湖南省衡阳市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

湖南省衡阳市2021年中考数学试卷

一、单选题（共12题；共24分）

1.8的相反数是（）

A.-8B.8C.-iD.±8

【答案】A

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】解：8的相反数为-8.

故答案为：A.

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可.

2.2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利.现标准下，98990000农村贫

困人口全部脱贫.数98990000用科学记数法表示为（）

A.98.99x106B.9.899x107C.9899x104D.0.09899x108

【答案】B

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解:98990000=9.899x107.

故答案为：B.

【分析】科学记数法的表示形式为axicr的形式，其中k|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；

当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此判断即可.

3.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

【答案】D

【考点】轴对称图形

【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故B选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意；

D、是轴对称图形，故D选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做

对称轴，根据定义即可一一判断得出答案.

4.下列运算结果为的是（）

A.a2-a3B.a12+a2C.（a3）2D.（^a3）2

【答案】C

【考点】同底数幕的乘法，同底数幕的除法，积的乘方，幕的乘方

【解析】【解答】A、a2-a3=a2+3=a5,不符合题意；

12212210

B、aa=a-=a,不符合题意；

C、(a3)2_a3x2=a6,符合题意;

D、(22=铲『2=#,不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据同底数累的乘法及除法、暴的乘方与积的乘方分别进行计算，然后判断即可.

5.下列计算正确的是()

A.V16=±4B.(-2)°=1C.V2+V5=V7D.V9=3

【答案】B

【考点】算术平方根，立方根及开立方，0指数基的运算性质，二次根式的加减法

【解析】【解答】V16=4,故A选项错误，不符合题意；

(—2)°=1,故B选项正确，符合题意；

鱼和向不是同类二次根式不能合并，故C选项错误，不符合题意；

那不能化简，故D选项错误，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据算术平方根、零指数累的性质、二次根式的加减、立方根分别求解，然后判断即可.

6.为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛.某参赛小组6名同学的成绩(单

位：分)分别为：85,82,86,82,83,92.关于这组数据，下列说法错误的是()

A.众数是82B.中位数是84C.方差是84D.平均数是85

【答案】C

【考点】分析数据的集中趋势

【解析】【解答】根据该组数据可知82出现了2次最多，故众数为82,选项A正确，不符合题意；

根据中位数的定义可知该组数据的中位数为誓=84,选项B正确，不符合题意；

85+82+86+82+83+92

根据平均数的计算公式可求出元==85,选项D正确，不符合题意;

6

根据方差的计算公式可求出S2=(85-85)2+(82-85)2+(86-85)2+(82-85)2+(83-85)2+(92-85)2=",选项c错误,

6

符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据众数、中位数、平均数及方差的定义分别求解，然后判断即可.

7.如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是().

正面

【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下:

故答案为：A

【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断

即可.

8.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37。，大厅两层之间的距离BC

为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°»0.6,cos37°»0.8,tan37°»0.75）（）.

A.7.5米B.8米C.9米D.10米

【答案】D

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：根据题意，得：sin37°=«0.6

AB

■：BC=6米

AB=些=&=10米

0.60.6

故答案为：D.

【分析】由sin37°=心20.6求出AB即可.

AB

9.下列命题是真命题的是（）.

A,正六边形的外角和大于正五边形的外角和B.正六边形的每一个内角为120°

C.有一个角是60°的三角形是等边三角形D.对角线相等的四边形是矩形

【答案】B

【考点】等边三角形的判定，多边形内角与外角，矩形的判定

【解析】【解答】解：正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360°

•••选项A不符合题意；

正六边形的内角和为：（6-2）x180°=720°

，每一个内角为&=120。，即选项B正确；

6

三个角均为60°的三角形是等边三角形

选项C不符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形

选项D不正确；

故答案为：B.

【分析】A、任意多边形的外角和都等于360。，据此判断即可；

B、根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角，据此判断即可;

C、根据等边三角形的判定定理进行判断即可；

D、根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可.

10.不等式组y11：2的解集在数轴上可表示为（）

I—2x<6

A.____________.

-5-4-3-2-1012

B------------A-----------------------

-5-4-3-2-1012

D.一1JJ11）

-5-4-3-2-1012

【答案】A

【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组

【解析】【解答】解不等式X+1C0,得x<-l,

解不等式2x<6,得x2-3,

所以这个不等式组的解集为.3<%<_1,在数轴上表示如选项A所示，

故答案为：A.

【分析】先求出不等式组的解集，然后判断即可.

11.下列说法正确的是（）

A.为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式

B.某彩票的中奖机会是1%,买100张一定会中奖

C.从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是7

D.某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名

学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人

【答案】D

【考点】全面调查与抽样调查，用样本估计总体，概率的意义，概率公式

【解析】【解答】解：A、根据普查的特点，普查适合人数较少，调查范围较小的情况，而了解我国中学

生课外阅读情况，人数较多，范围较广，应采取抽样调查，选项说法错误，不符合题意；

B、由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖，选项说法错误，不符合题意；

C、共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为|,选项说法错误，不符合题意；

D、根据计算公式该项人数等于该项所占百分比乘以总人数，列出算式3200X躲，求出结果为1360

人，选项说法正确，符合题意.

故答案为：D.

【分析】A、根据普查适合人数较少，调查范围较小的情况，据此判断即可；

B、由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖，据此判断即可；

C、共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为,，据此判断即可；

D、利用3200乘以样本中最喜欢跳绳的百分比求出结论，据此判断即可.

12.如图，矩形纸片ABCD.AB=4,BC=8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直

线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P,点D落在G处，连接PC,交MN于点Q,连

接CM.下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN=5；③△PQM的面积S

的取值范围是4<S<5.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【考点】勾股定理，菱形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：①如图1,

G

S1

PM||CN,

/PMN=NMNC,

折叠，二/MNC=NPNM，NC=NP

•••/PMN=/PNM，

PM=PN,

PM=CN,

MP||CN,

四边形CNPM为平行四边形，

•••CN=NP,

A平行四边形CNPM为菱形，

故①正确，符合题意；

②当点P与A重合时，如图2所示

设BN=x,贝ijAN=MC=8—x,

在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2,

即42+x2=(8-x)2,

解得：x=3,

CN=5,AC=<AB2+BC2=4V5，

：.CQ=^AC=2V5,

文:四边形CNPM为菱形，

AC1MN,且MN=2QN,

•1•QN=y/CN2-CQ2=V5

•1.MN=2QN=2A/5，

故②错误，不符合题意.

③当MN过点D时，如图3所示:

S3

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=；S券险MPS=；X4X4=4,

当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=；x5x4=5,

4WS45,故③正确，符合题意.

故答案为：①③.

【分析】①利用一组对边平行且相等可证四边形CNPM为平行四边形，由折叠的性质可得CN=NP,可

证平行四边形CNPM为菱形，据此判断即可；②当点P与A重合时，

设BN=x,则AN=MC=8—x,在Rt△ABN中，由AB?+BN2=AN2,建立方程求出x值，

可求出CN、AC,CQ,利用勾股定理求出QN,由菱形的性质得出MN=2QN,据此判断即可；③当MN

过点D时，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小；当P点与A点重合时，CN最长，四边形

CMPN的面积最大，分别求出最大与最小值，即得结论，据此判断即可.

二、填空题(共6题；共6分)

13.要使二次根式及二！有意义，则x的取值范围是.

【答案】x>3

【考点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：二次根式五二I有意义，故x-320,

则x的取值范围是：x>3.

故答案为：x>3.

【分析】要使二次根式有意义，则被开方数20,建立关于x的不等式，求解可解答。

14.计算：等+：=------

【答案】1

【考点】分式的加减法

【解析】【解答】原式=七色=1.

a

故答案为1.

【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可.

15.因式分解：3a2-9ab=.

【答案】3a(a-3b)

【考点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：3a2-9ab=3a(a-3b)

故答案为：3a(a-3b)

【分析】利用提公因式法分解因式即可.

16.底面半径为3,母线长为4的圆锥的侧面积为.(结果保留n)

【答案】12K

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】圆锥的侧面积=?R=Tx(27r-3)x4=127r

故答案为：12n.

【分析】圆锥的侧面积=夕R,据此计算即可.

17."绿水青山就是金山银山".某地为美化环境，计划种植树木6000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的

棵树比原计划增加了25%,结果提前3天完成任务.则实际每天植树棵.

【答案】500

【考点】分式方程的实际应用

【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)x,

60006000。

—3,

X1.25X

x=400,

经检验，x=400是原方程的解，

实际每天植树400x1.25=500棵，

故答案是：500.

【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1+25%)%,根据计划所用的时间-实际所用的时

间=3天，列出方程，求解并检验即可.

18.如图1,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点。，P、Q两点同时从。点出发，以1厘米/秒的速

度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为。一4一。-。，点Q的运动路线为。一C-B-。.

设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在4-。

段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米.

图1图2

【答案】(2V3+3)

【考点】菱形的性质，动点问题的函数图象

【解析】【解答】解：由图可知，AC=2V3,5D=2(厘米)，

••四边形ABCD为菱形

OC=^AC=V3,0B=^BD=1(厘米)

•••NACB=30°

P在AO上时，Q在BC上，PQ距离最短时，PQ连线过。点且垂直于BC.

此时，P、Q两点运动路程之和S=2(OC+CQ)

CQ=OC-cos^ACB=V3Xy=|(厘米)

.­,S=2(V3+1)=2V3+3(厘米)

故答案为(2V3+3).

【分析】由图象可知当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即得AC=2b,BC=2,由菱形的性质

得出0。=：4。=g,。8=[8。=1,从而得出NACB=30。，由题意可得P在4。上时，Q在BC

上，PQ距离最短时，PQ连线过。点且垂直于BC.此时，P、Q两点运动路程之和S=2(OC+

CQ),据此求出结论即可.

三、解答题(共8题；共91分)

19.计算：(%+2y尸+(x-2y)(x+2y)+x(x-4y).

【答案】解：(x+2y)2+(x-2y)(x+2y)+x(x-4y)

2222

=x+4xy+4y2+x-4y+x—4xy

=3x2

【考点】整式的混合运算

【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，然后去括号、合并即

可.

20.如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE,AC^DF.BC^EF.求证：4ABC毛4DEF.

【答案】证明：点A,B,C,D,E在一条直线上

ACI^DF,BCi^EF

・••4=ZFDE,NABC=NDEF

在AABC与ADEF中

^CAB=ZFDE

{AB=DE

NABC=NDEF

.LABC^^DEF^ASA)

【考点】平行线的性质，三角形全等的判定(ASA)

【解析】【分析】根据平行线的性质得出4=ZFDE,ZABC=/DEF根据ASA可证△ABC合△DEF.

21."垃圾分类工作就是新时尚"，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃

圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况

的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示.

有害垃圾

7%

（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；

（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元.若我市某天生活垃圾清运总量为

500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？

（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛.甲

班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女

的概率.

【答案】（1）64.8

（2）解：500x20%x0.2=20（万元）

答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元

（3）解：用列表法如图：

男男女女

1212

男男男

111

1男女女

212

男男男

122

2男女女

212

女女女

工111

1男男女

122

女女女女

共12种机会均等的结果，其中恰好为一男一女结果数为8,

所以，恰好选到一男一女的概率是弓=：

答：抽取的学生中恰好一男一女的概率为|

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，列表法与树状图法

【解析】【解答】解：(1)360°x(1-55%-20%-7%)=64.8°

故答案为64.8

【分析】(1)先求出其他垃圾的百分比，再乘以360。即得；

(2)利用样本中可回收物的百分比乘以500,再乘以0.2即得结论；

(3)利用列表法列举出共12种机会均等的结果，其中恰好为一男一女结果数为8,然后利用概率公式

计算即可.

22.如图，点E为正方形ABCD外一点，ZAEB=90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°

得到4ADF,DF的延长线交BE于H点.

(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；

(2)己知BH=7.BC=13,求DH的长.

【答案】(1)解：四边形AFHE是正方形，理由如下：

根据旋转：^AEB^^AFD=90°,AE=AF,ZDAF^ZEAB,

••1四边形ABCD是正方形

ZDAB=90"

ZFAE=ZDAB=90"

•••ZAEB^ZAFH^ZFAE=90°

四边形AFHE是矩形，

又AE=AF

矩形AFHE是正方形

（2）解：连接BD

BC=CD=13,

在Rt△BCD中，BD=y/CD2+CB2=13或

•••四边形AFHE是正方形

/EHD=90°

在Rt△DHB中，DH=VBD2-BH2，又BH=7,

DH=17.

故答案是17.

【考点】勾股定理，正方形的判定与性质，旋转的性质

【解析】【分析】（1）正方形，理由：根据旋转得NREB=4FL>=90",AE=AF,ZDAF=ZEAB,

由正方形的性质求出=90",结合AE=AF即证结论；

（2）连接BD,在BCD中，利用勾股定理求出BD,在中，利用勾股定理求出DH

23.如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣

加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽

略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为/m，单层部分的长度为ycm.经测量，得到下表中数据.

双层部分长度%（cm）281420

单层部分长度y（cm）148136124112

（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长•请计算此时双层部分的长度;

（3）设背带长度为Lcm,求L的取值范围.

【答案】（1）解：根据观察y与x是一次函数的关系，所以设y=kx+b（k^0）

依题意,得端：建樱

解得,k=-2

b=152；

y与x的函数关系式：y=-2x+152

（2）解：设背带长度是Lcm

则L=x+（-2x+152）=-x+152

当L=130时，-x+152=130

解得，x=22

（3）解：；y>0,-2x+152>0

解得，x<76又x之0

0<%<76

,■176<-X+152<152

即76<L<152

【考点】一次函数的实际应用

【解析】【分析】（1）根据观察y与X是一次函数的关系，然后利用待定系数法求出解析式即可；

（2）设背带长度是km，由于背带的长度为单层部分与双层部分长度的和，据此可得L=x+（-2刀+

152）=-x+152,然后求出L=130时的x值；

（3）根据y20,x>0,求出x的范围，从而求出L的范围.

24.如图，AB是。。的直径，D为。。上一点，E为"的中点，点C在BA的延长线上，且

ZCDA=ZB.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若DE=2,/BDE=30°，求CD的长.

【答案】（1）证明：连接OD,

OD——OB,

•1.NB=ZODB,

又；/B=ZCDA,•1./ODB=ZCDA

又,:NODB+ZODA=90°，,ZCDA+ZODA=90

即ZODC=90°，

所以，CD是。。的切线

（2）解：连接BE、0E

:E是BD的中点，

BE=DE=2,0E1BD

/BOE=2/BDE=6Q°，

LOBE是等边三角形

从而OB=BE=2,NBOE=60°

OB=OD,OE1BD,

•••/BOE=NDOE=60°,

所以/DOC=60°

在Rt△ODC,/DOC=60°,OD=OB=2,

•••CD=V3OD=2V3

【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质

【解析】【分析】（1）连接OD,由OD=OB可得NB=NODB,从而可得N0DB=NCDA,从

而得出NODC=/C£M+n0fM=90°,根据切线的判定定理即证；

（2）连接BE、OE,利用垂径定理可得BE=OE=2,OEJ.BO,证明△OBE是等边三角形，可得

OB=BE=2,/BOE=60°,从而可得/BOE=N0OE=60°,利用直角三角形的性质得出

CD=V3OD，据此即得结论.

25.如图，△OAB的顶点坐标分别为。（0,0）,A（3,4）,8（6,0）,动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正

方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运

动.过点Q作MN〃0B分别交AO、AB于点M、N,连接PM、PN.设运动时间为t（秒）.

（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；

（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线I,总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线I的解析式；如果

不存在，请说明理由；

（4）连接AP,当Z0AP=NBPN时，求点N到。4的距离.

【答案】（1）解：过M点作MGlx轴于G点.过A点作ADLx轴于D点.

贝jiZMGO=90。，MG“AD,

v/QOB=90°,MN/fOB,

ZOQM=180°-/QOB=90°,四边形QOGM为矩形,

则MG=OQ=2t,

•••0(0,0),4(3,4),B(6,0),AD1OB,

•••£)(3,0),OD=3,AD=4,

■■■MQ“AD,

:心MOGAOD,

OG_MGHn———

OD~AD9'3-4

OG=|t

(2)解：OQ=2t,QM=|t=OG,4(3,4),

OM=JOQ2+QM2=11,04=V32+42=5,

•••OP=3t,B(6,0),

:.OB=6,

.OM_|t_13t_OP

,•———L——■

OA526OB

、:NMOP=ZAOB,

MOPAOB,

••・/MP。=NABO,

••・MP“AB,

・：MN〃0B,

四边形MNBP为平行四边形

5^NBP=BPOQ=(6—3t)x2t=-6(t-I)2+6,

•­•0<t<2,(当t=0或t=2时，四边形不存在)

而a=—6,

.•.当t=1时，S取最大值6

J.四边形MNBP面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6

(3)解：存在.理由如下:

连接BM,交PN于H,

由(2)得：四边形PBNM为平行四边形，

•••过H的任意直线都平分©MNBP的面积，MH=BH,

所以由中点坐标公式可得：W(|t+3,t),即I过点H,

,x=-1+3

•••{4,

y—t

3.

x=-y+o3,

4

,4.

/:y=-%—4

)3

(4)解：如图，当0VCV2时,

AB=,(3—6)2+(4-0)2=5)

:.AB=AO=5,

・・・ZAOB=NABO,

ZOAP=/BPN,

△AOPPBN

AO_OPyn5_3t_

PB-BN''6-3t-BN

・・・MN“OB,

・•・ZAMN=NAOB,NANM=/ABO,

・•・ZAMN=NANM,

・•・AM=AN,

.・・OM=BN=-t

2f

.5_3t

*'6-3t--t

2

经检验；ti=9是原方程的根，t=o是增根，舍去，

lo2

此时：MN=PB=6-3t=总OQ=2t=昔，

如图，过N作NK_L4。于K,

S^ABC=2X°BxAD=12=s&OBN+SAAON，

1111

^-x6x—+-x5xNK=12,

292

.・.NK=—10.

3

当t=0时，ZOAP=NBPN=0°,此时N至(jOA的距离是B至ljOA的距离，

设这个距离为h,由等面积法可得：

-OA-A=-OBAD,

22

:.51=6X4,

.・・/=丝

5

当t=2时，不合题意，舍去.

综上：N到04的距离为：?或葺

【考点】坐标与图形性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质

【解析】【分析】(1)过M点作MG，无轴于G点.过A点作/W1无轴于D点.证明四边形Q0GM为矩

形，可得MG=0Q=2t,证明AMOG，可得要=当，从而求出OG,即得点M坐标；

ODAD

(2)证明△M0PAOB,从而证得四边形MNBP为平行四边形，从而求出S.NBP=BP•0Q=(6-

3t)x2t=-6(t-l)2+6,利用二次函数的性质求出最值即可；

(3)存在.理由：连接BM,交PN于H,由(2)得：四边形PBNM为平行四边形，可得过”的任意直

线都平分-MNBP的面积，由M、B坐标及中点坐标公式，求出H坐标，从而求出直线I解析式；

(4)分三种情况：①当0<t<2时，证明△40PHPBN,可得霄=黑，即盘=费，据此求

出t值，从而求出MN、0Q,如图，过N作NK14。于K,由于ShABC=^xOBxAD=12=SA0BW+

SAAON，据此可求出NK,②当t=0,利用等面积法求出距离，③当t=2,不合题意，舍去•

26.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点".例如

（1,1）,（2021,2021）......都是“雁点

（1）求函数y图象上的"雁点"坐标；

（2）若抛物线y=a/+5x+c上有且只有一个"雁点"E,该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N

的左侧）.当a>1时.

①求c的取值范围；

②求NEMN的度数；

（3）如图，抛物线y=-/+2久+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y=-x2+

2x+3上一点，连接BP,以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC,是否存在点P,使点C恰好为“雁

点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

_4

【答案】（1）解：联立？=受，

y—x

解得｛;二或｛二」

即：函数y=~上的雁点坐标为（2,2）和（—2,—2）

⑵解：①联立0=N+5X+C

得ax2+4%+c=0

V这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根,

J=42—4ac=0

c=-

,.0a

a>1

0<c<4

②将c=/代入，得axj+4XE+/=0

解得冲=—；，,・以一：1一；）

对于y=ocx2+5%+：,令y=0

有Q/4-5%4-1=0

解得xM=_QN=T

4

・•・M（-：,0）

过E点向x轴