2017-2021年辽宁中考数学真题分类汇编之图形的性质

2017-2021年辽宁中考数学真题分类汇编之图形的性质

一.选择题（共14小题）

1.（2021•沈阳）如图，直线〃被直线c所截，若〃〃从Nl=70°,则/2的度数是（）

2.（2021•锦州）如图，AM〃BN,ZACB=90°,NMAC=35°,则/CBN的度数是（）

3.（2021•阜新）如图，A,B,C是。。上的三点，若/。=70°，则NC的度数是（）

A.圆内接四边形的对角互补

B.平行四边形的对角线相等

C.菱形的四个角都相等

D.等边三角形是中心对称图形

6.（2020•朝阳）如图，在正方形ABCO中，对角线AC,8。相交于点。，点E在BC边上,

且C£=2BE,连接AE交8。于点G,过点8作于点尸，连接。尸并延长，交

BC于点M,过点O作OP±OF交。C于点N,S四边形MONC=2,现给出下列结论:①=1

4AG3

②sin/BOF=&/ia；③0尸=盟5；@OG=BG；其中正确的结论有（）

C.①②④D.①③④

7.（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OA8CDE绕点。顺

时针旋转，个45°,得到正六边形OAiBiGREj，则正六边形。4混CiDE（,=2020）的顶

C.(1,-2)D.(2,1)

8.（2020•葫芦岛）一个零件的形状如图所示，AB//DE,AD//BC,ZCBD=60°,NBDE

=40°,则NA的度数是（）

E

C

A.70°B.80°C.90°D.100°

9.（2020•丹东）如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AB=CD,NB=60°,AO=8“，

分别以8和C为圆心，以大于28c的长为半径作弧，两弧相交于点P和。，直线PQ与

2

延长线交于点E,连接“，则△BCE的内切圆半径是（）

A.4B.4&C.2D.2M

10.（2019•抚顺）如图，AC,8。是四边形48CO的对角线，点E,F分别是AD,8c的中

点，点M,N分别是AC,8。的中点，连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMSV为

正方形，则需添加的条件是（

B.AB=CD,AD=BC

C.AB=CD,AC1-BDD.AB=CD,AD//BC

11.（2019•铁岭）如图，在△CEF中，ZE=80°,ZF=50°,AB//CF,AD//CE,连接

C.55°D.80°

12.（2019•鞍山）如图，AB//CD,EF与AB,CO分别交于点G,H,/CHG的平分线

交AB于点M,若NEGB=50°,则/GM”的度数为（）

E

D

A.50°B.55°C.60°D.65

13.（2019•盘锦）如图，四边形ABC。是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧

交于点R再分别以点8,尸为圆心、大于28尸的长为半径画弧，两弧交于点M,

2

下列结论中不一定成立的是（）

C.AE平分NBEFD.AB=AE

14.（2018•铁岭）如图，在菱形ABCD中，48=5,对角线AC与3。相交于点。，且AC：

）

C.5

5D-T

填空题（共5小题）

15.（2018•鞍山）已知，在等腰三角形ABC中，ACBC于点。，且BC=2A。，则等腰三

角形ABC底角的度数为

16.（2018•大连）一个扇形的圆心角为120°,它所对的弧长为6ncm,则此扇形的半径为

17.（2018•营口）如图1,OC是0。的半径，弦垂直平分OC,垂足为点Z）,

连接OA,OB,将图中阴影部分的扇形OAB剪下围成一个圆锥的侧面（如图2）,则圆锥

的底面圆半径是

18.(2018•本溪)如图，矩形0ABe的顶点A,C分别在坐标轴上，B(8,7),D(5,0),

点P是边AB或边BC上的一点，连接OP,DP,当△ODP为等腰三角形时，点P的坐

标为_______

19.(2018•葫芦岛)如图，OP平分NMON,A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A

到ON的距离为半径作弧，交ON于点8、C,再分别以点8、C为圆心，大于工BC的长

2

为半径作弧，两弧交于点。、作直线分别交OP、ON于点E、F.若NMON=60°,

EF=\,WiJOA=

三.解答题(共6小题)

20.(2018•鞍山)如图，四边形ABCO内接于。。，AC与8。为对角线，ZBCA=ZBAD,

过点A作AE//BC交CD的延长线于点E.

(1)求证：EC=AC.

(2)若cos/A£>B=Z,BC=10,求OE的长.

5

21.（2018•丹东）如图，直线AO经过。0上的点A,△48C为。。的内接三角形，并且N

CAD=NB.

（1）判断直线AO与的位置关系，并说明理由；

（2）若NC4£>=30°,。。的半径为1,求图中阴影部分的面积.（结果保留n）

22.（2019•丹东）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°，点。在AB上，以AO为直径的

与边BC相切于点E,与边AC相交于点G,且余=会，连接GO并延长交。。于点尸,

连接BF.

（1）求证：

®AO=AG.

②BF是。。的切线.

（2）若BD=6,求图形中阴影部分的面积.

23.（2019•抚顺）如图，点E,尸分别在正方形4BC。的边CD,8c上，且。E=C尸，点尸

在射线BC上（点P不与点F重合）.将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,

过点E作GQ的垂线。”，垂足为点H,交射线BC于点Q.

（1）如图1,若点E是C。的中点，点尸在线段上，线段BP,QC,EC的数量关系

为.

(2)如图2,若点E不是CQ的中点，点P在线段BF上，判断(1)中的结论是否仍然

成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(3)正方形ABC。的边长为6,AB=3DE,QC=1,请直接写出线段BP的长.

24.(2020•阜新)如图，正方形A8CO和正方形CEFG(其中B£)>2CE),8G的延长线与

直线OE交于点H.

(1)如图1,当点G在C。上时，求证：BG=DE,BG±DE；

(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周.

①如图2,当点E在直线CD右侧时，求证：BH-DH=y[2CH；

②当/OEC=45°时，若AB=3,CE=\,请直接写出线段£>”的长.

25.(2021•锦州)在△A8C中，AC=AB,ZBAC=a,。为线段A8上的动点，连接DC,

将。C绕点。顺时针旋转a得到。E,连接CE,BE.

图1图2备用图

(1)如图1,当a=60°时，求证：△C4。丝△CBE；

(2)如图2,当tana=3时，

4

①探究AO和8E之间的数量关系，并说明理由；

②若AC=5,”是BC上一点，在点。移动过程中，CE+E”是否存在最小值？若存在,

请直接写出CE+E”的最小值；若不存在，请说明理由.

2017-2021年辽宁中考数学真题分类汇编之图形的性质

参考答案与试题解析

选择题（共14小题）

1.（2021•沈阳）如图，直线被直线c所截，若a〃4Nl=70°,则/2的度数是（）

A.70°B.100°C.110°D.120°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】由已知条件可得Nl=N3=70°,由平角的性质可得N2+N3=180°代

入计算即可得出答案.

【解答】解：如图，

'：a//b,

.,.Zl=Z3=70°,

；/2+N3=180°,

；./2=180°-N3=180°-70°=110°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的

关键.

2.（2021•锦州）如图，AM//BN,ZACB=90°,NAMC=35°,则NCBN的度数是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】过C点作C/〃AM,利用平行线的性质解答即可.

【解答】解：过C点作CF〃AM,

'CAM//BN,

：.AM//CF//BN,

：./M4C=ZACF,NCBN=NFCB,

VZACB=90°,ZMAC=35°,

AZCBN=ZFCB=ZACB-ZACF=ZACB-ZMAC=90°-35°=55°,

故选：C.

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答.

3.（2021•阜新）如图，A,B,C是OO上的三点，若NO=70°,则NC的度数是（）

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【解答】解：和/C都对第，

AZC=AZAOB=AX70°=35°.

22

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

4.（2021•大连）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（）

AOCBD

【考点】几何体的展开图.

【专题】几何图形问题；空间观念.

【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.

【解答】解：扇形和圆折叠后，能围成的几何体是圆锥.

故选：D.

【点评】本题考查了由展开图判断几何体的知识，根据常见几何体的平面展开图的特征,

是解决此类问题的关键.

5.（2020♦盘锦）下列命题正确的是（）

A.圆内接四边形的对角互补

B.平行四边形的对角线相等

C.菱形的四个角都相等

D.等边三角形是中心对称图形

【考点】命题与定理.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根据圆内接四边形的性质、平行四边形和菱形的性质、中心对称图形的概念判

断即可.

【解答】解：A、圆内接四边形的对角互补，本选项说法正确，符合题意；

8、平行四边形的对角线不一定相等，本选项说法错误，不符合题意；

C、菱形的四条边相等，但四个角不一定都相等，本选项说法错误，不符合题意；

。、等边三角形不是中心对称图形，本选项说法错误，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

6.（2020•朝阳）如图，在正方形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。，点E在BC边上,

且CE=28E,连接AE交8。于点G,过点B作于点F,连接OF并延长，交

8C于点过点。作OPO5交0c于点N,S叫边胫MONC=—＞现给出下列结论:①感

_4AG3

②sin/BOF=C®0；③0尸=盟5；④。G=BG；其中正确的结论有（）

105

_____Q

BME

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例；解直角三角

形.

【专题】数形结合；图形的全等；矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；运算能

力；推理能力.

【分析】①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；②过点O作OH〃BC交AE于

点”，过点。作。QLBC交8c于点Q,过点B作交OM的延长线于点K,首

先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE,AF,EF的长度,

再利用平行线分线段成比例分别求出OM,8K的长度，然后利用sin/BOF=畦L即可判

0B

断；③利用平行线分线段成比例得出空=中然后利用勾股定理求出OM的长度，进而

FM

OF的长度可求；④直接利用平行线的性质证明△HOG丝ZiEBG,即可得出结论.

【解答】解：如图，过点。作0，〃8C交AE于点”，过点。作0QL8C交8c于点

过点B作BKLOM交OM的延长线于点K,

AD

•四边形ABC。是正方形，

•OB-|BD,OC=yAC,AC=BD,Z0BM=Z0CN=45,0B10C,AD//B-

.OB=OC,NBOC=90°,

・NBOM+NMOC=900.

•OP工OF,

.ZMON=90°,

・NCON+NMOC=90°,

,/BOM=/CON,

・△B0MQ4C0N(ASA),

・SABOM=S〉CON,

19

四边形)・

,S1OK=SABOCWB0C=7

-0B=0C=^^>

•BO^X亚

•CE=2BE,

•BE^-BC=1-

o

•AE=VAB2+BE2=VTO-

'BFLAE,

•yAE-BF=yAB-ME-

3V10

•BF-

10

..亚一EF-而，

.OFHFOH.

*'FM'EF"ME_4'

二吟。吟xT

：.BM=^-,M(2=—•

44

'：AD//BC,

.•.竺典」，故①正确；

AGAD3

,JOH//BC,

二罂笔增=4，ZHOG=ZGBE-

ECACAE2

又,：CE=2BE,

：.OH=BE,AH=HE=J^.

2

■:NHGO=NEGB,

:.△HOGmAEBG(AAS),

...OG=BG,故④正确;

,:OQL+M^-=OM1,

,OM=VOQ2+MQ2=^->

OF、遥x—=&疾，故③正确；

455

..11

•-^3M-BK=yBM'OQ>

即畀莘啷=会1>4,

••,BK窄，

•••sin/BOF型衣，故②错误;

0B10

.•.正确的有①③④.

故选：D.

【点评】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及

性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键

7.（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OA8CDE绕点。顺

时针旋转i个45°,得到正六边形OABGO闺，则正六边形O4BGD汨（i=2020）的顶

点G的坐标是（）

A.（1,-遮）B.（1,V3）C.（1,-2）D.（2,1）

【考点】正多边形和圆；坐标与图形变化-旋转.

【专题】动点型；规律型；平面直角坐标系；应用意识.

【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020+8=252…4,所以G的坐标与C4的坐标

相同.

【解答】解：由题意旋转8次应该循环，

♦.•2020+8=252…4,

ACi的坐标与C4的坐标相同，

VC（-1,、巧），点C与C4关于原点对称，

'：AB=AC=1,ZOAB=[20°,

C4（i,­V^），

...顶点Ci的坐标是（1,一遍），

故选：A.

【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化-性质等知识，解题的关键是学会探

究规律的方法，属于中考常考题型.

8.（2020•葫芦岛）一个零件的形状如图所示，AB//DE,AD//BC,NC8£>=60°,ZBDE

=40°,则NA的度数是（）

CE

A.70°B.80°C.90°D.100°

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识.

【分析】根据平行线的性质，可以得到/AOB=60°和/ABO的度数，再根据三角形内

角和，即可得到NA的度数.

【解答】解：,JAB//DE,AD//BC,

：.NABD=ZBDE,/ADB=NCBD,

VZCBD=60°,ZB£>E=40°,

AZADB=60°,ZABD=40°,

AZA=180°-ZADB-ZABD=S0°,

故选：B.

【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

9.（2020•丹东）如图，在四边形A8CE）中，AB//CD,AB^CD,/B=60°,AO=8«,

分别以B和C为圆心，以大于28c的长为半径作弧，两弧相交于点P和。，直线P。与

2

延长线交于点E,连接CE,则△8CE的内切圆半径是（）

A.4B.4&C.2D.273

【考点】作图一基本作图：平行四边形的判定与性质；三角形的内切圆与内心.

【专题】作图题；几何直观.

【分析】先根据平行四边形的判定可得四边形ABCC是平行四边形，根据平行四边形的

性质可得BC=AD=S^,根据作图过程可得EB=EC,根据等边三角形的判定可得AEBC

是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解.

【解答】解：••,在四边形A8CQ中，AB//CD,AB=CD,

：.四边形ABCD是平行四边形，

：.BC=AD=S-j3>

由作图过程可得EB=EC,

'：ZB=6Q°,

:.4EBC是等边三角形，

.,.△BCE的内切圆半径是工X8«XLX«=4.

32

故选：A.

【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，作图-基本

作图，熟知垂直平分线的作法是解答此题的关键.

10.（2019•抚顺）如图，AC,8。是四边形A8C£>的对角线，点E,F分别是A。，8C的中

点，点/，N分别是AC,8。的中点，连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMW为

正方形，则需添加的条件是（

B.AB^CD,AD=BC

C.AB=CD,ACLBDD.AB=CD,AD//BC

【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形.

【分析】证出EV、NF、FM、ME分别是△AB。、XBCD、/\ABC.△AC。的中位线，

得出EN〃AB〃FM,ME〃CD〃NF,EN=L\B=FM,ME=LCD=NF,证出四边形EMFN

22

为平行四边形，当AB=CC时，EN=FM=ME=NF,得出平行四边形EMFN是菱形；

当A8_LC。时，ENLME,则ZMEN=90°,即可得出菱形EA〃W是正方形.

【解答】解：：点E,F分别是A。，BC的中点，点M,N分别是AC,8。的中点，

:.EN、NF、FM、ME分别是△AB。、/\BCD、△ABC、△ACZ）的中位线，

：.EN//AB//FM,ME//CD//NF,EN=LB=FM,ME=2CD=NF,

22

四边形EMFN为平行四边形，

当A8=C。时，EN=FM=ME=NF,

平行四边形EMFN是菱形；

当AB_LC£）时，ENLME,

则/MEN=90°,

菱形EMFN是正方形;

故选：A.

【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线

定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

11.（2019•铁岭）如图，在△（?£■/中，ZE=80°,ZF=50°,AB//CF,AD//CE,连接

BC,CD,则/A的度数是（）

A.45°B.50°C.55°D.80°

【考点】三角形内角和定理：平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形.

【分析】连接AC并延长交EF于点由平行线的性质得N3=/l,/2=N4,再由等

量代换得/3+N4=/1+/2=NFCE,先求出NFCE即可求出ZA.

【解答】解：连接AC并延长交E尸于点

；.N3=N1,

'：AD//CE,

.,.Z2=Z4,

.,.ZB^D=Z3+Z4=Z1+Z2=ZFC£,

VZFC£=180°-ZE-ZF=180°-80°-50°=50°,

:./BAD=NFCE=50°,

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型.

12.（2019•鞍山）如图，AB//CD,EFAB,CO分别交于点G,H,NCHG的平分线“例

交AB于点M,若NEG8=50°,则NGM”的度数为（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线.

【分析】由A8〃CQ,利用“两直线平行，内错角相等”可得出NEHQ的度数，利用邻

补角互补可求出NCHG的度数,结合角平分线的定义可求出/CHM的度数，由AB//CD,

利用“两直线平行，内错角相等”可得出/GMH=NCHM=65°,此题得解.

【解答】解：•.•A8〃C£）,

：.NEHD=NEGB=50°,

.../CHG=180°-ZEHD^\800-50°=130°.

,:HM平济/CHG,

：.ZCHM=NGHM=Z/CHG=65°.

2

'：AB//CD,

：.ZGMH=ZCHM=65°.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键.

13.（2019•盘锦）如图，四边形48CO是平行四边形，以点4为圆心、A8的长为半径画弧

交AO于点F,再分别以点8,F为圆心、大于23F的长为半径画弧，两弧交于点M,

2

作射线AM交BC于点E,连接下列结论中不一定成立的是（）

C.AE平分/BEfD.AB=AE

【考点】平行四边形的性质.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可.

【解答】解：由尺规作图可知：AF=AB,AE平分

二/DAE,

四边形4BC3是平行四边形，

J.AD//BC,

:./DAE=NBEA.

:.NBAE=NBEA,

：.AB=BE,

\"AF=AB,

：.AF=BE,

'JAF//BE,

...四边形ABE尸是平行四边形，

"：AF=AB,

四边形A8EF是菱形，

.♦.AE平分NBE凡BE=EF,EF//AB,故选项A、C正确，

'."CD//AB,

J.EF//CD,故选项B正确；

故选：D.

【点评】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

14.（2018•铁岭）如图，在菱形ABC。中，AB=5,对角线AC与8。相交于点。，且AC：

BD=3：4,AE_LC£>于点E,则AE的长是（）

A.4B.誉C.5D-f

【考点】菱形的性质；勾股定理.

【专题】矩形菱形正方形.

【分析】根据AC：BD=3：4和菱形对角线的性质得：A。：05=3：4,设A0=3x,0B

=4x,贝！jA8=5x,由S菱形ABCD=/AC>BD=CD-AE，可得AE的长.

【解答】解：•・,四边形A8CO是菱形，

:.AO=1AC0B=l-BD,AC±BD,

292

VAC：BD=3：4,

/.AO：08=3：4,

设AO=3x,0B=4x,则AB=5x,

VAB=5,

••5x=5,x=1,

・・・AC=6,BD=8,

Si^c»B［）=CD*AE'

.1

••yX6X8=5AE>

AE=-24,

5

故选：B.

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是

解题关键.

二.填空题（共5小题）

15.（2018•鞍山）已知，在等腰三角形ABC中，ACBC于点。，且BC=2AO,则等腰三

角形ABC底角的度数为45°或15°或75°♦

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形.

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BQ=CQ,从而得到AO=8O=CD,再利

用等边对等角的性质可得NB=/BA。，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可.

【解答】解：如图，；A3=AC,AD1BC,

:.BD=CD=、BC,

2

"：BC=2AD,

：.AD=BD=CD,

.\ZB=ZBAD=1(180°-90°)=45°.

2

当AB=BC,AD垂直于8c延长线，ZB=150°,底角=15°；

当AB=BC,A。垂直于BC,ZB=30°；底角=75°,

故答案为：45°或15°或75°.

【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，得出AD=BD=

CO是解题的关键.

16.（2018•大连）一个扇形的圆心角为120°,它所对的弧长为6mm,则此扇形的半径为

9_cm.

【考点】弧长的计算.

【分析】根据弧长公式工=二2更求解即可.

【解答】解：•.•乙=史里,

180

•R=180X6兀不

120兀'

故答案为：9.

【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=里里.

17.（2018•营口）如图1,OC是。。的半径，弦AB垂直平分OC,垂足为点。,43=6忌7〃,

连接OA,OB,将图中阴影部分的扇形0A8剪下围成一个圆锥的侧面（如图2）,则圆锥

的底面圆半径是2cm.

【考点】圆锥的计算；线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理.

【专题】与圆有关的计算.

【分析】先由弦AB垂直平分0c求得NOAO=30°、408=120°,利用三角函数求

得OA=——至「"=6,再求出圆锥的底面周长为4TT,根据2nr=4n可得答案.

cos30

【解答】解：•••弦AB垂直平分OC,

：.OA=OC^2OD,

则/040=30°,ZA<9C=60°,

.♦.408=120°,

AB=6yf3cm,

.'.AD=3y/2cm,

2

...扇形的弧长，即圆锥的底面周长为丝丝

180

则2nr=4Tt,

解得r=2,

故答案为：2cm.

【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系

是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

18.(2018•本溪)如图，矩形。48c的顶点A,C分别在坐标轴上，B(8,7),D(5,0),

点P是边AB或边8c上的一点，连接OP,DP,当△。£»尸为等腰三角形时，点P的坐

标为(8,4)或(5,7).

【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定.

【专题】平面直角坐标系；矩形菱形正方形.

【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；

【解答】解：,••四边形OA8C是矩形，B(8,7),

：.OA=BC=S,OC=AB=7,

'：D(5,0),

：.OD=5,

•.•点P是边AB或边BC上的一点，

.•.当点P在AB边时，0D=DP=5,

'：AD^3,

：.PA^^2_22=4,

：.P（8,4）.

当点尸在边8c上时，只有尸O=PO,此时P（§,7）.

2

综上所述，满足条件的点P坐标为（8,4）或（§,7）.

2

故答案为（8,4）或（S,7）.

2

【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关

键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

19.（2018•葫芦岛）如图，OP平分NMON,A是边0M上一点，以点4为圆心、大于点A

到ON的距离为半径作弧，交ON于点8、C,再分别以点8、C为圆心，大于工BC的长

2

为半径作弧，两弧交于点。、作直线分别交OP、ON于点E、F.若NMON=60°,

EF=1,则OA=2y.

【考点】作图一基本作图：含30度角的直角三角形.

【专题】作图题.

【分析】利用基本作图得到/AOF=90°,再根据角平分线的定义得到NEOF=30°,

然后根据含30度的直角三角形三边的关系先求出OF,再求出OA的长.

【解答】解：由作法得AOJ.ON于凡

AZAOF=90°,

•；O尸平分/MON,

AZEOF=60°=30°,

22

在RtZiOEF中，OF=yf^EF=6,

在RtZ\AOF中，ZAOF=60°,

：.OA=2OF=2yfj.

故答案为2b.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线）.

三.解答题（共6小题）

20.（2018•鞍山）如图，四边形ABCO内接于AC与8。为对角线，ZBCA=ZBAD,

过点A作AE//BC交CD的延长线于点E.

（1）求证：EC=AC.

（2）若COSNADB=2,8c=10,求OE的长.

【考点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算.

【分析】（1）欲证明CE=C4,只要证明NE=NCAE即可.

（2）设AE交。。于M,连接。M,作于H.想办法证明ME=M£>=8C=10,

解直角三角形求出EH即可解决问题.

【解答】（1）证明：

ZACB=ZEAC,

,/ZACB=ZBAD,

：.NE4C=^BAD,

：.ZEAD=ZCAB,

VZADE+ZADC=]S0°,N4OC+NA8C=180°,

・・・ZADE=ZABC,

VZEAD+ZADE+ZE=180°,ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

:・/E=ZACB=ZEAC,

：.CE=CA.

(2)解：设AE交。。于M,连接DM,作MH_LZ)E于H.

•:/EAD=/CAB,

・・・而=祕,

：.DM=BC=W,

・.,NMOE+NMOC=180°,NMDC+NM4C=180°,

：.ZMDE=ZCAMf

*：ZE=ZCAE,

・•・NE=NMDE,

：.MD=ME=\09MH1.DE,

:.EH=DH,

'/NADB=ZACB=ZBAD=ZE,

:.cosZE=J^Il=—,

ME5

:・EH=4,

：.DE=2EH=S.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

21.(2018•丹东)如图，直线AD经过。。上的点A,△A5C为OO的内接三角形，并且/

CAD=NB.

(1)判断直线AO与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若NC4O=30°,。。的半径为1,求图中阴影部分的面积.（结果保留IT）

【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算.

【分析】（1）作直径AE,连接CE,求出/OAQ=90°,根据切线的判定得出即可;

（2）求出△OAC是等边三角形，再分别求出△CMC和扇形0C4的面积，即可得出答案.

【解答】解：（1）直线A。与。。的位置关系是相切,

理由是：作直径4E,连接CE,

为直径,

：.ZACE=90°，

/E+NE4C=90°，

•；NB=NDAC,NB=NE,

：.ZE=ADAC,

：.ZEAC+ZDAC=90°,

即0A1.AD,

'：OA过O,

・・・直线与。0的位置关系是相切;

(2)连接0C,过。作OF_LAC于尸，则NOM=90,

,：ZCAD=30°,ZDAO=90°,

AZOAC=60°,

VOC=OA=19

•**/\OAC是等边三角形，

：.AC=OA=lfZAOC=60°,

*：OA=OC,0F1.AC,

：.AF=FC=^,

【点评】本题考查了切线的性质和判定，扇形的面积计算和圆周角定理等知识点，能综

合运用定理进行推理是解此题的关键.

22.(2019•丹东)如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°，点。在AB上，以AD为直径的

与边8c相切于点E,与边AC相交于点G,且萩=器，连接GO并延长交于点F,

连接BF.

(1)求证：

®AO=AG.

②BF是。。的切线.

(2)若80=6,求图形中阴影部分的面积.

【考点】圆的综合题.

【专题】综合题；推理能力.

【分析】（1）①先利用切线的性质判断出/ACB=/OEB,再用平行线结合弧相等判断

出/40G=NAG0,即可得出结论；

②先判断出△AOG是等边三角形，进而得出/8。产=/406=60°,进而判断出NE08

=60°,得出△OFB丝△OEB,得出NOFB=90°,即可得出结论；

（2）先判断出/ABC=30°,进而得出OB=2BE,建立方程6+r=2r,继而求出AG=6,

A8=18,AC=9,CG=3,再判断出AOGE是等边三角形，得出GE=OE=6,进而利用

根据勾股定理求出CE=3版,即可得出结论.

【解答】解：（1）证明：①如图1,连接OE,

:。。与8c相切于点E,

：.NOEB=90°,

VZACB=90a,

二ZACB=ZOEB,

J.AC//OE,

，/GOE=/AGO,

VAG=EG«

NAOG=NGOE,

ZAOG=ZAGO,

：.AO=AG；

②由①知，AO=AG,

"：AO=OG,

：.ZAO=OG=AG,

.♦.△AOG是等边三角形，

AZAGO=ZAOG=ZA=60°,

：.ZBOF=ZAOG=60°,

由①知，ZGOE=ZAOG=60°,

・・・NEO8=180°-ZAOG-ZGO£=180°-60°-60°=60

:・/FOB=/EOB,

VOF=OEfOB=OB,

：./\OFB^/\OEB(SAS),

・・・NOFB=NOEB=90°,

:.OFLBF,

〈OF是。。的半径，

・・・3尸是。。的切线；

(2)如图2,连接GE,

VZA=60°,

AZABC=90°-NA=30°,

：・OB=2OE,

设。。的半径为r,

•:OB=OD+BD,

**•6+r—2r»

r=6,

：.AG=OA=6,A8=2r+3£)=18,

.\AC=1AB=9,

2

:.CG=AC-AG=3,

由(1)知，NEO3=60°,

•：OG=OE,

•••△OGE是等边三角形，

：.GE=OE=6f

根据勾股定理得，CE=JGE2-CG2=462-32=3y[3»

2

-1(6+3)x3J3-6071-6-2773…

2360

图1

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直

角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的

面积公式，判断出OO的半径是解本题的关键.

23.（2019•抚顺）如图，点E,F分别在正方形ABC。的边CDBC上，且OE=CF,点P

在射线2C上（点P不与点F重合）.将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,

过点E作GO的垂线QH,垂足为点H,交射线BC于点Q.

（1）如图1,若点E是CD的中点，点P在线段8尸上，线段8P,QC,EC的数量关系

为BP+OC=EC.

（2）如图2,若点E不是CO的中点，点P在线段2『上，判断（1）中的结论是否仍然

成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

（3）正方形ABCO的边长为6,AB=3DE,QC=\,请直接写出线段BP的长.

【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形.

【分析】（1）由ASA证明△PE。丝△EGO,得出尸Q=E£）,即可得出结论；

（2）由ASA证明△PE。丝/XEGD,得出PQ=ED,即可得出结论；

（3）①当点P在线段BC上时，点Q在线段BC上，由（2）可知：BP=EC-QC,求

出DE=2,EC=4,即可得出答案；

②当点尸在线段BC上时，点。在线段8C的延长线上，由全等三角形的性质得出PQ=

DE=2,求出PC=1,得出8P=5；即可得出答案.

【解答】解：（1）BP+QC=EC；理由如下：

；四边形ABC。是正方形，

：.BC=CD,ZBCD=90",

由旋转的性质得：NPEG=90°,EG=EP,

:.NPEQ+NGEH=90°,

\'QH1GD,

.,.NH=90°,/G+/GEH=90°,

：.ZPEQ=ZG,

又；NEPQ+NPEC=90°,NPEC+NGED=90°,

:.NEPQ=NGED,

'/EPQ=/GED

在△尸EQ和△EGA中，，EP=EG，

ZPEQ=ZG

.♦.△PEQ丝△EG。（ASA）,

：.PQ=ED,

：.BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC,

即BP+QC=EC；

故答案为：BP+QC=EC；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：

由题意得：NPEG=90°,EG=EP,

：.ZPEQ+ZGEH=90°