专题05 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质（6个考点六大类型）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页专题05直线与圆的位置关系及切线的判定与性质（6个考点六大类型）【题型1直线与圆的位置关系的判定】【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【题型3切线的判定】【题型4切线的性质与判定的综合运用】【题型5利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【题型6三角形的内切圆与内心】【题型1直线与圆的位置关系的判定】1．（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】D【解答】解：⊙O半径为4cm，若直线上一点P与圆心O距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是无法确定，故选：D．2．（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【解答】解：∵圆的半径为6.5cm，圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，∴圆的半径≥圆心到直线的距离，∴直线于圆相切或相交，故选：D．3．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，∴直线l和⊙O相交，∴直线l与⊙O有2个公共点．故选：C．4．（2022秋•顺平县期末）如图，若圆O的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，3＝3，∴直线l与⊙O相切．故选：A．5．（2023春•青山区校级月考）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与⊙O的位置关系（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】D【解答】解：∵⊙O的直径为12，∴⊙O的半径为6，∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离，∴不能确定直线l与⊙O的位置关系，故选：D．6．（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，∴直线l与⊙O相离．故选：C．7．（2022秋•高邑县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．∵∠B＝30°，BC＝4cm，∴CD＝BC＝2cm，即CD等于圆的半径．∵CD⊥AB，∴AB与⊙C相切．故答案为：B．8．（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13，∴点O到直线l的距离大于半径，∴直线l与⊙O相离．故选：A．9．（2022秋•莱州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，4cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，∵∠OAB＝30°，OA＝10cm，∴OD＝5cm，∵d＝5cm＞r＝4cm，∴直线AB与圆O相离．故选：C．10．（2022秋•海珠区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为相切．【答案】相切．【解答】解：∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为3，∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，∴该圆与y轴的位置关系是相切，故答案为：相切．11．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．【答案】见试题解答内容【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5．故答案为：1＜d＜5．【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】12．（2023•松原四模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO与⊙O相交于点C，若AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，设⊙O的半径长为r，由勾股定理得：r2+82＝（4+r）2，解得r＝6故选：C．13．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故选：B．14．（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．40° C．25° D．50°【答案】B【解答】解：连接OA，∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵∠B＝25°，∴∠AOC＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故选：B．15．（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）​A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故选：D．16．（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（）​A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝60°，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OA＝2，∴AB＝4，∴BD＝AB•sin60°＝4×＝2，故选：B．17．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（）A． B． C．3 D．6【答案】D【解答】解：连接OD，∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC，∵OD＝OB，∴OBD＝ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴BC⊥AC，∴∠ADO＝∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴AO＝2OD，设OD＝OB＝x，则AO＝2x，AB＝3x，∴AD＝x，AC＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x﹣x＝，∴x＝2，∴AB＝3x＝6．故选：D．18．（2023•重庆模拟）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，则AC等于（）​A．3 B．2 C． D．【答案】A【解答】解：∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵AC⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠OCB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝BC＝3．故选：A．19．（2023•北碚区自主招生）如图，线段AC经过圆心O，交⊙O于点A、B，CD是⊙O的切线，点D为切点．若∠ACD＝30°，CD＝2，则线段BC的长度是（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解答】解：连接OD，∵CD切⊙O于D，∴半径OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵∠ACD＝30°，CD＝2，∴tanC＝＝＝，∴OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．故选：B．30．（2023•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，若BC＝1，，则AC的长为（）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC＝90°，OB＝，AB是⊙O的直径，∴AB＝，∵BC＝1，∴AC＝＝3．故选：A．21．（2023•宽城区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D．若∠CAD＝37°，则∠CAB的大小为（）A．37° B．53° C．63° D．74°【答案】A【解答】解：如图，连接OC．由题意可知CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD＝37°．∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO＝37°．故选：A．22．（2023•通榆县模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48°则∠AOC的度数为（）​A．42° B．48° C．84° D．106°【答案】C【解答】解：在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝48°，∴∠OCB＝42°，∴∠AOC＝84°，故选：C．23．（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（）​A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝40°，∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，∴∠CDB＝∠COE＝25°．故选：A．24．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（）A．42° B．45° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：连接OB，∵CB与⊙O相切于B，∴半径OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝69°，∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．故选：D．【题型3切线的判定】25．（2021秋•新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：如图，连接OE、OD，在△OED和△OAD中，，∴△OED≌△OAD（SAS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．26．（2021秋•昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【答案】见解答．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD＝2AD＝8，∴AD＝4，在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，∵BC2＝（2+8）2＝10，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵AB为直径，∴AC是⊙O的切线．27．（2021秋•大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．28．（2022秋•长乐区期中）如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3．求证：AB是⊙O的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：如图，过O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，∵⊙O的半径为3，∴OC为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．29．（2022秋•云龙区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．【答案】见解析．【解答】证明：∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵∠APD＝30°，∴∠ODP＝90°，即PD⊥OD，∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线．30．（2022秋•平潭县校级期中）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接OA，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切线．【题型4切线的性质与判定的综合运用】31．（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．【答案】（1）证明见解答；（2）PA的长是12．【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，∴OB＝OA，∴点B在⊙O上，∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，∴BC＝＝＝3，∵∠A＝90°，∴＝＝tan∠ACP＝，∴PA＝AC＝×9＝12，∴PA的长是12．32．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.8．【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，∵CD＝CB，∴＝，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，∴OC⊥BD，DM＝BM，∵CF∥BD，∴半径OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：设OM＝x，∵OC＝AB＝5，∴MC＝5﹣x，∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，∴x＝1.4，∵AO＝OB，DM＝BM，∴OM是△BAD的中位线，∴AD＝2OM＝2x＝2.8．33．（2023•枣庄二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解答过程；（2）15．【解答】解：（1）连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为x，则有OE＝OB＝x，在Rt△OEF中，OE2+EF2＝OF2，∴x2+202＝（x+10）2，解得x＝15．∴⊙O的半径为15．34．（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．​【答案】（1）见解答；（2）10．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，连接BO，在△OBC和△OBE中，，∴△BOE≌△BOC（SSS），∴∠BEO＝∠BCO，∵∠BCO＝90°，∴∠BEO＝90°，∵OE是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE，∵BE＝15，AE＝24，∴BC＝BE＝15，AB＝BE+AE＝15+24＝39，∴AC＝＝＝36，设⊙O的半径为r，则OE＝OC＝r，OA＝36﹣r，∵OA2＝OE2+AE2，∴（36﹣r）2＝r2+242，解得：r＝10，∴⊙O的半径为10．35．（2023•官渡区二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的长．【答案】（1）见解答；（2）4．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）连接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝＝12，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝6，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝2.5，∴DH＝6.5﹣2.5＝4，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四边形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝6，CE＝DH＝4．36．（2023•兰州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解答过程；（2）⊙O的半径是．【解答】（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴点D是BC的中点，∵点O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠ODF+∠AFD＝180°．∵∠AFD＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的半径；（2）解：连接DE，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝CD，∵DF⊥AC，∴EF＝CF＝1，∴AC＝AE+EF+CF＝5，∴AB＝5，∴⊙O的半径是．37．（2023•开江县二模）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求线段CF的长．【答案】（1）见解答；（2）4．【解答】（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切线．（2）解：由题意得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝8，∴OC＝4，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC•tan∠COB＝4．38．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，半径为2，⊙O交BC于点D，且D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若∠C＝30°，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△BCA的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中点，∴AD为BC的垂直平分线，∴AC＝AB，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB是⊙O的直径，半径为2，∴AB＝4．在Rt△ADB中，AD＝AB＝2．∴BD＝，∴BC＝2BD＝4．39．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．【答案】（1）见解答；（2）2．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）连接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝4，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3，∴DH＝5﹣3＝2，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四边形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．【题型5利用切线长定理的性质求线段长度或周长】40．（2023•西城区校级三模）如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则线段PO的长度为（）A． B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：连接OP，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB＝∠APB，∴∠OAB＝90°，∵∠APB＝60°，⊙O的半径为3，∴∠OPA＝×60°＝30°，OA＝3，∴OP＝2OA＝2×3＝6，故选：B．41．（2023•平房区三模）如图，PE、PG为⊙O的两条切线，E、G为切点，点F为⊙O上一点．连接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，则∠P的度数为（）​A．52° B．56° C．66° D．76°【答案】D【解答】解：∵PE、PG为⊙O的两条切线，∴OE⊥PE，OG⊥PG，∴∠OEP＝∠OGP＝90°，∵∠∠EFG＝52°，∴∠O＝2∠EFG＝104°，∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．故选：D．42．（2023•大同模拟）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：连接CO，∵四边形ACBO为菱形，∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，∴△OBC与△OAC是等边三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，故选：C．43．（2023•阳谷县二模）已知PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（）A．125° B．120°或60° C．125°或55° D．130°【答案】A【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故选：A．44．（2023•北碚区校级三模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠APO＝30°，AB＝3，则OP的长度为（）​A．6 B． C． D．【答案】C【解答】解：连接OA，OB，如图，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB．在Rt△OAP和Rt△OBP中，，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴PA＝AB＝3．在Rt△PAO中，∵cos∠APO＝，∴＝，∴OP＝2．故选：C．45．（2023•蒙阴县二模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是（）A．110° B．120° C．125° D．130°【答案】D【解答】解：连接OA、OB，AB所在的优弧上找一点E，连接EA、EB，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝100°，∴∠AEB＝50°，∵四边形ACBE是⊙O内接四边形，∴∠E+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝130°，故选：D．46．（2023•新华区校级二模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为（）A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm【答案】C【解答】解：连接OC，OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∵∠P＝120°，∴∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠P＝60°，∴的长＝＝2π（cm），∴瞬间与空竹接触的细绳的长为2πcm，故选：C．47．（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化【答案】B【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．48．（2022秋•林州市期中）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．12 D．10【答案】C【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，PA＝6，∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周长＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，故选：C．49．（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．50．（2021秋•沧州期末）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8【答案】C【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故选：C．51．（2022秋•仙居县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（）A． B．3 C． D．【答案】C【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，，∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，∵AF+BF＝AB＝5，∴3﹣r+4﹣r＝5，∴r＝1．∴OD＝CD＝1，∴AD＝3．∴AO＝＝，故选：C．52．（2022秋•路北区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB＝24，则AB的长（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴可以假设AD＝AF＝a，BD＝BE＝b，则AC＝a+2，BC＝b+2，AB＝a+b，∵AC2+BC2＝AB2，∴（a+2）2+（b+2）2＝（a+b）2，∴4a+4b+8＝2ab，∴4（a+b）＝48﹣8，∴a+b＝10，∴AB＝10．故选：B．53．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为5；（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为115度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；∴PA＝PB＝5；（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，∵PA、PB分别切⊙O于A、B；∴∠PAO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；∴∠AFB＝∠AOB＝65°，∵∠AFB+∠BCA＝180°∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；故答案是：5，115°．54．（2023•青海一模）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为7．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．55．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为16cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周长为16cm．故答案为16cm．【题型6三角形的内切圆与内心】 56．（2022