山东省济南市市中区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

八年级联合期中质量调研数学试题2024.5.6本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟．本考试不允许使用计算器．选择题部分，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题部分，在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答均无效．一、选择题（共10小题，每题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A． B．C． D．2．如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．3．已知，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．4．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形5．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A． B． C． D．6．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，x的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（）A． B． C．且 D．且8．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接，作的垂直平分线分别交于，连接，则四边形是菱形．乙：分别作的平分线，分别交于，连接，则四边形是菱形．根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误9．已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（）A． B． C． D．210．如图，平行四边形中，在上，且是的中点，过D分别作于于Q，则等于（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．12．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是________．13．分解因式的结果是________14．如图，将正五边形纸片折叠，使点B与点E重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点B的对应点为点，折痕为，则的大小为________度．15．若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为________．16．如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作P交于点D，作交于点E．设，则的取值范围是________．三、解答题（共10小题，共86分）17．（6分）解不等式组：18．（6分）解方程：．19．（6分）先化简：，然后从中选择一个合适的数代入求值．20．（8分）如图，在中，点在对角线上，且．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．21．（8分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？22．（8分）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若的面积等于，求平行线与间的距离．23．（10分）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．24．（10分）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形中，是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．求证：．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．（3）用数学的语言表达如图③，在中，，点D在上，是的中点，N是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接．若，试判断的形状，并进行证明．25．（12分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理，如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．26．（12分）在中，，点D是的中点．四边形是菱形（按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．图①图②备用图（1）在菱形绕点D旋转的过程中，当点B在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值；（2）当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点B时，请直接写出的面积．

八年级联合期中质量调研数学试题答案一、选择题12345CBBCA678910ACCAD二、填空题11． 12．5 13． 14．45 15．2或 16．三、解答题17（6分）解：，解不等式①得：，2分解不等式②得：，4分∴原不等式组的解集为：．6分18（6分）解：由题意得最简公分母为，∴原方程可化为：．3分．5分检验：把代入，且原方程左边=右边．6分∴原方程的解为19（6分）解：原式，4分，，5分当时，原式．6分20（8分）证明：（1）四边形为平行四边形，，，2分在和中，；4分（2）由（1）可知，，，，即，6分，，8分四边形是平行四边形．21（8分）解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是元．根据题意：，1分解这个方程，得：，2分经检验，是原方程的根，3分，4分（含答）答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得：，解得：，5分，即：，6分随m的减小而减小．当时，w取得最小值11200，7分8分答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．22（8分）（1）证明：四边形是平行四边形，，分别是的平分线，，，1分，，，，∴四边形是平行四边形，3分，四边形是菱形；4分（2）解：连接，四边形是平行四边形，，，平分，，，，，是等边三角形，5分，，的面积等于，，，即，6分由（1）知四边形是菱形，，，是的一个外角，，，，即，由勾股定理得，即平行线与间的距离是．8分（可用面积求解）23（10分）解：（1）（元），（元），选择活动一更合算；2分（2）设一件这种健身器材的原价为x元，若，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相；3分，，解得，∴一件这种健身器材的原价是400元；6分（3）当时，，解得；；8分当时，，解得；；10分综上所述，或．24（10分）（1）证明：是的中点，N是的中点，是的中位线，是的中位线，，2分，，；3分（2）证明：由（1）知，是的中位线，是的中位线，，，5分，，；6分（3）解：是直角三角形，理由如下：如图③，取的中点P，连接，是的中点，M是的中点，是的中位线，是的中位线