第02讲 解一元二次方程-开平方和配方法（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页第2讲解一元二次方程-开平方和配方法1.理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；2.理解并掌握用配方法解一元二次方程；知识点1：解一元二次方程-直接开方注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程方法是根据平方根的意义开平方知识点2：解一元二次方程-配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结：【题型1解一元二次方程-直接平方】【典例1】（2023春•抚顺月考）解方程：（1）x2﹣81＝0；（2）4（x﹣1）2＝9．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣9；（2）x1＝，x2＝﹣．【解答】解：（1）x2﹣81＝0，x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．【变式1-1】（2023春•潮安区校级月考）解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．【解答】解：（2x﹣1）2﹣25＝0移项，得（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，解得x1＝3，x2＝﹣2．【变式1-2】（2023•龙川县校级开学）（x+1）2＝25．【答案】x1＝﹣11，x2＝9．【解答】解：，∴（x+1）2＝100，x+1＝±10，∴x1＝﹣11，x2＝9．【变式1-3】（2022春•莱州市期末）解方程：9（x+1）2﹣25＝0．【解答】解：9（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝，x+1＝，x＝﹣1，∴x1＝﹣，x2＝．【典例2】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【变式2-1】解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2【解答】解：∵（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2∴3x﹣1＝±（2﹣5x），解得x＝或x＝．【变式2-2】（2x﹣3）2＝x2【解答】解：2x﹣3＝±x2x﹣3＝x或2x﹣3＝﹣x∴x1＝3，x2＝1．【变式2-3】解方程：（x+1）2＝（1﹣2x）2．【解答】解：两边开平方，得x+1＝|1﹣2x|．①当x+1＝1﹣2x时，x＝0．②当x+1＝﹣（1﹣2x）时，x＝2．综上所述，原方程的解是：x1＝0，x2＝2．【题型2解一元二次方程-配方法】【典例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9【答案】C【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．故选：C．【变式3-1】（2022秋•渝中区校级期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35【答案】B【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．故选：B．【变式3-2】（2022秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴k＝4，故选：D．【变式3-3】（2022秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣6，配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，∴a＝﹣3，b＝3．故选：A．【典例4】（2022秋•颍州区期末）用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．【解答】解：（1）x2+7x＝﹣，，，，，；（2）3x2+6x+2＝11，3x2+6x﹣9＝0，x2+2x﹣3＝0，x2+2x+1＝4，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x1＝1，x2＝﹣3．【变式4-1】（2022秋•杨浦区期末）用配方法解方程：2x2+4x+1＝0．【答案】．【解答】解：原方程化为，配方得，即，开方得，，∴．【变式4-2】（2022秋•澄海区期末）用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．【解答】解：2x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x﹣＝或x﹣＝﹣，x1＝+，x2＝﹣．【变式4-3】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．【解答】解：（1）原方程可化为x2﹣x＝，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；（2））原方程可化为x2﹣x＝，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；（3）原方程可化为x2﹣x＝﹣，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝1，x2＝；（4）原方程可化为x2﹣x＝﹣1，∴x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝2，x2＝．1．（2023•佛山一模）方程x2＝1的根是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2【答案】C【解答】解：x2＝1，x＝±1，所以x1＝1，x2＝﹣1．故选：C．2．（2023•泸县校级模拟）方程x2﹣4＝0的根为（）A．2 B．根号2 C．±2 D．±根号2【答案】C【解答】解：x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x＝±2．故选：C．3．（2022•花都区三模）方程（x+1）2＝9的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝2，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝﹣4【答案】A【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故选：A．4．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（）A．9 B．﹣3 C．6+ D．﹣6+【答案】C【解答】解：（x﹣2）2＝3，x﹣2＝或x﹣2＝﹣，所以x1＝2+，x2＝2﹣，即a＝2+，b＝2﹣，所以2a+b＝4+2+2﹣＝6+．故选：C．5．（2022•城西区二模）若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1【答案】B【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，所以m≥1．故选：B．6．（2023•东城区一模）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．2【答案】B【解答】解：x2+6x+3＝0，x2+6x＝﹣3，x2+6x+9＝6，（x+3）2＝6，所以m＝3，n＝6，所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．故选：B．7．（2023•聊城一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0配方后可化为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵2x2﹣3x+1＝0，∴2x2﹣3x＝﹣1，∴，∴，即．故选：D．8．（2023•馆陶县模拟）用配方法解一元二次方程x2+4x+2＝0时，第一步变形后应是（）A．x2＝﹣4x﹣2 B．x2+4x＝﹣2 C．x2+2＝﹣4x D．4x+2＝﹣x2【答案】B【解答】解：x2+4x+2＝0，x2+4x＝﹣2．故选：B．9．（2023•泉州一模）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，若配方后结果为（x﹣m）2＝10，则m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．6【答案】B【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，x2﹣6x＝1，x2﹣6x+9＝10，（x﹣3）2＝10，所以m＝3．故选：B．10．（2023•市中区一模）用配方法解方程x2﹣2＝4x，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝6【答案】D【解答】解：由原方程得x2﹣4x＝2，得x2﹣4x+4＝2+4，得（x﹣2）2＝6，故选：D．11．（2023•邯山区校级一模）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝18 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝14【答案】D【解答】解：x2﹣8x+2＝0，则x2﹣8x+16＝14，∴（x﹣4）2＝14，故选：D．12．（2023•南平模拟）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【答案】B【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：B．13．（2023•东城区校级模拟）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54【答案】A【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．14．（2023春•龙湾区期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7【答案】D【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，移项得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7．故选：D．15．（2023春•瑞安市校级期中）方程x2﹣6x+8＝0配方后的结果是（）A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣6）2＝17【答案】A【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝1，所以（x﹣3）2＝1．故选：A．16．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是．【答案】见试题解答内容【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．17．（2023•东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则ab＝﹣84．【答案】﹣84．【解答】解：∵x2﹣8x＝5，∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴b＝21，∴a＝﹣4，∴ab＝﹣84，故答案为：﹣84．18．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【答案】x1＝1，x2＝﹣1．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．19．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】见试题解答内容【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x＝4或x＝﹣2；1．（2022秋•红桥区期末）解方程x2＝4的结果为（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4【答案】C【解答】解：∵x2＝4，∴x1＝﹣2，x2＝2，故选：C．2．（2022秋•海门市期末）一元二次方程x2﹣1＝0的根为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C． D．x1＝1，x2＝﹣1【答案】D【解答】解：移项得x2＝1，开方得，x＝±1，即x1＝1，x2＝﹣1．故选：D．3．（2022秋•黔东南州期末）方程x2＝8的解是（）A．x＝4 B．x＝ C． D．【答案】D【解答】解：∵x2＝8，∴x＝±2，故选：D．4．（2023春•涡阳县月考）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0时，配方成（x+k）2＝h的形式，则k，h的值为（）A．k＝1，h＝ B．k＝1，h＝2 C．k＝﹣1，h＝ D．k＝﹣1，h＝2【答案】C【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴k＝﹣1，h＝，故选：C．5．（2023春•西城区校级期中）解方程：2x2﹣1＝7．【答案】x＝±2．【解答】解：2x2＝8．x2＝4，x＝±2．6．（2023春•