第1章 全等三角形 章末测试卷（培优卷）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页第一单元全等三角形（培优卷）（考试时间：45分钟试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【答案】B【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选：B．2．下列说法中不正确的是（）A．全等三角形一定能重合 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．周长相等的两个三角形全等【答案】D【解答】解：根据全等三角形的定义可得A、B、C正确，但是周长相等的两个三角形不一定全等，故选：D．3．如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件，错误的一组是（）A．∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD B．BC＝BD，AC＝AD C．∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD D．BD＝BC，∠BAC＝∠BAD【答案】D【解答】解：A、∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，根据AAS证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；B、BC＝BD，AC＝AD，又AB＝AB，根据SSS证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；C、∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD，又AB＝AB，根据ASA证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；D、BD＝BC，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，不能证明△ABC和△ABD全等，故本项错误，符合题意；故选：D．4．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS【答案】C【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：C．5．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．AB＝AC C．∠AEB＝∠ADC D．BE＝CD【答案】C【解答】解：A、根据AAS（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；B、根据ASA（∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C）能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；C、三角对应相等的两三角形不一定全等，故本选项符合题意；D、根据AAS（∠A＝∠A，∠B＝∠C，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；故选：C．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，则BD＝CE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°．其中正确的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA．故①正确；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA．∵AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴BD＝CE，故②正确；③∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，故④不正确．故选：C．7．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°【答案】C【解答】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC与△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，∵CB＝CD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠B＝∠CDE，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故选：C．8．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O，若∠1＝38°，则∠BDE的度数为（）A．71° B．76° C．78° D．80°【答案】A【解答】解：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝38°，∴∠C＝∠EDC＝71°，∴∠BDE＝∠C＝71°．故选：A．9．如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（）A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1）【答案】C【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，又DE＝DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．故选：C．10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝70°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，∴第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（）n×70°．故选：A．填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。11．如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相交于点P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠APB的度数为50°．【答案】50°．【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，∴∠ACD+∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝155°+55°＝210°，∴∠BCE＝∠ACD＝105°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝105°﹣55°＝50°，∵∠A＝∠B，∠1＝∠2，∴∠APB＝∠ACB＝50°，故答案为50°．12．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝4．【答案】4．【解答】解：如图，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD．在△ABC和△BED中，，∴△ABC≌△BED（AAS），∴BC＝DE．∵S2＝DE2，DE＝BC，∴S2＝BC2．∵S1＝AC2，S2＝BC2，AC2+BC2＝AB2，AB2＝1，∴S1+S2＝1．同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．13．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是①②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③④．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，故①正确；∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，∴∠ACD+∠APB＝180°，∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠ACD+2∠ADC＝180°，∴∠APB＝2∠ADC，故②正确；∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，∴AC＝BC＝DC＝EC，∴∠CAE＝∠CBD，∴PA＝PB，∵AC＝BC，∴PC⊥AB，故③正确；如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，∴×AE×CG＝×DB×CH，∴CG＝CH，∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴PC平分∠APB，故④正确，故答案为：①②③④．14．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是8．【答案】8．【解答】解：延长AP交BC于D，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠DPB＝90°，在△APB和△DPB中，，∴△APB≌△DPB（ASA），∴AP＝PD，∴S△APB＝S△DPB，S△APC＝S△DPC，∴△BPC的面积＝×△ABC的面积＝8，故答案为：8．15．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是50．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故答案为50．16．如图，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OM，ON上．当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为14．【答案】14．【解答】解：作CD⊥AB于点D，连接OD，∵AC＝BC＝10，AB＝12，∴点D为AB的中点，CD⊥AB，∴BD＝8，∴CD＝＝8，∵∠AOB＝90°，AB＝12，∴OD＝6，∵OC≤OD+CD，∴当点O、D、C在同一直线上时，OC取得最大值，此时OC＝OD+CD＝6+8＝14，故答案为：14．三、解答题（本题共5题，17题-20题，每题10分，21题12分）。17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．（1）求证：FC＝AD；（2）求AB的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC+AD（等量代换）＝5+2＝7（cm）．18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE＝AF，∵AC＝20，CF＝BE＝4，∴AE＝AF＝20﹣4＝16，∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．19．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠AED＝65°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，故答案为：25；65；（2）当