《现代控制理论》课件第4章

经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出能控性和能观性的概念。输出方程描述由状态变化所引起的输出变量的变化过程。

现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。线性控制系统的能控性和能观性状态方程描述输入变量引起状态变量的变化。两个基本问题：在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？控制作用对状态变量的支配能力，称状态的能控性问题。在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称状态的能观性问题。线性控制系统的能控性和能观性能控性和能观性回答：输入能否控制系统状态的变化——能控性状态的变化能否由输出反映——能观性能控性和能观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出,是经典控制进入现代控制理论的标志之一。

线性控制系统的能控性和能观性135本章主要内容7本章内容基于MATLAB分析系统的能控性和能观性2468连续定常系统的能控性线性定常系统的能控性离散时间系统的能控性和能观性对偶原理

线性系统的结构分解系统的实现问题传递函数中零极点对消和能控能观之间的关系

桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显然，它是不完全能控的。4.1线性定常连续系统的能控性(a)(b)4.1.1能控性定义若存在一分段连续控制向量，能在有限时间区间内将系统从初始状态转移到任意终端状态

，那么就称此状态是能控。4.1线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的状态方程：若系统任意

时刻的所有状态都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称系统能控。以二阶系统为例，假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，那么相平面上的P点是能控状态。

PP3P1P2PnP40x1x24.1线性定常连续系统的能控性假如能控状态充满整个状态空间，则该系统被称为状态完全能控。

4.1线性定常连续系统的能控性注1：在线性定常系统中，可假定初始时刻，初始状态，任意

终态状态为零状态。注2：讨论能控性时，控制作用从理论上来说是无约束的，取值并非唯一。注3：假定系统从零状态转移到任意指定终端状态，则称

此状态能达，简称系统能达。对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的；4.1线性定常连续系统的能控性线性定常系统能控性判别准则有两种形式(2)直接根据系统的状态方程A和B，来判断系统的能控性。先将系统进行状态变换，把系统转化成约旦标准型，判断系统的能控性；4.1.2能控性判据4.1线性定常连续系统的能控性1线性变换的能控性判别系统状态方程：系统的输入矩阵B没有全为0的行。1具有对角标准型的线性定常系统系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是：即：4.1线性定常连续系统的能控性不能控能控4.1线性定常连续系统的能控性状态变量x3不受控制例1判断下面系统系统的能控性：例2判断系统的能控性：4.1线性定常连续系统的能控性

若约旦标准型的线性定常系统

系统矩阵具有重特征值，则系统状态完全能控的充要条件是：

输入矩阵中与每个约旦块最后一行相对应的那些行，不为全零行。即：4.1线性定常连续系统的能控性能控不能控分析：4.1线性定常连续系统的能控性结论：1系统的能控性，取决于系统矩阵和输入矩阵；2在A为对角矩阵时，如果B的元素有为0的，则与之对应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，与u无关；该方程无强制分量，在非零初始条件下，系统状态不可能在有限时间内衰减到0；3在A为约旦标准型时，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，所以当b相应于约旦快的最后一行为0时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，系统不完全能控。4.1线性定常连续系统的能控性2具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程：系统能控的充要条件是1.在对应相同特征值部分，它与每一个约旦块最后一行相对应

的一行的元素不全为0；2.中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全0行。

如令可变换成约旦标准型：4.1线性定常连续系统的能控性例3：判断系统的能控性。解：（1）求特征根，取变换：把方程变为约旦标准型：可以判断出系统是不能控的。线性变换矩阵3.2线性4.1线性定常连续系统的能控性定常系统的能控性判别例4：判断系统的能控性。解：（1）求特征根，取变换：把方程变为约旦标准型：可以判断出系统是能控的。4.1线性定常连续系统的能控性2直接从A和B判断系统的能控性系统状态方程：此时，能控性矩阵为nxn维。能控=M满秩状态完全能控的充要条件是能控性矩阵M的秩为n,1）单输入系统4.1线性定常连续系统的能控性注1如系统是单输入系统，则系统能控的充要条件是：能控矩阵M满秩。注2如果系统是单输入系统，还可根据输入和状态矢量间的传递函数来确定

系统的能控性。

系统完全能控的充要条件是：u-x之间的传函没有重合的零极点。

如果传函中有对消零极点，约去一个公因子后，相当于状态变量减少了一维，系统出现了一个低维的能控子空间和一个不能控子空间，所以系统不完全能控。4.1线性定常连续系统的能控性解1：例

考察如下系统的能控性：解2：4.1线性定常连续系统的能控性2）多输入系统此时，能控性矩阵为nxnr维。状态完全能控的充要条件是能控性矩阵M的秩为n,系统状态方程：4.1线性定常连续系统的能控性则能控型矩阵例

判断系统的能控性其秩为3，该系统能控易知4.1线性定常连续系统的能控性其秩为2，所以系统不能控.

例

判断线性定常系统的能控性：4.1线性定常连续系统的能控性注：1.在多输入系统中，有时不用计算出全部的矩阵，相对于单输入系统，系

统的能控条件比较容易满足。2.对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不

变。

3.定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是一致的，这

有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统矩

阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。4.1线性定常连续系统的能控性4.1.3能控性标准型系统能控单输入能控系统，其能控性矩阵M是满秩，也就是M中只有唯一一组线性无关矢量，一旦组合规律确定，其能控标准型是唯一的。对于多输入系统，其能控标准型则不唯一。线性定常系统4.1线性定常连续系统的能控性4.1.3能控性标准型

如果单入系统是能控的，那么存在线性非奇异变换变换矩阵使其变换为：特征多项式4.1线性定常连续系统的能控性4.1线性定常连续系统的能控性单输入系统的能控标准型：系统矩阵输出矩阵输入矩阵传递函数4.1线性定常连续系统的能控性例

求线性定常系统的能控标准型。解：能控性矩阵

系统完全能控。线性变换矩阵

4.1线性定常连续系统的能控性变换后的标准I型：变换后的系统矩阵4.1线性定常连续系统的能控性4.1.4输出能控性若存在一连续控制向量，能在有限时间区间内将系统从初始输出转移到任意终端输出

，那么就称输出是能控。线性定常连续系统的状态空间方程：判据：系统输出完全能控的充要条件是输出能控矩阵Q的秩为m。4.1线性定常连续系统的能控性例

分析系统的状态能控性和输出能控性。解（1）状态能控性系统不能控。（2）输出能控性输出能控。4.2线性定常连续系统的能观性4.2.1

线性连续时变系统的能控性定义

控制系统多数采用反馈控制形式。在现代控制理论中，反馈信息是由状态变量组合而成。但并非所有的状态变量在物理上都能测到。于是提出能否通过对输出的测量获取全部状态变量的信息，这就是能观测问题。4.2线性定常连续系统的能观性

能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接测量。而构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。定义对于线性定常系统在任意给定输入u(t)下，在有限时间区间[t0,tf]内,能够根据[t0,tf]期间输出量y(t)唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),就称状态x(t0)时刻是能观测的。若系统每一个状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观的。4.2线性定常连续系统的能观性1.能观性表示的是输出量反应状态矢量的能力，所以在分析能观性问

题时，可令输入变量为零；2.如果输出量的维数等于状态变量的维数，且C是非奇异的，那么3.定义中把能观性看做是对初始状态的确定，因为初始状态一旦确定，

其他时刻状态也可求出：注：4.2线性定常连续系统的能观性如果具有约旦标准型的线性定常系统

系统矩阵具有互不相同的特征值，则系统能观的充要条件是：

系统的输出矩阵C不包含元素全为0的列。1具有约旦标准型系统的能观性判别4.2.2能观性判据4.2线性定常连续系统的能观性分析：4.2线性定常连续系统的能观性例1判断下列系统的能观性：例1判断下列系统的能观性：系统能观系统不能观4.2线性定常连续系统的能观性

若约旦标准型的线性定常系统

系统矩阵具有重特征值，则系统状态完全能观的充要条件是：

输出矩阵C中与每个约旦块第一列相对应的那些列，不为全零列。4.2线性定常连续系统的能观性能观不能观分析：4.2线性定常连续系统的能观性能观不能观不能观能观4.2线性定常连续系统的能观性试判别系统的能观测性。例2如下线性定常系统,4.2线性定常连续系统的能观性2具有一般系统矩阵的能观性判别系统的状态方程：系统能观的充要条件是1.在对应相同特征值部分，它与每一个约旦块第一列相对应的一列的元素不全为0；2.

中对于互异特征值部分，它的各列元素没有全0列。

如令可变换成约旦标准型：4.2线性定常连续系统的能观性例3：判断系统的能观性。解：（1）求特征根，取变换：

把方程变为约旦标准型：可以判断出系统是能观的。4.2线性定常连续系统的能观性直接从A和C判断系统的能观性状态完全能观的充要条件是能观性矩阵N的秩为n。4.2线性定常连续系统的能观性证明：已知系统(A，C)状态方程的解为可设初始时刻为零，即t0=0则有利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理4.2线性定常连续系统的能观性所以因为一般m<n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，此时把方程个数扩展到n个，即4.2线性定常连续系统的能观性上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将

初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是

能观性矩阵N的秩为n。4.2线性定常连续系统的能观性例4判断下列系统的能观性。秩等于2，所以系统是能观的。解：4.2线性定常连续系统的能观性例5判断下列系统的能观性。秩等于1，所以系统是不能观的。解：4.2线性定常连续系统的能观性例6判断下列系统的能观性。秩等于2，所以系统是能观测的。解：4.2线性定常连续系统的能观性注：1.在多输出系统中，有时不用计算出全部的矩阵，相对于单输出系统，

系统的能观条件比较容易满足。2.对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能观

性不变。

3.定常连续系统与定常离散系统能观性判别条件，发现两者是一致的，

这有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和输出矩阵与连续系统的系

统矩阵和输出矩阵相同，则它们的能观性相同。4.2线性定常连续系统的能观性4.2.3

能观标准型

如果单输出系统是能观的，那么存在线性非奇异变换

将系统变换为能观标准型变换矩阵：4.2线性定常连续系统的能观性

如果单输出系统是能观测的，则存在线性非奇异变换

将系统变换为能观标准II型.变换矩阵

4.2线性定常连续系统的能观性变换后的系统矩阵4.2线性定常连续系统的能观性单输出系统的能观标准型输入矩阵系统矩阵输出矩阵4.2线性定常连续系统的能观性例4求线性系统的能观标准型.解：能观性矩阵

系统能观.

线性转换矩阵

4.2线性定常连续系统的能观性59变换后的标准II型：变换后的系统矩阵4.3线性定常离散系统的能控性和能观性1能控性定义定义如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态

向量开始，在第L步到达零状态，其中L是大于k的有限数，那么就称

此系统在第k步上是能控的。如果在第k步上，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。4.3.1离散系统的

能控性线性定常离散系统的状态空间方程4.3线性定常离散系统的能控性和能观性

根据上述定义，在有限个采样周期里，如能找到阶梯控制信号，使得任意一个初始状态转移到零状态，那么系统是状态完全能控制的。任意给一个初始状态：能否找到一个阶梯控制在三个采样周期内使。4.3线性定常离散系统的能控性和能观性采用递推法4.3线性定常离散系统的能控性和能观性现令，求解三个写成矩阵由于系数矩阵是非奇异的：只要能找到u(0),u(1),u(2),可以判断出系统是能控的。4.3线性定常离散系统的能控性和能观性2能控性判据单输入线性定常离散系统完全能控的充要条件是：能控性矩阵例1系统系统能控。判断能控性。4.3线性定常离散系统的能控性和能观性多输入线性定常离散系统的状态方程完全能控的充要条件是多输入离散系统能控性的判定条件4.3线性定常离散系统的能控性和能观性解：计算出能控性矩阵M的秩，即可例2系统如下，判断系统的能控性。系统能控。4.3线性定常离散系统的能控性和能观性4.3.2离散系统的能观性线性定常离散系统

根据能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出，就能唯一的确定任意初始状态，则系统是完全能观的。若系统在已知y(0),y(1),…,y(n-1)时，应该能确定x(0):4.3线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统

状态完全能观的充要条件是：能观性矩阵4.3线性定常离散系统的能控性和能观性例3判断系统的能观性。解：系统的能观性矩阵为秩为2，所以系统能观。4.3线性定常离散系统的能控性和能观性例4判断系统的能观性。

秩小于3，所以系统不能观。

解：

4.4对偶原理4.4.1对偶系统如：考虑如下两个系统：对偶系统4.4对偶原理互为对偶的系统，输入端和输出端互换，信号传递方向相反。4.4对偶原理两个对偶系统的传递函数矩阵的关系

两个对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。两个对偶系统特征值相同4.4对偶原理4.4.2对偶原理系统状态完全能观的充要条件和系统状态完全能控的充要条件相同；系统状态完全能控的充要条件和系统状态完全能观的充要条件相同。

有了对偶原理，一个系统的能控性可以通过对偶系统的能观性解决而解决；系统的能观性问题可以通过对偶系统的能控性问题的解决而解决。4.5线性定常系统的结构分解系统中有一个状态变量不能控称系统不能控，不可控系统含能控和不能控两种状态变量；系统有一个状态变量不可观称系统不可观，不可观测系统含能观和不能观两种状态变量。状态变量可分解成：能控能观状态变量、能控不能观状态变量、

不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量

四类，相应空间也分成四类，称为系统的结构分解。

4.5线性定常系统的结构分解把系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解是状态空间分析中的一个重要内容。在理论上它揭示了状态空间的本质特征，为最小实现问题的提出提供了理论依据。在实践上，它与状态反馈、系统镇定等问题有着密切的联系。标准分解采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控（不能观）部分。4.5线性定常系统的结构分解4.5.1按能控性进行结构分解设线性定常系统：是状态不完全能控的，能控性M矩阵可使系统的状态空间表达式变换成：其中

，存在非奇异变换4.5线性定常系统的结构分解

在变换后的系统中，将前n1维部分提出来：n1维能控子系统不能控子系统。n-n1维4.5线性定常系统的结构分解2将所得列向量作为矩阵Rc的前n1个列，其余列n-n1

可以在保证Rc为非奇异矩阵的条件下任意选择。关键变换矩阵Rc的构造求法如下：1在能控性矩阵中选择n1个线性无关的列向量；4.5线性定常系统的结构分解例1

线性系统如下，如不是完全能控，将该系统进行能控性分解。

解：能控性矩阵秩

所以系统不完全能控，可进行能控性结构分解。

4.5线性定常系统的结构分解在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简单，选取其中的第1列和第2列，易知它们是线性无关的。

再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。

变换矩阵

4.5线性定常系统的结构分解状态变换后的系统状态空间表达式

二维能控子系统

4.5线性定常系统的结构分解

另选取变换矩阵

状态变换后的系统状态空间表达式

二维能控子系统

4.5线性定常系统的结构分解4.5.2按能观性进行结构分解设线性定常系统：

是状态不完全能观的，能观性N矩阵可使系统的状态空间表达式变换成：

其中，存在非奇异变换4.5线性定常系统的结构分解变换后的系统中，将前n1维部分和后n-n1维分别提出来:n-n1维不能观子系统

n1维能观子系统。2将所得列向量作为矩阵的前n1个列，其余列n-n1

可以在保证为非奇异矩阵的条件下任意选择。关键变换矩阵的构造求法如下：1在能控性矩阵中选择n1个线性无关的列向量；4.5线性定常系统的结构分解4.5线性定常系统的结构分解例2

系统空间状态表达式如下：进行能观性分解。解：能观性矩阵的秩：

系统不完全能观，构造变化矩阵：4.5线性定常系统的结构分解状态变换后的系统状态空间表达式

二维能观子系统4.5线性定常系统的结构分解4.5.3按能控性能观性进行结构分解设系统状态空间表达式为

如果系统不完全能控能观，经过线性状态变换,可以化为

注：

并非所有的系统都能分解为这四部分4.5线性定常系统的结构分解在输入和输出间只存在着一条通道，因此传递函数只能反应系统中能控能观子系统的动力学行为，传函是对系统的一种不完全描述。当传函一定时，在系统中增加或减少不能观(控)子系统，不影响系统的传函。根据传函求取对应的状态空间表达式，其解有无穷个，维数最小的称为最小实现。4.5线性定常系统的结构分解非奇异变换阵的构造逐步分解法：能控：不能控：132原系统能控性分解不能控能观不能控不能观能控能观能控不能观4.5线性定常系统的结构分解例3

系统空间状态方程如下：进行能控性和能观性分解。

解：能控性矩阵和能观性矩阵：

4.5线性定常系统的结构分解首先按能控性进行结构分解，选取变换矩阵

变换后：

4.5线性定常系统的结构分解将能控子系统按能观性进行分解选取变换矩阵变换后：

综合两次变换后，系统按照能控能观分解为：

4.5线性定常系统的结构分解把待分解的系统化为约旦标准型，然后按照判断能控和能观的方法

分别判断各个状态变量的能控能观性。4.5线性定常系统的结构分解4.6系统的实现问题反映系统输入输出信息传递函数关系的传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观子系统的动力学行为。对于某一个给定的传递函数将有无穷多的状态空间表达式与之对应，也就是一个传函阵描述无穷多个内部结构不同的系统。在所有不同结构的系统中，维数最小的系统称为最小实现。4.6系统的实现问题4.6.1实现问题的基本概念

对于给定的传递函数矩W(s)，如有状态空间表达式：

使得成立则状态空间表达式是传递函数阵W(s)的一个实现。注：并不是所有传递函数阵都可以找到实现，需要满足物理可实现性条件。4.6系统的实现问题

1

在传递函数阵中的每一个元素Wij的分子分母多项式的系数均为实常数；

当分子多项式的系数小于分母系数时，Wij是严格真有理分式，实现形式

为（A,B,C）；只要有一个元素的分子多项式的系数等于分母多项式系数时，实现形式为

（A,B,C,D），且：

2

传递函数Wij是s的真有理分式函数，即分子多项式的系数小于或等于

分母多项式的系数；4.6系统的实现问题单输入系统的能控标准I型：传递函数：4.6.2能控标准型和能观标准型的实现4.6系统的实现问题单输出系统的能观标准II型：传递函数：4.6系统的实现问题能控标准型(I)：r维输入m维输出的SISO系统传递函数：4.6系统的实现问题能观标准型(II)：r维输入m维输出的SISO系统传递函数：4.6系统的实现问题例1求传函阵

的能控和能观标准型实现。解：首先将W(s)写成按照s降幂排列的：可得到系数4.6系统的实现问题能控标准型各个矩阵系数：类似的，能观标准型各个矩阵系数：4.6系统的实现问题例2分别求如下传函阵的能控和能观标准型实现：解：首先将W(s)化为严格的有理分式：4.6系统的实现问题将

写成按照s降幂排列的可得到系数4.6系统的实现问题能控标准型各个矩阵系数：4.6系统的实现问题类似的，能观标准型各个矩阵系数：4.6系统的实现问题4.6.3最小实现最小实现的定义：传递函数W(s)的一个实现：定理传递函数矩阵的存在最小实现

的充要条件是系统状态

完全能控且完全能观。

不存在其他实现