第二节++一元线性回归模型及其应用讲义 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第二节一元线性回归模型及其应用知识清单1．一元线性回归模型在成对样本数据中，用表示其中一个变量，用表示另一个变量，表示随机误差．假定随机误差的均值为0，方差为与变量无关的定值，则它们之间的关系可以表示为我们称上式为关于的一元线性回归模型．其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与的随机误差．2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为．（1）最小二乘法表示点到一条直线的竖直距离，则可以用这个竖直距离之和来刻画样本观测数据与直线的“整体接近程度”．在实际运用中，因为绝对值使得计算不方便，所以通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”．通过求的最小值来得到经验回归回归方程，这种方法叫做最小二乘法．（2）经验回归方程，．我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．求得的叫做的最小二乘估计．3．残差（1）残差分析对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据，这方便工作称为残差分析．（2）残差的平方和，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差．（3）决定系数，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．4．使用经验回归方程进行预测时的注意事项（1）经验回归方程只适用于所研究样本的总体；（2）经验回归方程一般都有时效性；（3）解释变量的取值不能离样本数据的范围太远；（4）不能期望经验回归方程得到的预测值就是响应变量的精确值．题型训练题型一经验回归方程1．某工厂为节能降耗，经过技术改造后，生产某种产品的产量（单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的对应数据如表：（吨）3456（吨）2.5344.5根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则的值为（）A．0.3 B．0.7 C．3 D．72．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：2456830405060根据表中的全部数据，求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（）A．55 B．55.5 C．56.5 D．703．在某次电脑芯片的生产试验中，得到6组数据．根据数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则（）A．50.5 B．45.5 C．100.2 D．109.24．（多选）习近平总书记指出：扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法．某地响应总书记号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如表：年份20172018201920202021年份代码12345年借阅量（万册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得关于的经验回归方程为，则（）A． B．近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长 C．与的线性相关系数 D．2022年的借阅量一定不少于6.12万册5．某产品的广告费用x万元与销售额y万元的4组数据如下：．根据以上数据可得回归直线方程，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则的值分别为（）A． B． C． D．6．（多选）已知变量与的取值如表所示，且，则由该数据知其线性回归方程可能是（）23456.5mn2.5A． B． C． D．题型二残差与决定系数7．某产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如表，由此得到与的线性回归方程为，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）245683040605070A． B． C．10 D．208．已知一系列样本点的回归直线方程为，若样本点（，2）与（2，）的残差相等，则（）A． B． C． D．9．判断两个变量与是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的决定系数分别为：模型1的决定系数为0.86，模型2的决定系数为0.68，模型3的决定系数为0.66，模型4的决定系数为0.88．其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型410．（多选）下列关于相关系数与决定系数的说法正确的是（）A．越大，变量间的线性相关性越强 B．越小，变量间的线性相关性越强C．越大，模型的拟合效果越好 D．越小，模型的拟合效果越好题型三经验回归方程的计算参考公式：线性回归方程系数公式，．11．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20172018201920202021时间代号12345储蓄存款（千亿元）567810（1）求关于的回归方程；（2）用所求回归方程预测该地区2022年（）的人民币储蓄存款．12．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速（转/秒）1614128每小时生产有缺陷的零件数（件）11985（1）如果与有线性相关的关系，求回归直线方程（保留两位小数）；（2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内（保留整数）？13．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，请销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：月份789101112销售单价/元99.51010.5118销售量/件111086514（1）根据7月份至11月份的数据，求出关于的线性回归方程；参考数据：．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5，则认为得到的线性回归方程是理想的，试依据12月份的数据判断（1）中所得到的线性回归方程是否理想．14．为了解某地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差为，年份x的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；附：相关系数：，相关系数时相关性较强，时相关性一般，时相关性较弱．题型四非线性经验回归方程15．（多选）如表给出了2020年1月至12月，每个月第一天北京天安门广场举行升旗礼的时间：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月7：367：236：485：595：154：484：495：125：416：106：427：16若据此以月份（x）为横轴、时间（y）为纵轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，则适合模拟的函数模型可以是（）A． B．C． D．16．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．46.65636.8289.81.61469108.8表中（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；17．某从业者绘制了他在26岁～35岁（2009年～2018年）之间各年的月平均收入（单位：千元）的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型拟合与的关系，试根据附注提供的有关数据建立关于的回归方程；（2）若把月收入不低于2万元称为“高收入者”，试利用（1）的结果，估计他36岁时能否称为“高收入者”？参考数据：，，，，，，，其中，取参考公式：回归方程v＝bu+a中斜率b和截距a的最小二乘估计分别为，18．为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12组不同身高（单位：）的未成年男性体重的平均值（单位：）（）数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值．11524.3582.958143006300286表中，．（1）根据散点图判断和哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值与身高的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）．（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区的一位未成年男性身高为175，体重为78，他的体重是否正常？附：对于一组数据（，），（，），…，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，．第二节一元线性回归模型及其应用参考答案题型一经验回归方程1-6B，D，D，ABC，C，AD题型二残差与决定系数7-10C，C，D，AC题型三经验回归方程的计算11．（1）由题意，，，回归方程（2）时，（千亿元）．12．（1）由题意，，，回归方程（2）机器的转速应控制在14.9转/秒以下13．（1）由题意，，，回归方程（2）当时，，，故可以认为所得到的线性回归方