第01讲 概率（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页第01讲概率1.了解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.2.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念，理解概率取值范围的意义.3.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.4.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了解频率与概率的区别与联系.5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.知识点概率1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．求概率方法：（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。【题型1可能性的大小】【典例1】（2023春•乳山市期末）一个不透明的盒子中装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是不可能事件 C．摸到红球比摸到白球的可能性大 D．摸到红球与摸到白球的可能性相等【答案】B【解答】解：A、摸到白球是随机事件，选项错误，不符合题意；B、摸到黑球是不可能事件，选项正确，符合题意；C、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意；D、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意；故选：B．【变式1-1】（2023•花溪区校级一模）将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（）A．数字大于2的卡片 B．数字小于2的卡片 C．数字大于3的卡片 D．数字小于4的卡片【答案】D【解答】解：正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片，从这四张卡片中随机抽取一张，抽到一张分别是数字1，2，3，4的概率是，抽到数字大于2的卡片的概率是＝，抽到数字小于2的卡片的概率是，抽到数字大于3的卡片的概率是，抽到数字小于4的卡片是，故选：D．【变式1-2】（2023春•桓台县期末）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小【答案】B【解答】解：由题意可得，摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，故选：B．【变式1-3】（2023春•郫都区期末）转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为四个选项中的转盘均被均分为4份，所以哪个选项中红色区域份数最多，指针落在红色区域的可能性就越大，四个选项中D中共有3份，故指针落在红色区域的可能性最大，故选：D【题型2概率公式的计算】【典例2】（2023春•雅安期末）一个不透明的袋子里装有5个红球，2个黑球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵一个不透明的袋中，装有5个红球，2个黑球和3个白球，从中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中摸出的球是白球的结果有3种，∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率，故C正确；故选：C．【变式2-1】（2023•包头模拟）质检人员从编号为1，2，3，4，5的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于4的概率为（）A．. B． C． D．【答案】B【解答】解：∵抽取的产品数为5种，编号不小于4的情况有2种，∴所抽到的产品编号不小于4的概率为．故选：B．【变式2-2】（2023春•威宁县期末）一个不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、4个黑球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由题意得，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．故选：B．【变式2-3】（2023•铁锋区二模）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为1到9共9个自然数，是奇数的有5个，所以正面的数是偶数的概率为．故选：D．【题型3列举法或树状图求概率（卡片问题）】【典例3】（2023•牡丹江模拟）分别印有汉字“学而不思则惘”的6张卡片，它们除汉字外完全相同，若将这些卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字是“思”和“学”的概率（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：列表如下：学而不思则惘学（而，学）（不，学）（思，学）（则，学）（惘，学）而（学，而）（不，而）（思，而）（则，而）（惘，而）不（学，不）（而，不）（思，不）（则，不）（惘，不）思（学，思）（而，思）（不，思）（则，思）（惘，思）则（学，则）（而，则）（不，则）（思，则）（惘，则）惘（学，惘）（而，惘）（不，惘）（思，惘）（则，惘）一共有30种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字是“思”和“学”的有2种可能的结果，∴P（两次抽出的卡片上的汉字是“思”和“学”的）＝．故选：D．【变式3-1】（2023•莲都区一模）有6张仅有编号不同的卡片，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机抽取一张，编号是偶数的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：随机抽取卡片有6种等可能结果，其中编号为偶数的有3种可能，则概率为＝．故选：C．【变式3-2】（2023•花都区二模）不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种，即AB、BA，∴卡片上诗的作者都是李白的概率是＝，故选：A．【变式3-3】（2023•烟台一模）第24届冬奥会期间，小明收集到4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是两张滑雪的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：记高山滑雪，越野滑雪，速度滑冰，冰球分别为A，B，C，D，根据题意列表得：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）共有16种等可能的结果，其中两张卡片正面图案恰好是两张滑雪的有4种，∴所抽取的两名同学都是男生的概率是＝．故选：D【题型4列举法或树状图求概率（转盘问题）】【典例4】（2023•蕉岭县一模）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．红（红，红）（蓝，红）（蓝，红）蓝（红，蓝）（蓝，蓝）（蓝，蓝）红（红，红）（蓝，红）（蓝，红）黄（红，黄）（蓝，黄）（蓝，黄）红蓝蓝上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色，所以可配成紫色的概率是，故选：B．【变式4-1】（2023•禹州市一模）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，并分别标有数字1，3，4，5．若自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所得数字之和为偶数的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，两次所得数字之和分别为：2，4，5，6，4，6，7，8，5，7，8，9，6，8，9，10，其中两次所得数字之和为偶数的结果为10种，∴两次所得数字之和为偶数的概率为＝．故选：B．【变式4-2】（2023•青龙县一模）同时转动如图所示的两个转盘，则转盘停止转动后，指针同时落在红色区域的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：转盘的指针同时落在红色区域的概率＝．故选：A．【变式4-3】（2023•金水区校级一模）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：列表如下：12311232246由表知共有6种等可能结果，其中积为偶数的有4种结果，所以积为偶数的概率为＝，故选：A．【题型5列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】【典例5】（2023•西陵区模拟）将分别标有“最”、“美”、“宜”、“昌”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率为＝，故选：A．【变式5-1】（2023•容县一模）将分别标有“壮”、“美”、“广”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上汉字可以组成“广西”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率为＝，故选：A．【变式5-2】（2023•河南三模）现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字﹣1，﹣2，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有20种可能结果，其中和为正数的有12种结果，所以和为正数的概率为＝，故选：C．【变式5-3】（2023•运城二模）如图，有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏：小新将这扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张（不放回）记下牌面上的数字．小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小康和小新抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的结果有8种，∴他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为＝，故选：D．【题型6列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】【典例6】（2023•海淀区校级四模）不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，∴两次都摸到红球的概率是，故选：D．【变式6-1】（2023•丰台区校级模拟）不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：列表如下：问天梦天问天（问天，问天）（梦天，问天）梦天（问天，梦天）（梦天，梦天）由表知，共有4种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有1种结果，所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为，故选：D．【变式6-2】（2023•浠水县一模）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4，摇匀后随机取出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据题意画图如下：由图可得，共有16种等情况数，其中第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的有10种，所以第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为＝，故选：D．【题型7列举法或树状图求概率（电路问题）】【典例7】（2023•乳山市一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为＝．故选：B．【变式7-1】（2023•新华区校级一模）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（）​A． B． C． D．【答案】B【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，∴小灯泡发光的概率为，故选：B．【变式7-2】（2023•烟台一模）如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中随机闭合2个开关，小灯泡发光的结果有：S1S2，S1S4，S2S1，S2S3，S3S2，S3S4，S4S1，S4S3，共8种，∴随机闭合2个开关，小灯泡发光的概率为．故选：B．【变式7-3】（2023•衡水三模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（）A． B． C． D．0【答案】A【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，画树状图如图：共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，∴能让两个小灯泡同时发光的概率为．故选：A．【题型8列举法或树状图求概率（数字问题）】【典例8】（2023•利辛县模拟）一袋中装有形状、大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2、3、4．现从袋中任意摸出两个小球，则摸出的小球上的数都是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，x1＝2，x2＝3，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中摸出的小球上的数都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有（2，3），（3，2），共2种，∴摸出的小球上的数都是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率为＝．故选：B．【变式8-1】（2023•天元区校级一模）有四张完全相同的卡片，上面分别写着﹣1、0、1、2，从中一次抽取两张卡片，这两张卡片上的数字的和为正数的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：画树状图如下：由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两个数字的和为正数的结果数有8种，∴这两张卡片上的数字的和为正数的概率是，故选：D．【变式8-2】（2023•长沙模拟）现有A，B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1，2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3，4，5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分握匀，从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之积大于6的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：列表如下：123364485510由表知，共有6种等可能结果，其中数字之积大于6的有2种结果，所以数字之积大于6的概率为＝，故选：C．【变式8-3】（2023•乳山市模拟）不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球所标数字之和为4的有3种结果，所以两次记录的数字之和为4的概率是＝，故选：B．【题型9列举法或树状图求概率（实际应用问题）】【典例9】（2023•丰顺县一模）某商场服装部为了了解服装的销售情况，5月份随机抽查了25名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题：（1）图中m的值为28，扇形统计图中，12万元扇形的圆心角等于28.8°；（2）统计的这组数据的平均数是18.6万元，中位数是18万元，众数是21万元；（3）如果规定销售额24万元为A等级，销售额15万元到21万元为B等级，销售额12万元为C等级，从A、C等级中任意选出两个营业员，至少有一个是A等级的概率是多少？（用列表法或树形图求解）【答案】（1）28，28.8°；（2）18.6，18，21；（3）．【解答】解：（1）1﹣20%﹣8%﹣12%﹣32%＝28%，∴m＝28，360°×8%＝28.8°；故答案为：28，28.8°；（2），∴平均数为18.6万元，∵抽查了25名营业员，∴中位数为从大到小排列后的第13个数据，∴中位数为18万元，∵21出现次数最多，出现了8次，∴众数为21万元；故答案为：18.6；18；21；（3）A等级3人，B等级2人，列表如下：A1A2A3C1C2A1（A1，A2）（A1，A3）（A1，C1）（A1，C2）A2（A2，A1）（A2，A3）（A2，C1）（A2，C2）A3（A3，A1）（A3，A2）（A3，C1）（A3，C2）C1（C1，A1）（C1，A2）（C1，A3）（C1，C2）C2（C2，A1）（C2，A2）（C2，A3）（C2，C1）一共有20种等可能结果，至少有一个是A等级的有18种，∴P（至少有一个是A等级）＝．【变式9-1】（2023春•北仑区校级月考）某地教育考试院进行今年的体育中考选测项目抽签仪式，抽签产生了50米跑、立定跳远、跳绳（60秒）作为今年的3项选测项目．某校九年级在考前组织了一次模拟抽测．该九年级共有500名学生，其中女生人数占总人数的60%，从九年级女生中随机抽取部分学生进行跳绳项目的测试（满分10分，所有抽测女生均达到6分及以上），并制作了如下频数表和统计图（部分信息未给出）．抽取的女生跳绳成绩的频数表成绩x（个）得分（分）频数（人）x≥1701010160≤x＜1709m150≤x＜16087140≤x＜1507n130≤x＜14063由图表中给出的信息回答下列问题：（1）m＝16，n＝4．（2）求扇形统计图中“8分”所对应的扇形圆心角的度数．（3）如果该校九年级女生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计获得9分及以上的女生有多少人？（4）学校决定从跳绳成绩最好的甲、乙、丙、丁四位女生中随机选取两位与跳绳困难的同学组成“帮扶小组”，用列表或画树状图法求甲、乙两位女生同时被选中的概率．【答案】（1）16，4；（2）63°；（3）195人；（4）．【解答】解：（1）由频数表可知，得10分的人数是10人，由扇形统计图可知：得10分人数占比25%，∴本次抽取的人数为：10÷25%＝40（人），由扇形统计图可知：得9分人数占比40%，∴得9分的人数为：40×40%＝16（人），∴m＝16，又∵10+m+7+n+3＝40，∴n＝4，故答案为：16，4．（2）由频数表可知，得8分的人数是7人，∴得8分的人数占比为：7÷40＝17.5%，∴扇形统计图中“8分”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×17.5%＝63°；（3）由频数表可知，得9分及以上人数是：10+m＝26（人），∴得9分及以上人数占比为：26÷40＝65%，∵全校九年级共有500名学生，其中女生人数占总人数的60%，∴全校获得9分及以上的女生有：500×60%×65%＝195（人）；（4）画树状图如下：由树状图可知：共有12中等可能情况，其中甲乙同时被选中的有两种，∴甲、乙两位女生同时被选中的概率为：．【变式9-2】（2023春•鲁山县期末）一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相同．（1）“从口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是不可能事件：“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为1．（2）求从口袋里随机摸出一个球是红球这一事件的概率；（3）从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值．【答案】（1）不可能；1；（2）；（3）x＝8．【解答】解：（1）∵口袋没有黄球，∴口袋里随机摸出一个球是黄球”这一事件是不可能事件；∵口袋中有8个白球和12个红球，∴“一次性摸出9个球，摸到的球中至少有一个红球”这一事件发生的概率为1，故答案为：不可能；1；（2）口袋中装有8个白球和12个红球，共有20个球，∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是；（3）由题意，口袋中有（8+x）个白球和（12﹣x）个红球，共有20个球，∴从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，解得x＝8．【变式9-3】（2023•武侯区校级模拟）为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）张老师调查的学生人数是72人，其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为60°；（2）若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；（3）现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑．张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．【答案】（1）72人，60°；（2）估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；（3）．【解答】解：（1）张老师调查的学生人数是（16+12+20）÷＝72（人），其中选择“泥塑”选修课在扇形统计图中圆心角的度数为360°×＝60°，故答案为：72人，60°；（2）900×＝200（人），答：估计全校选修“摄影”的学生人数约200人；（3）把选修书画的2人记为A、B，选修摄影的1人记为C，选修泥塑的1人记为D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修书画的结果有2种，即AB、BA，∴所选2人都是选修书画的概率为＝．【题型10几何概率】【典例10】（2023春•临淄区期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，∴小球停留在阴影部分的概率是，故选：A．【变式10-1】（2023•平远县一模）如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：先设每个正六边形的面积为x，则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是7x，则这个点取在阴影部分的概率是＝．故选：C．【变式10-2】（2023春•九江期末）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由图可知，黑色地砖5块，共有9块地砖，∴该小球停留在黑色区域的概率是．故选：D．【变式10-3】（2023春•宁阳县期中）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1﹣4的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案中阴影部分是一个轴对称图形的概率是（）A． B．1 C． D．【答案】B【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，选择的位置共有4处，其概率＝＝1．故选：B．1．（2023•河北）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃）B．（红心）C．（梅花）D．（方块）【答案】B【解答】解：∵抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为，∴抽到的花色可能性最大的是红心，故选：B．2．（2023•贵州）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同【答案】C【解答】解：∵有3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球，∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是＝；摸出标有“天眼”的概率是＝；摸出标有“高铁”的概率是＝，∵＞＞，∴摸出标有“高铁”小球的可能性最大．故选：C．3．（2023•赤峰）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种，∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是，故选：D．4．（2023•常德）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：画树状图如下：∴一共有6种等可能的情况，其中甲、乙两人同时被选中的情况有2种，∴甲、乙两人同时被选中的概率为＝．故选：B．5．（2023•武汉）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：跳高（记为项目1）、跳远（记为项目2）、100米短跑（记为项目3）、400米中长跑（记为项目4），画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“100米”和“400米”两项的有2种情况，∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：．故选：C．6．（2023•齐齐哈尔）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是＝，故选：A．7．（2023•临沂）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．故选：D．8．（2023•鞍山）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，故答案为：；（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为＝．9．（2023•辽宁）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．地方戏曲组，为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项．并将调查结果绘制成如所示两幅统计图．​请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有100人；（2）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C和D小组的概率．【答案】（1）100；（2）36°；（3）．【解答】解：（1）35÷35%＝100（人），故答案为：100；（2）D组所对应的扇形圆心角的度数为：360＝36°，选择B组的人数为：100﹣15﹣35﹣10＝40（人），补全条形统计图如下：（3）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中2个小组恰好是C和D小组的有2种，所以选中的2个小组恰好是C和D小组的概率为＝．10．（2023•雅安）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩/分频数/人频率60≤x＜70100.170≤x＜8015b80≤x＜90a0.3590≤x≤10040c请根据图表信息解答下列问题：（1）求a，b，c的值；（2）补全频数分布直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．【答案】（1）a＝35，b＝0.15，c＝0.4；（2）详见解答；（3）．【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；（2）由各组频数补全频数分布直方图如下：（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．11．（2023•营口）某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．学生周末家务劳动时长分组表组别ABCDt（小时）t＜0.50.5≤t＜11≤t＜1.5t≥1.5请根据图表中的信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取50名学生，条形统计图中的a＝9，D组所在扇形的圆心角的度数是108°；（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．【答案】（1）50，9，108°；（2）估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；（3）．【解答】解：（1）这次抽样调查共抽取的学生人数为：22÷44%＝50（名），∴A组的人数为：50×8%＝4（名），∴条形统计图中的a＝50﹣4﹣22﹣15＝9，D组所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝108°，故答案为：50，9，108°；（2）900×＝666（人），答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，∴恰好选中两名男生的概率为＝．1．（2023春•济南期末）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有7个，黄球有2个，黑球有1个．幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小【答案】B【解答】解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，由红球有7个，黄球有2个，黑球有1个，所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小；故A、C、D选项说法错误；故选：B．2．（2023春•宿迁期末）标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（）A．12个黑球和4个白球 B．10个黑球和10个白球 C．4个黑球和2个白球 D．10个黑球和5个白球【答案】A【解答】解：A、摸到黑球的概率为＝0.75，B、摸到黑球的概率为＝0.5，C、摸到黑球的概率为＝，D、摸到黑球的概率为＝，故选：A．3．（2023春•赣榆区期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件中发生的可能性最大的是（）A．这张牌是“A” B．这张牌是“红心” C．这张牌是“大王” D．这张牌是“红色的”【答案】D【解答】解：从一副扑克牌中“A”有4张，“红心”有13张，“大王”有1张，“红色的”有27张，∵27＞13＞4＞1，∴这张牌是“红色的”的可能性最大，故选：D．4．（2022秋•毕节市期末）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝下的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝下的占一种，所以两枚硬币都是正面朝下的概率＝．故选：D．5．（2023•临沭县二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据题意画图如下：共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．故选：A．6．（2023•霍邱县二模）某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1，所以两人同坐2号车的概率＝．故选：A．7．（2023•汇川区模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（）A．0 B． C． D．【答案】C【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，画树状图如图：共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，故选：C．8．（2023•庐江县二模）某校九年级一班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签的方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为，故选：A．9．（2023•西峡县三模）将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“河”、“南”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：将标有“建”、“设”、“大”、“美”、“河”、“南”汉字的小球分别记为：1、2、3、4、5、6，画树状图如下：共有30种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“河南”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字组成“河南”的概率为＝，故选：B．9．（2023•海淀区校级模拟）在一个不透明的袋中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外部相同．搅匀后，随机从中摸出一个球．记下颜色后放回袋子中，充分搖匀后，再从中随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，∴两次都摸到红球的概率为，故选：D．10．（2023•盱眙县模拟）为深入学习贯彻党的二十大精神，某学校决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级一班有1男3女共4名学生报名参加演讲比赛．（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是；（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用画树状图或列表的方法，求这2名学生都是女生的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由