12．不等式组：的解集是．13．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为元．14．如图，在平面直角坐标系中，P是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点Q，则线段的最小值为．15．如图，点A在双曲线（，）上，点B在直线l：上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，则k的值为．

16．如图，直线与轴、轴分别交于两点，绕点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标为．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．17．已知关于x的一元二次方程：有二个不相等实数根，．(1)若，求此时方程的解；(2)当时，求m的取值范围．18．如图1是某厂房遮雨棚示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面示意图，所在圆的圆心为O．求覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要多少平方米帆布（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．19．一张方桌设有四个座位，丙先坐了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能坐到①、②、③中的3个座位上．(1)甲坐①号座位的概率是______；(2)用画树状图或列表的方法，求甲、乙坐同侧共排的概率．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分）20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、坐标分别是、、，顶点在函数（）的图像上．

(1)求的值；(2)将沿y轴向上平移，当顶点落在（）的图像上时，边与该函数图象相交于点，连接，求此时的面积．21．某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果．(1)若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元；(2)当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？22．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点．(1)求证：；(2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题13分，共26分．23．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若时，，求的直径的长．24．【知识与方法】如图1，，，轴，轴，则C（_____，_____），______，_______．【知识应用】如图2，勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标数据（单位：），笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为______m；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______．【知识拓展】如图3，点B是抛物线与x轴的一个交点，点D在抛物线对称轴上且位于x轴的上方，，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离最大值．

参考答案与解析

1．D【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”和轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，则此项不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意；故选：D．2．B【分析】本题考查无理数的估算；利用算术平方根进行估算求解．【详解】解：∵，∴，则∴∴的大小在2和3之间．故选：B．3．C【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相除和二次根式的运算，根据积的乘方、同底数幂相除的运算法则及二次根式的性质进行计算即可判断求解，掌握整式的运算法则及二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意；、，该选项错误，不合题意；故选：．4．A【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．5．D【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．6．C【分析】可根据调查的选择、平均数和众数的求法、方差及随机事件的意义，逐个判断得结论．【详解】解：因为我国中小学生人数众多，其睡眠情况也不需要特别精确，所以对我国中小学生的睡眠情况的调查，宜采用抽样调查，故选项A不正确；因为B中数据据1，2，5，5，5，3，3，重复出现次数最多的是5，平均数为，故该组数据的众数与平均数都不是3，，所以选项B说法不正确；因为0.01＜0.1，方差越小，波动越小，数据越稳定，所以甲组数据比乙组数据稳定，故选项C说法正确；因为抛掷硬币属于随机事件，抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面朝上”故选项D说法不正确．故选：C．【点睛】本题的关键在于掌握调查的选择、平均数和众数的求法、方差及随机事件的意义．7．C【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．根据切线的性质得出，进而得出的度数，再利用等腰三角形的性质得出的度数，再根据圆内接四边形的性质求解即可．【详解】解：与相切于点，，，，，，∵四边形是内接四边形，，，故选：C．8．B【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，根据小路的横向总长度（30＋4x）米和纵向总长度（24＋4x）米，结合矩形的面积公式得到：（30＋4x＋24＋4x）x＝80．通过解方程求得x的值即可．【详解】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，依题意得：（30＋4x＋24＋4x）x＝80整理得：4x2＋27x−40＝0解得x1＝−8（舍去），x2＝．故选B.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程并解答．9．C【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，过作于，作于，证明，则，即，由，可求，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，过作于，作于，∵，∴，∴，∴，解得，，∵，∴，解得，，∴，故选：C．10．D【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．11．1【分析】本题考查了负整数指数幂，算术平方根，绝对值．熟练掌握负整数指数幂，算术平方根，绝对是解题的关键．先计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，然后进行乘法、加减运算即可．【详解】解：．12．##【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．故答案为：．13．300【分析】七五折售价+亏损25元=九折售价-盈利的20元，根据此成本不变等量关系列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：75%x+25=90%x-20，解得：x=300，则该商品的原售价为300元．故答案为300．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．14．【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【详解】解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ==，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y=2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为==．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．15．【分析】设交x轴于点D，在一次函数中，时，，得到，，根据菱形性质得到，根据轴对称性质，得到，，根据勾股定理得到，得到，推出．本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，菱形的性质，轴对称性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．【详解】设交x轴于点D，如图，在中，当时，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∵A与B关于x轴对称，∴，，∴，∴，∴．故答案为：．

16．【分析】首先根据直线求出点的坐标，结合旋转的性质可知点的横坐标等于与的长度之和，而纵坐标等于的长，进而得出的坐标．【详解】解：对于直线，令，得，令，得，∴，∴，由旋转可知，，，∴点的纵坐标为长，即为2，横坐标为，故点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点、坐标与图形变—旋转等知识，解题的关键是求出直线与坐标轴的交点坐标．17．(1)，(2)【分析】本题考查了一元二次方程的求解，一元二次方程根于系数的关系，根的判别式．（1）将代入方程，利用因式分解法进行求解即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，和分别求出m的取值范围，即可得到最后结果．【详解】（1）解：当，方程为，，解得：，；（2）有二个不相等实数根，，，解得：，，，解得：，．18．覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要160平方米帆布【分析】本题主要考查圆的垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定及性质，弧长公式．由题意可得：于点E，米，米，由垂径定理可得米，设的半径为r，即米，（米），在中，根据勾股定理有，代入即可求得r的值．取的中点C，连接，得，即是等边三角形，因此，从而，根据弧长公式求得的长，从而可求得帆布的面积．【详解】由题意可得：于点E，米，米，∵过圆心O，且，∴（米），设的半径为r，即米，（米）∵在中，，即，解得．∴米，米，取的中点C，连接，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴（米），∴帆布的面积为（平方米）．19．(1)(2)甲、乙坐同侧共排的概率为【分析】（1）直接利用概率的计算公式进行计算即可；（2）先根据题意用表格列出所有可能出现的结果，找出甲、乙坐同侧共排的情况，再根据概率的计算公式进行计算即可．概率=所求情况数总情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．【详解】（1）共有①、②、③三个座位，甲坐①号座位的概率是，故答案为：．（2）列表格如下：

甲乙①②③①①②①③②②①②③③③①③②共有6种结果，其中甲、乙坐同侧共排的有②③、③②两种，．20．(1)的值为(2)的面积为【分析】本题考查的是反比例函数综合题；（1）根据平行四边形的性质得出的坐标，进而即可求得的值；（2）由平移得，平移后的点的横坐标为，代入反比例函数解析式求得纵坐标，从而求得平移后的的纵坐标，代入解析式即可求得与该函数图象的交点坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）在中，、、，，．．点的坐标为．∵函数的图象经过点，∴；（2）由平移得，平移后的点B的横坐标为．当时，

∴平移后点B的坐标为．∴向上平移个单位．∴平移后点的坐标为．当时，∴与该函数图象的交点坐标为，∴的面积．21．(1)销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；(2)当销售单价定为21元时，超市所获利润最大，最大利润是3240元【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用二次函数性质是解题的关键．（1）设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案；（2）设降低元，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）解：设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意得，，整理得，或．要尽可能让顾客得到实惠，，售价为（元，答：水果的销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元；（2）解：设降低元，由题得，∴，∵，∴有最大值，当时，最大．售价为（元，答：水果的销售价为每千克21元时，超市每天一天获利最大为3240元．22．(1)证明见解析．(2)存在，此时旋转角的度数为或，理由见解析．【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，以及旋转的性质．解题的关键是：（1）将所求的中点（）与已知的平行（）相结合，把所求结论转化为：证明四边形是平行四边形．通过旋转的性质和两个角导出角度（）之间的关系，再由等角对等边导出线段相等（），经由等量代换即可得出结论．（2）由（1）问可知，四边形为平行四边形，当其为矩形时，可使对角线．在的旋转过程中，当点在直线上时，可使为直角，此时平行四边形为矩形，求出此时对应的旋转角即可．【详解】（1）如图，连接，，，又，，，，，又，，，由旋转的性质可得，，，又，四边形是平行四边形，．（2）情况1：如图，当点在线段上时，，点在线段上，，又四边形是平行四边形，四边形是矩形，，，此时旋转角的度数为．情况2：如图，当点在线段的延长线上时，，点在线段的延长线上，，又是平行四边形，是矩形，，又，，此时旋转角的度数为，故存在，此时旋转角的度数为或．23．(1)见解析(2)见解析(3)的直径的长为【分析】（1）作于点H，连接，根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质（三线合